高考

1. 初項から第10項までに増加する回数は9回です。

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. 初項と末項を組にします。その平均は10項全体の平均と同じです。

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. その平均に項数を掛けます。

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

よくある間違い: 第10項を求めるときに10回増やさないでください。初項はすでに数えています。

1. 直交するゼロでないベクトルの内積は0です。

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. 対応する成分を掛け、その積を足します。

   $$2x+3(-2)=0$$

3. 得られた一次方程式を解きます。

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

よくある間違い: 内積は1つの数です。成分を斜めに掛けないでください。

1. 与えられた条件付き確率を使って乗法定理を適用します。

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. 2つの分数を代入します。

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. 結果を約分します。独立であると仮定する必要はありません。

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

よくある間違い: P(B|A)をP(B)に置き換えないでください。この2つは等しいとは限りません。

1. 方程式を標準形と比べ、パラメータpを特定します。

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. 焦点のx座標はp/2、準線は垂直線x = -p/2です。

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. 2つのx座標の差から距離を求めます。

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

よくある間違い: 頂点から焦点までの距離は2です。求めるのは焦点から準線までの全距離です。

1. 微分し、因数分解します。

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. 2つの因数が同符号のとき、導関数は正になります。

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. 2つの区間を別々に書きます。臨界点の間では導関数は負です。

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

よくある間違い: 導関数が正とは関数が増加することです。関数の値自体が正という意味ではありません。

1. 積の微分法で微分します。

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. 指数関数の因数は常に正です。導関数はx = 1で正から負に変わります。

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. 関数は1より前で増加し、1より後で減少します。1を代入して最大値を求めます。

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

よくある間違い: 最大値をとるxは1ですが、関数の最大値は1/eです。