IB数学AA（SL・HL）の対策：12週間の学習計画

IB Mathematics: analysis and approaches（数学：解析とアプローチ、略してAA）は、ディプロマ・プログラム（DP）の2つの数学科目のうち、より代数的な科目です。IBはこの科目を、正しい数学的な議論を組み立て、伝え、正当化する力を強く重視する科目だと説明しています。DPで選べる数学は1科目だけで、AAにはスタンダードレベル（SL）とハイヤーレベル（HL）の2つのレベルがあります。

IB数学AAの勉強法についての助言の多くは一般的なものです。過去問を解く、公式集を覚える、内部評価に早く取りかかる。どれも正しいことです。このガイドは、代わりにIB自身の文書から出発します。科目概要（subject brief）、公式集、電卓の規定です。両レベルの試験、HLのみの内容がどこにあるか、公式集に載っているものと載っていないもの、シラバスの5分野から組んだ12週間の計画を扱います。あわせてMath ZenのIB数学 AAパスで練習することもできます。

SLとHL：試験は2つか3つか

2021年に初めて評価されたこの科目のIB科目概要は、両レベルの評価を次のように定めています。

構成要素	内容	SLの時間	SLの比率	HLの時間	HLの比率
Paper 1	テクノロジー不可。セクションAは短答式、セクションBは記述式	1時間30分	40%	2時間	30%
Paper 2	テクノロジー可。セクションAは短答式、セクションBは記述式	1時間30分	40%	2時間	30%
Paper 3	HLのみ。必答の記述式の問題解決型問題2問、テクノロジー可	なし	なし	1時間	20%
数学的探究	内部評価、コース中に書く	約15時間	20%	約15時間	20%

すべての問題が必答です。試験は両レベルとも成績の80%を占め、残りの20%が数学的探究です。

評価は7（最高）から1です。IBはHLの評価にもSLの評価にも同じディプロマ得点を与え、両レベルとも同じ評価基準で判定します。HLの生徒には、より広い内容でその基準を満たすことが求められます。IBによるDP評価の解説では、各科目の評価がどのようにディプロマの合計点になるかが説明されています。

計画を立てるうえで大事な日付がひとつあります。IBの数学のページによると、現行の科目の最終試験は2028年11月で、新しいカリキュラムは2027年から教えられ、2029年に初めて評価されます。2029年版の科目概要は試験時間と比率を変えずに、内容をAからEの分野に組み直しています。2027年か2028年に受験するなら、以下の内容はすべて当てはまります。2027年にコースを始める場合は、どちらのシラバスに沿うのか先生に確認してください。

時間はどこに使われるか：SLの分野とHLの追加内容

科目概要には分野ごとの推奨授業時間が載っています。各分野にどれだけ触れるのか、HLがどこで増えるのかを示す、公開資料の中で最もよい手がかりです。表のHLの欄には、シラバスと公式集にあるHLのみの主な追加内容を挙げています。

分野	SLの時間	HLの時間	HLで加わる内容	まず練習すること
1 数と代数	19	39	場合の数、部分分数分解、複素数、数学的帰納法、背理法と反例、連立1次方程式	対数法則と等比級数を手計算で
2 関数	21	32	多項式関数と有理関数、偶関数と奇関数、f(x)の絶対値と逆数のグラフ	合成関数、逆関数、グラフの変換
3 幾何と三角関数	25	51	sec、cosec、cotと逆三角関数、加法定理、ベクトル、空間の直線と平面	単位円の値と区間内の三角方程式
4 統計と確率	27	33	ベイズの定理、連続型確率変数	電卓での二項分布と正規分布の確率
5 微積分	28	55	極限と連続性、陰関数の微分、関連変化率、発展的な積分、回転体の体積、微分方程式、マクローリン展開	合成関数・積・商の微分法、次に最適化

目立つ点が2つあります。微積分はどちらのレベルでも最大の分野で、HLではほぼ2倍になります。幾何と三角関数もHLでは2倍になり、その多くは3次元のベクトルです。レベルを選ぶなら、この2行が増える90時間の正直な内訳です。

ベクトルが抽象的に感じられるなら、ベクトルのガイドが矢印のイメージと計算に使う成分を結びつけてくれます。Math Zenのベクトルの分野では内積、外積、直線と平面を練習できます。

Paper 1は代数力がものを言う

Paper 1ではテクノロジーを一切使えず、配点はSLで40%、HLで30%とPaper 2と同じですが、電卓から得られる点は1点もありません。範囲はシラバス全体なので、微積分も三角関数も対数も手計算でこなせる必要があります。

Paper 1の大部分を支えるのは3つの技能です。1つ目は正確な値です。標準的な角（弧度法）のサイン、コサイン、タンジェントを、表として暗記するのではなく単位円から読み取ります。三角関数のガイドはそれらを円周上の座標として組み立てるので、簡単に再構成できます。2つ目は指数法則と対数法則を両方向に使うことで、式の簡単化にも方程式にも使います。対数のガイドは法則がなぜ成り立つのかを説明しています。3つ目は微分と積分の法則をきれいに適用し、そのあとの代数をミスなく進めることです。

これらは電卓を手の届かないところに置いて練習しましょう。復習中に毎回電卓で確かめていると、Paper 1は実際よりずっと難しく感じられます。

Paper 2と電卓

Paper 2ではテクノロジーを使え、IBはすべてのDP数学科目でグラフ電卓に習熟することを求めています。電卓がいちばん速い道になる問題を想定しておきましょう。2つの曲線の交点、定積分の数値計算、正規分布の確率などです。

IBの電卓リストは推奨機種を挙げており、その中にはTI-84 Plusシリーズ、Press-to-TestモードにしたCAS非搭載のTI-Nspire、Examination ModeにしたCasio fx-CG50があります。TI-89やCasio ClassPadなどのCAS電卓は禁止で、事実や公式を覚える必要をなくすようなメモ、プログラム、アプリの保存も認められていません。

自分が使う機種で、適切な表示範囲でグラフを描く、交点・零点・極値を求める、方程式を数値的に解く、ある点での微分係数と定積分を求める、逆正規分布を含む二項分布と正規分布の確率を計算する、といった操作を身につけましょう。何をしたかは数学の記法で書いておきます。配点の大きい問題で、過程のない数字だけの答えは危険です。

HLのPaper 3は独立した技能

HLのPaper 3は、必答の記述式の問題解決型問題2問を1時間で解く試験で、成績の20%を占めます。1時間に2問ということは1問がそれだけ長く、科目概要は問題解決を、学んだことを定型的でない問題やオープンエンドの問題に使うことと位置づけています。求められるのは、どの手法を使うか示されないまま、なじみのない状況を解きほぐしていく力です。

分野別の演習だけではこの力はつきません。2週間に1回、過去のPaper 3の問題を1問選び、30分で取り組み、うまくいかなかった場合も含めてすべて書き出します。そのあと採点基準を読んで試験官が想定した道筋を確かめ、自分の解き方と比べます。

公式集に載っていないもの

公式集はSLとHL共通の1冊で、各分野にHLのみの欄があり、コース中にも試験中にも使います。内容は充実しています。解の公式と判別式、二項定理、正弦定理と余弦定理、三角形の面積$\tfrac{1}{2}ab\sin C$、2倍角の公式、合成関数・積・商の微分法、$\sin x$、$\cos x$、$e^x$、$\ln x$の導関数が載っています。

だから役に立つのは「載っていないもの」のリストです。三角関数の正確な値の表はありません。公式集は法則を与えてくれますが、いつ使うかは教えてくれません。どの恒等式で方程式が2次方程式になるのか、いつ置換が適切なのか、といったことです。自分のミスから「公式集にないもの」を1ページにまとめ、週に1回、何も見ずに書けるか確かめましょう。数学の公式を覚えるガイドは、理解した公式のほうが覚えやすい理由を説明しています。公式集は一度最初から最後まで読み通しておくと、試験で公式を数秒で見つけられます。

数学的探究は20%で、近道はない

数学的探究（exploration）は自分で選んだテーマについて書く数学のレポートで、両レベルで必須、配点は20%です。科目概要は約15時間をこれに充てています。先生が採点し、IBがモデレーション（評価の調整）を行います。Math Zenはこの部分を手伝えませんし、どんな演習アプリも同じです。先生の指導と評価基準に沿って進める、あなた自身の探究だからです。テーマは早めに決め、範囲を絞り、試験の復習は提出後に本格化させましょう。

IB数学AAの12週間学習計画

最初の数学の試験から12週間さかのぼって始めます。試験日は学校のIBコーディネーターが教えてくれます。1週目の前に、自分のレベルの試験時間でPaper 1とPaper 2を準備なしで1回ずつ解き、採点基準で採点して、失点をすべて分類します。概念の穴、解法の穴、計算ミス、電卓操作の穴、読み違いと時間の問題です。概念の穴にはその考え方の説明をもう一度受け直すこと、解法の穴には翌日に白紙から解答を再現すること、ミスにはゆっくり確かめながらの手計算練習が必要です。

計画は分野の順に進み、授業時間と同じように微積分にいちばん多くの時間を割きます。毎回の学習の最後に、前の週の内容を混ぜた問題を10分解きましょう。間隔反復のガイドが、短く分散した復習のほうが定着しやすい理由を説明しています。

1〜2週目：数と代数、関数。 数列と級数、対数と指数、二項定理、2次関数と2次方程式、関数、逆関数、合成とグラフの変換。Paper 1と同じように、まず手計算で。

3〜4週目：幾何と三角関数。 正弦定理と余弦定理（正弦定理で三角形が2つ決まる場合を含みます。この場合は正弦定理と余弦定理のガイドで詳しく扱っています）、弧度法、弧と扇形、恒等式、与えられた区間での三角方程式。HL：空間のベクトル、直線、平面。

5〜7週目：微積分。 極限、微分法、接線と法線、最適化、運動学、積分と面積。HL：陰関数の微分、関連変化率、置換積分と部分積分、回転体の体積、微分方程式。Math Zenの微分の分野で法則を自動的に使えるまで練習できます。

8週目：統計と確率。 記述統計、回帰、確率、電卓での二項分布と正規分布。HL：ベイズの定理と連続型確率変数。

9週目：HLの追加内容、またはSLの総仕上げ。 HL：直交形式、極形式、オイラー形式の複素数（複素数の極形式のガイドが役立ちます）、数学的帰納法、背理法と反例、マクローリン展開。SL：微積分と三角関数の2周目。

10週目：公式集と電卓。 「公式集にないもの」のページと、本番の機種でのPaper 2向けの電卓操作すべて。

11〜12週目：通しの試験。 本番の時間でPaper 1とPaper 2をセットで、HLはPaper 3も。失点した問題はすべて白紙から解き直し、そのあとは新しい分野を加えません。

Math Zenで練習できること、できないこと

Math ZenのIB数学 AAパスは、SLの内容とHLのみの内容を1つのパスで、1問ずつ、成績に合わせて難易度を変えながら練習できます。SLの生徒は、複素数、空間ベクトル、微分方程式などHLのみのサブトピックを飛ばしてかまいません。このパスはシラバスの内容項目の大部分をカバーしていますが、すべてではありません。頼る前に穴を知っておくと役立ちます。

• 記述式の証明。 アプリは証明を採点できません。数学的帰納法の帰納ステップは練習できますが、SLの演繹的な証明や、背理法と反例による証明は扱いません。
• HLの一部の内容。 連続型確率変数、複素数のオイラー形式と共役根の定理、偶関数と奇関数、関数の絶対値と逆数のグラフ、斜めの漸近線、オイラー法、y軸まわりの面積と体積、分数や負の指数の二項定理は、まだ練習できません。
• SLの細かい点。 正弦定理のあいまいな場合（解が2つになる場合）、yに対するxの回帰直線、グラフの概形を描くこと（アプリで練習するのはグラフを読むこと）は扱っていません。
• 電卓、Paper 3、数学的探究。 アプリはグラフ電卓の操作を練習させず、Paper 3型の探究問題も出さず、数学的探究も手伝いません。

アプリは毎日の技能練習に使い、このリストにあるものはすべて採点基準つきの過去問で補いましょう。

まとめ

IB数学AAはSLで2つ、HLで3つの試験に、20%の数学的探究が加わります。Paper 1はPaper 2と同じ配点なのに電卓をまったく使えないため、手計算の代数と正確な値が多くの成績を左右します。HLでは授業時間が約90時間増え、その大半は微積分とベクトルで、さらに問題解決型のPaper 3があります。実際の試験で現状を診断し、分野の比重に沿って時間を配分し、公式集にないものを把握し、最後は本番の時間で通しの試験を解きましょう。