IB数学AA（SL与HL）怎么备考：12周复习计划

IB Mathematics: analysis and approaches（数学：分析与方法，简称AA）是IB大学预科项目（DP）两门数学课程中更偏代数的一门。IB对它的描述是：高度重视构建、表达和论证正确数学推理的能力。DP学生只能选一门数学课程，AA分为两个级别：标准级（SL）和高级（HL）。

关于IB数学AA怎么复习，大多数建议都很笼统：多做真题、背熟公式手册、尽早开始内部评估。这些都没错。本文则从IB自己的文件出发：课程简介（subject brief）、公式手册和计算器规定。内容包括两个级别的试卷、HL专属内容分布在哪里、公式手册给了什么又没给什么，以及按大纲五个主题安排的12周计划。你可以同时在Math Zen的IB数学 AA路径中练习。

SL与HL：两份试卷还是三份

2021年首次评估的这门课程，其IB课程简介规定了两个级别的评估方式。

组成部分	内容	SL时长	SL权重	HL时长	HL权重
Paper 1	不允许使用技术工具。A部分简答题，B部分长答题	1小时30分钟	40%	2小时	30%
Paper 2	允许使用技术工具。A部分简答题，B部分长答题	1小时30分钟	40%	2小时	30%
Paper 3	仅限HL。两道必答的长篇问题解决题，允许使用技术工具	无	无	1小时	20%
数学探究	内部评估，在课程期间完成	约15小时	20%	约15小时	20%

所有题目都是必答题。试卷在两个级别都占成绩的80%，数学探究占其余的20%。

成绩从7分（最高）到1分。同一个成绩等级，HL和SL在IB文凭中计入相同的分数，两个级别也按同一套等级描述评定；HL学生需要在更多的内容上达到这些描述。IB关于DP评估的说明解释了各科成绩如何合成文凭总分。

有一个日期对规划很重要。根据IB的数学课程页面，现行课程最后一次考试在2028年11月，新课程从2027年开始授课，2029年首次评估。2029年版课程简介保留了相同的试卷时长和权重，但把内容重新整理为A到E五个主题。如果你在2027年或2028年考试，下面的内容都适用。如果你在2027年开始这门课，请向老师确认你使用的是哪一版大纲。

课时花在哪里：SL主题与HL新增内容

课程简介列出了每个主题的建议授课时数，这是公开资料中最能说明各主题分量、以及HL在哪里加量的信号。表中HL一栏列出大纲和公式手册中HL专属的主要新增内容。

主题	SL课时	HL课时	HL新增内容	优先练什么
1 数与代数	19	39	计数原理、部分分式、复数、数学归纳法、反证法与反例、线性方程组	手算对数法则和等比级数
2 函数	21	32	多项式函数与有理函数、奇函数与偶函数、f(x)的绝对值图像与倒数图像	复合函数、反函数和图像变换
3 几何与三角	25	51	倒数三角函数与反三角函数、和角公式、向量、空间中的直线与平面	单位圆上的值和给定区间内的三角方程
4 统计与概率	27	33	贝叶斯定理、连续型随机变量	用计算器求二项分布和正态分布的概率
5 微积分	28	55	极限与连续、隐函数求导、相关变化率、进阶积分、旋转体体积、微分方程、麦克劳林级数	链式法则、乘积法则和商法则，然后是最优化

有两点很突出。微积分在两个级别都是最大的主题，到HL几乎翻倍。几何与三角在HL也翻倍，其中很大一部分是三维向量。如果你在选级别，这两行如实说明了多出来的90小时从哪里来。

如果向量让你觉得抽象，向量指南把箭头的图像和你要计算的分量联系起来，Math Zen的向量主题则练习点积、叉积、直线和平面。

Paper 1：代数功夫最值钱

Paper 1不允许使用任何技术工具，在SL占40%，在HL占30%，和Paper 2一样多，而且没有一分来自计算器。考试范围是整个大纲，所以微积分、三角和对数都必须能手算。

Paper 1的大部分分数靠三项技能。第一是精确值：标准角（弧度）的正弦、余弦和正切，要从单位圆上读出来，而不是当作一张表去背。三角函数指南把它们当作圆上的坐标来建立，所以很容易重新推出。第二是指数与对数法则的双向运用，既用于化简也用于解方程；对数指南解释了这些法则为什么成立。第三是干净利落地运用求导和积分法则，之后的代数运算不出错。

练这些时把计算器放远一点：复习时每一步都用计算器检查，会让Paper 1显得比实际难得多。

Paper 2与你的计算器

Paper 2允许使用技术工具，IB表示所有DP数学课程都要求学生熟练使用图形显示计算器。要预料到有些题目用计算器是最快的路：求两条曲线的交点、数值定积分或正态分布概率。

IB计算器清单列出了推荐型号，其中包括TI-84 Plus系列、处于Press-to-Test模式的非CAS版TI-Nspire，以及处于Examination Mode的Casio fx-CG50。清单禁止TI-89和Casio ClassPad等CAS计算器，也不允许存储可以代替记忆事实或公式的笔记、程序或应用。

在你要用的那台计算器上，学会在合适的窗口中作图，求交点、零点和极值点，数值解方程，求某点的导数值和定积分，以及计算二项分布和正态分布的概率，包括逆正态。把你的操作用数学记号写下来：在多分值的题目里，只写一个数字而没有过程是有风险的。

HL的Paper 3是一项单独的技能

HL的Paper 3用一小时完成两道必答的长篇问题解决题，占成绩的20%。一小时两道题意味着每道题都很长，课程简介把问题解决描述为把所学知识运用到非常规和开放性的问题上。它要求你在没人告诉你用哪种方法的情况下，一步步理清一个陌生的情境。

专题练习本身练不出这种能力。每两周拿一道往年的Paper 3题目，给自己三十分钟，把所有尝试都写下来，包括没走通的情况。然后阅读评分标准，看看考官预期的思路，再做比较。

公式手册里缺什么

公式手册是SL和HL共用的一份文件，每个主题都有仅限HL的部分，课程期间和考试中都会使用。它给得很多：二次方程求根公式和判别式、二项式定理、正弦定理和余弦定理、三角形面积$\tfrac{1}{2}ab\sin C$、二倍角公式，以及链式法则、乘积法则、商法则和$\sin x$、$\cos x$、$e^x$、$\ln x$的导数。

所以真正有用的是“手册里找不到什么”的清单。手册里没有三角函数精确值表。手册给你法则，却从不告诉你什么时候用：哪个恒等式能把方程变成二次方程，什么时候该换元。根据自己的错误整理一页“手册里没有”的内容，每周凭记忆自测一次；记忆数学公式的指南解释了为什么理解了的公式更容易记住。把手册从头到尾读一遍，考试时就能在几秒内找到公式。

数学探究占20%，没有捷径

数学探究（exploration）是一篇关于你自选题目的书面数学作业，两个级别都必须完成，占20%。课程简介为它安排了约15小时。它由老师评分，再由IB进行审核调整（moderation）。Math Zen帮不上这部分，任何刷题应用也一样：这是你自己的研究，由老师和评估标准指导。尽早选题，题目要窄，等提交之后再专心复习考试。

IB数学AA的12周复习计划

从你的第一场数学考试往前倒数十二周；考试日期由学校的IB协调员告知。第1周开始前，按所在级别的考试时间，不复习直接做一份Paper 1和一份Paper 2，用评分标准批改，把每处失分归类：概念漏洞、方法漏洞、代数失误、计算器操作问题，或审题与时间问题。概念漏洞需要重新讲清这个概念；方法漏洞需要隔天在空白页上重现解答过程；失误需要放慢速度、边做边检查地手算练习。

计划按主题顺序推进，并像授课时数那样给微积分最多的时间。每次练习结束前做十分钟前几周内容的混合题；间隔重复练习的指南解释了为什么短而分散的复习记得更牢。

第1、2周：数、代数与函数。 数列与级数、对数与指数、二项式定理、二次函数与方程、函数、反函数、复合与变换。先手算，因为Paper 1就是这样考的。

第3、4周：几何与三角。 正弦定理和余弦定理，包括正弦定理得出两个三角形的情况，正弦定理与余弦定理指南详细讲解了这一点；弧度、弧长与扇形、恒等式以及给定区间内的三角方程。HL：空间中的向量、直线和平面。

第5到7周：微积分。 极限、求导法则、切线与法线、最优化、运动学、积分与面积。HL：隐函数求导、相关变化率、换元积分与分部积分、旋转体体积和微分方程。Math Zen的导数主题会把这些法则练到熟练。

第8周：统计与概率。 描述统计、回归、概率，用计算器处理二项分布和正态分布。HL：贝叶斯定理和连续型随机变量。

第9周：HL专属内容，或巩固SL。 HL：复数的代数形式、极坐标形式和欧拉形式（复数极坐标形式指南会有帮助）、数学归纳法、反证法与反例、麦克劳林级数。SL：把微积分和三角再过一遍。

第10周：公式手册与计算器。 整理你的“手册里没有”清单，并在考试用的计算器上练熟Paper 2需要的每一项操作。

第11、12周：整套试卷。 按考试时间做Paper 1和Paper 2，HL再加Paper 3。把每道失分题从空白页重做一遍，然后不再增加新内容。

Math Zen能练什么，不能练什么

Math Zen的IB数学 AA路径在同一条路径中练习SL内容和HL专属内容，一次一道题，难度随你的表现调整。SL学生可以跳过HL专属的子主题，例如复数、空间向量和微分方程。这条路径覆盖了大纲中的大部分内容条目，但不是全部，在依赖它之前最好先了解这些缺口：

• 书面证明。 应用无法批改证明。它练习数学归纳法中的归纳步骤，但不练SL的演绎证明，也不练反证法和反例。
• 部分HL内容。 连续型随机变量、复数的欧拉形式和共轭根定理、奇函数与偶函数、函数的绝对值图像与倒数图像、斜渐近线、欧拉法、绕y轴的面积与体积，以及分数或负数指数的二项式定理，目前还没有练习。
• 部分SL细节。 正弦定理的两解情况、x对y的回归直线，以及画函数草图（应用练的是读图）都没有覆盖。
• 计算器、Paper 3和数学探究。 应用不训练图形计算器的操作，不出Paper 3式的探究题，也帮不上数学探究。

用应用每天练技巧，用带评分标准的往年试卷练这份清单里的所有内容。

总结

IB数学AA在SL有两份试卷，在HL有三份，另有占20%的数学探究。Paper 1和Paper 2分量相同，却完全不能用计算器，所以手算代数和精确值决定了很多人的成绩。HL多出约90个授课小时，主要是微积分和向量，还有一份问题解决的Paper 3。先用真题诊断，按主题分量分配时间，弄清公式手册缺什么，最后按考试时间做整套试卷。