ベクトルを直感的に理解する（計算できる矢印）

ベクトルは、多くの生徒が二度、別々の教室で、別々の言葉で教わる数少ない単元です。物理の授業では、ベクトルは矢印です。長さと向きを持ち、図に描き、終点と始点がつながるまで矢印を図の中で滑らせます。数学の授業では、ベクトルは数値の組です。(3, 4) を渡され、座標どうしを足して公式を当てはめるように言われ、矢印はほとんど登場しません。どちらの授業も自分たちの版こそが本当のベクトルだと主張し、どちらも橋を架けてはくれません。

その結果、奇妙な二重映しが生まれます。両方の教室でテストに合格しても、肝心の対象そのものには一度も出会えていない気がするのです。この記事がその橋になります。矢印と数値の組は同じひとつのものであり、そのものは「移動」として理解するのがいちばん分かりやすく、これから行うすべてのベクトル演算は、移動についてあなたがすでに知っている操作なのです。

向きを持った量

このシリーズはひとつの考えに繰り返し立ち返ってきました。数は向きを指す、という考えです。負の数は、数直線上で後ろ向きを指すふつうの数でした。これは負の数の記事で組み立てたイメージです。虚数は横向きを指す数で、直線を離れて平面へ飛び出します。ベクトルは、この考えがついに自由になった姿です。向きを、それもどんな向きでも、平面や空間の中で持てる量なのです。

正直な出発点は変位です。誰かに「5キロメートル歩いた」と言われたとしましょう。その人の疲れ具合は分かりますが、どこへ行ったのかは分かりません。半径5キロの円周上のどこにいてもおかしくないのです。「北東へ5キロ歩いた」は、「5キロ」にはない完全さを持っています。距離に向きを添えたこの完全な指示がベクトルです。速さは進行方向を添えると速度になります。押す働きは、どちらへ押すかを言えば力になります。大きさだけのものは「ベクトルの大きさ」と呼ばれ、大きさに向きが付いたものがベクトルです。

ベクトルでないものを言っておくのも役に立ちます。ベクトルは場所ではありません。「北東へ5キロ」は、どこから出発しても意味の通る指示です。「前へ2歩進め」が地球上のどこでも有効な命令であるのと同じです。ベクトルは目的地ではなく移動であり、この一点の区別だけで、この単元の混乱の半分は静かに解けていきます。

矢印と数値の組は同じもの

物理の教室はこの移動を絵に描きます。長さが距離を、向きが進行方向を表す矢印です。数学の教室は、この移動を地図の方眼の上の指示として書き留めます。(3, 4) は「東へ3、北へ4進め」の意味です。任意の出発点から、そこより東へ3、北へ4の点まで引いた矢印は、まさにその移動を描いたものです。対象はひとつ、記法がふたつあるだけです。

虚数の記事を読んだ方は、この動きを見たことがあるはずです。複素数 3 + 4i は平面上の住所で、東へ3、北へ4進んだ先にあります。ベクトルは、掛け算に特別な役割を与えない点を除けば同じ帳簿付けであり、文句ひとつ言わずに一般化します。3次元の移動には数が3つ必要で、(3, 4, 2) は東へ3、北へ4、上へ2です。記法は次元に合わせて伸びますが、考え方は変わりません。

この橋は、物理の授業で誰もが首をかしげるルールを説明してくれます。矢印は、伸ばしたり回したりしない限り、図の中のどこへ滑らせてもよい、というルールです。当然のことです。その矢印は「東へ3、北へ4」という移動であり、その指示はどこで出されても同じ指示だからです。二つの矢印は、どこに描かれていようと、長さと向きが同じであれば同じベクトルです。同じ移動を表しているからです。

足し算は移動すること

このシリーズのどの記事も「足し算は歩くこと」と言ってきましたが、ベクトルは、このイメージが比喩でなくなる場所です。二つのベクトルを足すには、移動を順番に行います。まず一つ目のベクトルの分だけ歩き、着いた場所から二つ目の分を歩く。和は、最初の出発点から最終目的地までの一本のまっすぐな移動です。物理の先生はこれを「矢印の終点に次の始点をつなぐ方法」と呼びますが、旅の二区間を合わせればひとつの旅になる、という観察以上のものではありません。

座標で見れば、同じ行為はふつうの算数です。一つ目の移動が (3, 1)、二つ目が (2, 4) なら、東へ3、続けて東へ2で合計東へ5。北へ1、続けて北へ4で合計北へ5。和は (5, 5) です。ベクトルの足し算とは、東西の成分どうし、南北の成分どうしを別々に足すこと、それ以上でも以下でもありません。

古典的な事実がひとつ、おまけで付いてきます。移動Aのあとに移動Bと歩いても、Bのあとに Aと歩いても、同じ場所に着きます。二つの順序は平行四辺形の二つの半周をなぞり、向かい側の頂点で出会うのです。代数の法則として暗記した交換法則は、ベクトルにおいては平行四辺形が閉じるという図形の話になります。

スカラー倍は伸縮、負のスカラー倍は反転

二つ目の演算は、ベクトルにふつうの数を掛けることです。2v は移動 v を同じ向きに2倍の長さで行ったもの。v の半分は、同じ移動を途中で切り上げたものです。このふつうの数はスカラーと呼ばれますが、正直な名前です。この単元でのスカラーの仕事は、スケールする、つまり拡大縮小することだけなのですから。

負のスカラーでは、旧友が帰ってきます。-1を掛けると数直線上の数は反転する。負の数の記事がまるまる一節を割いた事実ですが、ベクトルにもまったく同じことをします。-v は帰り道です。長さは等しく、向きは正反対。ベクトルの引き算は帰り道を足すことであり、だからこそ v から v を引くと零ベクトル、どこへも行かない移動になります。符号のルールは、直線から平面への引っ越しを無傷で生き延びます。もともと向きについてのルールだったからです。

長さは三平方の定理から、向きは三角関数から

移動 (3, 4) の長さはどれだけでしょうか。東へ3、北へ4、直角をなす二区間を歩いたのですから、直線距離は直角三角形の斜辺です。これは三平方の定理が自分の唯一の仕事をしている場面です。大きさは 3² + 4² の平方根、つまり5。これまで出題されたすべての「大きさを求めよ」という問題はこの三角形であり、3次元では同じ定理が単に2回走るだけです。

道の流れは逆向きにもあります。進行方向、すなわち真東からの角度θと距離rが与えられれば、三角関数が座標を復元してくれます。東へ r cos θ、北へ r sin θ です。これはまさに三角関数の記事の仕組みそのもので、そこでは sin と cos は円周上の点の座標でした。ベクトルを成分に分解する、物理の授業が延々と練習させるあの技能は、二つの影を軸から読み取ることです。cos の部分は移動が地面に落とす影、sin の部分は壁に落とす影です。

語彙をもうひとつ覚えれば道具箱は完成です。単位ベクトルとは長さがちょうど1のベクトル、距離をそぎ落とした純粋な向きです。任意のベクトルをその大きさで割れば、同じ向きを指す単位ベクトルが得られます。単位ベクトルに好きな距離を掛ければ、その向きにその長さの移動が得られます。向きと大きさをきれいに分離し、いつでも組み立て直せる形にしておくわけです。

内積は「一致度」を測る

次に来るのが、名前が役に立たないあの演算です。内積は二つのベクトルからふつうの数をひとつ返します。座標を場所ごとに掛けて足し合わせるという公式は、その数が何を意味するのか少しも教えてくれません。意味はこうです。内積は、二つのベクトルがどれだけ同じ方向を向いているか、その一致度を測ります。

公式の幾何学的な形は、それを直接語っています。a と b の内積は、a の長さ、掛ける b の長さ、掛ける両者のなす角の cos です。cos は目盛りのようなもので、二つの向きが一致すれば1を指し、垂直なら0まで落ち、正反対なら-1に達します。だから内積は、おおむね同じ方へ引っ張り合うベクトルには大きな正の値、直角のベクトルにはちょうど0、逆らい合うベクトルには負の値になります。垂直という図形的な関係が、方程式になるのです。二つのベクトルが直角をなすのは、内積が0のとき、そのときに限ります。このひとつの事実が、入試の図形問題の驚くほど多くを動かしています。

覚えておくべき絵は影、つまり正射影です。a と b の始点をそろえて置き、b の真上から光を当て、a が b に沿って落とす影を見ます。内積は、その影の長さに b の長さを掛けたものです。物理はこの絵の対価をすぐ払ってくれます。力のする仕事は力と変位の内積である。押す力のうち、進行方向に沿った影の部分だけが仕事をするからです。そりを60°の角度のロープで引けば、cos 60°、つまり力の半分だけが、そりを前へ進めます。残りの半分は、そりを持ち上げているのです。

出題者がベクトルを愛する理由

世界でも指折りの難しさを誇る卒業試験の数々で、ベクトルがこれほど目立つ席に座っているのには理由があります。ベクトルは幾何学を算数に変えるのです。平行四辺形の対角線が互いに他を二等分するという古典的な証明には、演繹の一段落が必要です。ベクトルなら代数の1行です。3点が一直線上にあることは、一方のベクトルが他方のスカラー倍であること。垂直は内積が0であること。中点は平均。これらはどれも、公平に採点しにくい空間的なひらめきを、採点しやすい計算に置き換えてくれます。

フランスのバカロレアの数学専門試験は空間図形を定番にしており、直線も平面も直交もすべてベクトルで処理します。だからこそバカロレア対策ガイドはベクトルを得点の柱として扱っています。日本の大学入学共通テストはさらに一歩進んで、ベクトルを4つの選択問題のひとつに据えており、受験生はそこから3つを選びます。この戦略的な判断については共通テスト対策ガイドが詳しく扱っています。ドイツのアビトゥアは3つの大問ブロックのひとつを解析幾何に充てていますが、これは名前を変えたベクトル計算にほかなりません。学校数学の幾何と大学の線形代数をつなぐ単元がひとつあるとすれば、それはベクトルです。

間違いはどこから来るのか

ベクトルの誤りは3か所に集中しており、どれも移動のイメージの前では溶けてなくなります。

第一は、ベクトルではなく大きさを足してしまうことです。5キロの移動に続けてもう5キロ移動しても、両方の区間が同じ向きでない限り、変位10キロにはなりません。東へ5キロ、続けて北へ5キロ歩けば、出発点からの距離はおよそ7.1キロです。長さが足せるのは向きがそろっているときだけ。これは三角不等式を、暗記としてではなく体験として生きることです。平行でないベクトルの大きさを足した計算は、問われたのとは別の問いに答えてしまっています。

第二は、内積がベクトルになると期待してしまうことです。なりません。内積はただひとつの数、一致度の目盛りの読みです。内積の問題にベクトルの答案を書いてしまうのは、「積」という言葉が同じ種類のものを約束するように聞こえるからです。問題なのは概念ではなく名前です。日常的な意味でのベクトルどうしの掛け算は存在せず、内積はたまたま記号を共有している別の機械なのです。

第三は、点とベクトル、目的地と移動の混同です。座標 (3, 4) はどちらの名前にもなり得て、教科書は断りなく切り替えます。二つを取り違えないための習慣は、その対象が何をするのかを問うことです。場所はじっとしていて、移動はあなたを動かします。位置ベクトルとは、選んだ原点からある点までの移動のことです。これがまさに二つの考えのつながり方であり、記法が重なる理由でもあります。

Math Zenの出番

ベクトルは、それ以前の数学の3つの階の上に載っており、どの階のぐらつきもここで表面化します。成分は符号付きの数ですから、符号の計算が雑だと向きが狂います。大きさは三平方の定理を、成分は sin と cos を通りますから、どちらかの理解が揺らいでいると、立式のたびに賭けをすることになります。Math Zenのバケット式の進行は、新しい階を載せる前に下の階を固めます。序盤のバケットは、反転が反射になるまで符号付きの計算を練習し、中盤のバケットは直角三角形と単位円を時間制限の下に置き、そしてベクトルのバケットが演算そのもの、足し算とスカラー倍、内積と外積、正射影、直線と平面の方程式を鍛えていきます。

内積は、瞬発力が問われる技能として特筆に値します。試験問題が「内積を使え」と宣言してくれることはめったにありません。垂直、なす角、最も近い点、と言うだけです。その翻訳は即座でなければなりません。間隔反復の練習のような短い毎日のセッションこそが、この翻訳を反射に変えます。そうして試験当日、図形が算数として読めるようになる。それこそが、ベクトルが発明された理由そのものなのです。

まとめ

ベクトルは移動です。大きさに向きが付いたもの。物理の教室の矢印と数学の教室の座標の組は、そのひとつの対象の二つの記法です。だから矢印は紙の上を自由に滑らせてよく、だから座標は場所ごとに足せるのです。足し算は移動を順に行うことで、その平行四辺形はひとつの頂点へ至る二つの経路。スカラーは伸縮させ、負のスカラーは反転させ、大きさは三平方の定理、成分は三角関数、そして内積は二つの向きの一致度を読む目盛りで、直角でちょうど0を指します。

こうしてひとつにまとめて持てば、この単元にはひとつの考えしかなく、それがいろいろな向きを指しているだけだと分かります。二つの教室の二重映しは、ベクトルは本当は矢印なのか、それとも本当は数値の組なのかと問うのをやめた瞬間に解消します。ベクトルは本当は移動であり、どちらの記法も、その移動の行い方を記した道順にすぎないのです。