中國高考數學

1. 從第一項到第十項之間共增加九次。

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. 把首項和末項配對，它們的平均就是這十項的平均。

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. 把這個平均乘以項數。

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

常見錯誤: 求第十項時不要用增加十次來算，第一項已經算在裡面了。

1. 兩個互相垂直的非零向量，內積為零。

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. 把對應坐標相乘，再把乘積相加。

   $$2x+3(-2)=0$$

3. 解出所得的一元一次方程式。

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

常見錯誤: 內積是一個數。不要把坐標交叉相乘。

1. 用已知的條件機率套用乘法規則。

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. 代入兩個分數。

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. 化簡結果。不需要假設兩事件獨立。

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

常見錯誤: 不要用 P(B) 取代 P(B|A)。這兩個機率不一定相等。

1. 把方程式和標準式比較，找出參數 p。

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. 焦點的 x 坐標是 p/2，準線是鉛直線 x = -p/2。

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. 把兩個水平坐標相減，就得到距離。

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

常見錯誤: 頂點到焦點的距離是 2。題目要的是從焦點一直到準線的距離。

1. 微分並把結果因式分解。

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. 當兩個因式同號時，導數為正。

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. 把兩個區間分開寫。在兩個臨界點之間，導數為負。

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

常見錯誤: 導數為正代表函數遞增，不代表函數值本身是正的。

1. 用乘積法則微分。

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. 指數因式恆為正。導數在 x = 1 處由正變負。

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. 函數在 1 之前遞增、在 1 之後遞減。代入 1 得到最大值。

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

常見錯誤: 取得最大值時的 x 值是 1，但函數的最大值是 1/e。