正弦定理と余弦定理：どちらをいつ使うか

測量士は土地の二辺とその間の角を知っていて、第三の辺を求めたいとします。パイロットは二つの無線標識とつくる三角形の二つの角と、一つの距離を知っています。どちらの三角形にも直角はなく、SOH CAH TOA では歯が立ちません。こうした仕事を担うのが正弦定理と余弦定理です。三つの要素（そのうち一つは辺であることが条件）がわかれば、どんな三角形でも解けるようになる二つの規則です。

難しいのはたいてい公式そのものではありません。どちらの定理を使うかを選ぶこと、そして電卓が黙って間違った角度を返すただ一つの場面に気づくことです。この記事は判断表から始め、場合ごとに例題を一つずつ解き、最後に一辺だけを変えながら、同じ三角形があいまいな場合のあらゆる結果をたどります。サインとコサインがまだ概念ではなくボタンのように感じられるなら、先に三角関数のガイドでゼロから組み立て直しておくと安心です。

記号は最後まで同じです。角 A、B、C は、それぞれ辺 a、b、c の向かい側にあります。

どちらの定理を使うか：与えられた条件から出発する

解ける三角形の問題は、必ず三つの要素を与えます。パターンに名前をつければ、使う定理が決まります。

与えられた条件、使う定理、最初に求めるもの

与えられた条件	パターン	使う定理	最初に求めるもの
二つの角と、その間にない一辺	AAS	正弦定理	第三の角（180°から他の二つを引く）、次に辺
二つの角と、その間の辺	ASA	正弦定理	第三の角、次に辺
二辺と、その間にない角	SSA	正弦定理（要注意）	二番目に与えられた辺の対角。三角形が0個か1個か2個かを確認する
二辺と、その間の角	SAS	余弦定理	第三の辺
三辺	SSS	余弦定理	最大の角（最長の辺の対角）
三つの角	AAA	どちらも使えない	答えは一つに決まらない。どんな大きさの相似な三角形も条件に合う

この分け方は OpenStax のプレカルキュラス教科書に沿ったものです。正弦定理は二つの角と一辺が与えられた場合と、二辺とその間にない角が与えられた場合を扱い、余弦定理は正弦定理では扱えない二つの場合、つまり二辺とその間の角、または三辺が与えられた場合のための道具です（OpenStax, law of sines; OpenStax, law of cosines）。

理由は公式を見ればすぐにわかります。正弦定理は各辺をその対角と比べます。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

これを使うには、少なくとも一組の完全なペアが必要です。一辺とその向かい側の角がそろっていなければなりません。二辺とその間の角、または三辺が与えられた場合にはそのペアがないので、別の規則で出発する必要があります。

余弦定理：三平方の定理に補正を加えたもの

余弦定理を三つの形で書くと次のとおりです。

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

最後の式に $C = 90^{\circ}$ を入れてみてください。$\cos C = 0$ となって最後の項が消え、$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ だけが残ります。余弦定理は、直角でない角のための補正項がついた三平方の定理です。OpenStax は、出発点となるこの恒等式を「一般化された三平方の定理（Generalized Pythagorean Theorem）」と呼んでいます。考え方自体は古く、ユークリッド『原論』第2巻の命題12と13は、コサインが生まれるはるか前に、純粋に幾何学の言葉で鈍角三角形と鋭角三角形についてこれを証明しています（Euclid II.12, Clark University edition）。

補正の意味ははっきりしています。C が鋭角なら $\cos C$ は正なので、c は三平方の定理の値より短くなります。C が鈍角なら $\cos C$ は負で、マイナス符号が補正を足し算に変えるため、c は長くなります。角を開けば向かいの辺は伸び、閉じれば縮みます。

例題：二辺とその間の角

二辺が $b = 8$、$c = 11$ で、その間の角が $A = 40^{\circ}$ です。残りを求めましょう。

第三の辺。 既知の角を含む形に代入します。

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

よって $a \approx 7.08$ です。比較のために言うと、A が直角なら $\sqrt{185} \approx 13.60$ になるところで、40° の角がそれをほぼ半分に縮めています。

残りの角。 これで完全なペア（a と A）がそろったので、正弦定理が使えます。残る二辺のうち短いほう、つまり b の対角から求めます。

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

すると $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$ です。

C が鈍角である点に注目してください。もし C に正弦定理を使っていたら、電卓の逆正弦は同じ正弦をもつ鋭角 86.55° を返し、その後の数値はすべて間違っていたでしょう。小さいほうの角から求めればこの罠を避けられます。どんな三角形でも短い辺の対角は小さく、90° 以上の角は多くても一つだけなので、短い辺の対角は必ず鋭角だからです。

同じデータから面積もすぐに求まります。二辺とその間の角の正弦の積の半分です（OpenStax の正弦定理の節にある面積の公式）：$\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$。

三辺が与えられたら：最大の角から先に求める

三辺がすべて与えられたら、余弦定理を変形してコサインを取り出します。

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

辺が 5、7、9 の三角形を考えます。最長の辺は 9 なので、その対角から始めます。

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

コサインが負なので、C が鈍角だとすぐにわかります。残る二つの角は必ず鋭角なので、正弦定理を安全に使えます。

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

そして $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$ です。B を余弦定理で確かめても、同じ 50.70° になります。

順序を逆にすると罠が現れます。先に A を求めてから C に正弦定理を使うと、$\sin C \approx 0.9950$ となり、逆正弦は 84.26° を返します。本当の角はその補角の 95.74° です。ヒューストン大学の講義ノートはこの規則をはっきり述べています。選べるなら「通常は最大の角を先に求めるのが最善」だと（UH Math 1330, section 7.3）。

正弦定理：二つの角と一辺

二つの角がわかれば、三つめは自動的に決まります。三つの角の和は 180° だからです。その後の正弦定理は単純な比の計算です。

$A = 40^{\circ}$、$B = 60^{\circ}$、$a = 10$ とします。すると $C = 80^{\circ}$ で、共通の比は次のとおりです。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

これに各正弦をかけます。$b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$、$c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$ です。

ここにあいまいさはありません。すべての角を逆正弦ではなく引き算で求めたからです。辺が二つの角の間にある場合も同じ要領で、引き算で第三の角を出せば、一辺とその対角がそろい、あとは比が片づけてくれます。

あいまいな場合（二辺とその間にない角）：一つの三角形、三つの結果

ここは生徒が点を落としやすいところです。OpenStax は、このタイプのデータが「解が一つ、二つ、あるいは解なしになりうる」場合だと説明しています。理由を見るいちばんすっきりした方法は、一辺だけを除いてすべてを固定することです。

角 $A = 30^{\circ}$ と辺 $b = 10$ を固定します。辺 b が頂点 C から頂点 A まで地面に沿って横たわり、A での角が 30° だと思い描いてください。辺 a は C から垂れ下がり、扉のように振れて、A から伸びる直線に着地します。着地するかどうか、どこに着地するかは、a の長さだけで決まります。

鍵となる長さは、C からその直線に下ろした高さです。

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

では a だけを変えてみましょう。下の表の各行は $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ から計算し、有効数字12桁で確認したものです。

A = 30°、b = 10 のときの結果

辺 a	h = 5、b = 10 との比較	$\sin B$	三角形の個数	角 B	角 C	辺 c
4	h より短い	1.25	0	なし	なし	なし
5	h に等しい	1	1	90°	60°	8.66
8	h と b の間	0.625	2	38.68° または 141.32°	111.32° または 8.68°	14.91 または 2.42
12	b 以上	0.4167	1	24.62°	125.38°	19.57

一行ずつ読んでいきます。

• a = 4。 扉が高さより短く、地面に届きません。代数でも同じことがわかります。$\sin B = 1.25$ で、正弦が 1 を超える角はありません。三角形はできません。
• a = 5。 扉がまっすぐ下に下り、ちょうど地面に触れます。三角形は一つで、B が直角です。
• a = 8。 扉は高さより長く b より短いので、垂線の足の両側に一か所ずつ、二か所で地面に触れます。どちらも本物の三角形です。逆正弦は 38.68° を返し、もう一つの答えはその補角 $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$ です。$30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$ なので、第三の角の入る余地があります。c = 14.91 の幅の広い三角形と、c = 2.42 の細い三角形ができます。
• a = 12。 扉が b より長いので、二つめの着地点は A の後ろ、つまり三角形の外に落ちてしまいます。補角 155.38° に 30° を足すとすでに 180° を超えるので、除外します。三角形は一つです。

これらの条件は OpenStax の節にある四つの図と一致します。a が高さより短ければ三角形はなく、a が高さに等しければ直角三角形、a が高さと b の間なら二つ、a が b 以上なら一つです（A が鋭角のとき）。

覚えておきたい手順はこれです。あいまいな場合に逆正弦を使ったら、必ずその補角も書き出し、与えられた角と合わせて三角形に収まるかを確かめます。収まるなら答えは二つで、問題は通常その両方を求めます。A 自体が鈍角なら図はもっと単純で、a が b より長くなければ三角形はそもそもできません。

よくある間違い

二辺とその間の角、または三辺の問題に正弦定理を使う。 辺とその対角の完全なペアがないと、比の式に未知数が二つ残ります。余弦定理から始めましょう。

あいまいな場合の二つめの三角形を忘れる。 電卓が返すのは鋭角の逆正弦だけです。必ずその補角を確かめてください。

逆正弦で鈍角を求める。 二辺とその間の角、または三辺が与えられた問題では、最大の角を余弦定理で求めるか、小さい角を正弦定理で先に求めます。

電卓がラジアンモードのまま。 ラジアンでの $\cos 40$ は約 $-0.667$ であり、$0.766$ ではありません。ある辺が他の二辺の和より長く出たら、モードを確認しましょう。

途中で丸めてしまう。 求めた辺を次の計算に使うときは、桁数をそのまま保ってください。上の答えはすべてフルの精度で計算し、最後にだけ丸めています。

練習問題

答えを見る前に、一問ずつ自分で解いてみましょう。

1. 二辺とその間の角。 $b = 6$、$c = 9$、$A = 60^{\circ}$。a を求めなさい。
2. 三辺。 辺が 4、6、8 の三角形があります。最大の角を求めなさい。
3. 二辺とその間にない角。 $A = 40^{\circ}$、$b = 12$、$a = 9$。条件に合う三角形は何個で、c の取りうる値は何ですか。

答え。

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$ なので、$a = \sqrt{63} \approx 7.94$ です。
2. 最大の角は 8 の対角です。$\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$ なので、$C \approx 104.48^{\circ}$ です。
3. 高さは $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$ で、9 は 7.71 と 12 の間にあるので、三角形は二つです。$\sin B \approx 0.8571$ から $B \approx 58.99^{\circ}$ または $121.01^{\circ}$、続いて $C \approx 81.01^{\circ}$ または $18.99^{\circ}$、$c \approx 13.83$ または $4.56$ となります。

Math Zen の三角関数の練習には、三角比、恒等式、逆関数と並んで正弦定理と余弦定理が含まれ、挑戦のたびに数値が新しくなるので、二つの定理の選び分けが自然と身につきます。同じコサインは内積でもう一度登場します。その自然な次のステップをベクトルのガイドが説明しています。

よくある質問

正弦定理と余弦定理はどう使い分けますか？

二つの角と一辺、または二辺とその間にない角が与えられたら正弦定理を使います。二辺とその間の角、または三辺が与えられたら、どの辺にも既知の対角がないので余弦定理を使います。

余弦定理は三平方の定理と同じものですか？

一般形です。角を 90° にすると $-2ab\cos C$ の項が消えて、$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ が残ります。

正弦定理のあいまいな場合とは何ですか？

二辺とその間にない角が与えられると、三角形は0個、1個、2個のいずれにもなりえます。辺 a を高さ $h = b \sin A$ および辺 b と比べれば、どの場合かがわかります。

なぜ最大の角から先に求めるのですか？

角とその補角は正弦が等しいので、逆正弦では 84° と 96° を区別できません。鈍角になりうるのは最大の角だけです。それを余弦定理で求めれば、残りは安全です。