高考数学

1. 从第一项到第十项一共增加九次。

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. 把首项和末项配对。它们的平均数就是这十项的平均数。

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. 用这个平均数乘以项数。

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

常见错误: 求第十项时不要增加十次。首项已经计入。

1. 两个非零垂直向量的点积为零。

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. 对应坐标相乘，再把乘积相加。

   $$2x+3(-2)=0$$

3. 解所得的一元一次方程。

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

常见错误: 点积是一个数。不要把坐标交叉相乘。

1. 使用包含已知条件概率的乘法公式。

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. 代入两个分数。

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. 化简结果。不需要假设两个事件相互独立。

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

常见错误: 不要用 P(B) 替换 P(B|A)。两者不一定相等。

1. 将方程与标准形式比较，确定参数 p。

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. 焦点的横坐标为 p/2，准线是竖直直线 x = -p/2。

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. 两横坐标相减即可得到距离。

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

常见错误: 顶点到焦点的距离是 2。题目所求是焦点到准线的完整距离。

1. 求导并因式分解。

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. 两个因式同号时，导数为正。

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. 分别写出两个区间。导数在两个临界点之间为负。

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

常见错误: 导数为正表示函数递增，并不表示函数值本身为正。

1. 使用乘积法则求导。

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. 指数因子始终为正。导数在 x = 1 处由正变负。

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. 函数在 1 之前递增，在 1 之后递减。代入 1 得到最大值。

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

常见错误: 取得最大值时 x = 1，但函数的最大值是 1/e。