复数的极形式：换算、乘法与除法

数 $3+3i$ 给出一个地址：向右三单位、向上三单位。它也给出方向与距离：向东北，离零点 $3\sqrt{2}$。直角形式和极形式描述的是完全相同的数，只是分别让不同的计算变得容易。

直角形式适合加法。极形式让乘法看起来像两个普通动作：缩放与旋转。因此，一个看似复杂的幂，只要换一种描述，就可能变成很短的计算。

如果你还不熟悉虚数单位，请先阅读我们的虚数直观解释。本文关注下一步实践：换算、计算，以及检查答案。

模与辐角描述同一支箭头

从原点向 $z=a+bi$ 画一支箭头。它的水平分量是 $a$，竖直分量是 $b$。箭头的长度叫作模，由直角三角形可得：

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

辐角是从实轴正方向逆时针量出的角 $\theta$。正旋转沿逆时针，负旋转沿顺时针。转一整圈会回到同一支箭头，因此辐角并不唯一。

长度为 $r$ 的箭头，其水平分量和竖直分量分别是 $r\cos\theta$ 与 $r\sin\theta$。代入这些分量，就得到极形式：

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

有些书把它写成 $r\operatorname{cis}\theta$。这个缩写完全等于括号里的表达式，只是较短的写法，不是新的运算。

这里用到了极坐标的几何，不过我们的目标是复数运算，不是绘制极坐标曲线。

换算时别丢掉象限

考虑 $z=-3+3i$。先求模：

$$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

实部为负，虚部为正，所以箭头指向第二象限。水平距离与竖直距离的绝对值相等，因此参考角是 $\pi/4$。所需辐角就是 $3\pi/4$，即 135 度：

$$-3+3i=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

为什么不能直接输入 $\arctan(b/a)$？这里的比值是 -1，普通的反正切计算会返回 $-\pi/4$。这个角指向第四象限，方向正好相反。单独一个比值会丢掉用于确定象限的符号。

每次都按这个顺序做：

1. 求模。
2. 在草图上标出实部与虚部的正负。
3. 求参考角，并把它放进正确象限。
4. 代回去，检查两个分量。

计算器或编程语言里的 $\operatorname{atan2}(b,a)$ 函数会处理象限以及落在坐标轴上的情况。请检查参数顺序，并确认输出是否使用弧度。如果使用只有一个参数的反正切，草图仍然必不可少。

换回去作为检查

从极形式回到直角形式，就是分别计算两个分量。对上面的例子：

$$a=3\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3$$ $$b=3\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3$$

结果正是所需的 $-3+3i$。这种检查会立刻抓出象限错误：即使模正确，错误的角也会产生错误的符号。

如果角没有简单的精确值，请到最后一步才对辐角取近似。过早舍入会在换回各分量时引入不必要的误差。

乘法会缩放并旋转

设一个数的模为 $r_1$、辐角为 $\theta_1$，另一个数的模为 $r_2$、辐角为 $\theta_2$。相乘时，长度相乘，旋转量相加：

$$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$$

取两个模都是 2、辐角分别为 $\pi/6$ 和 $\pi/3$ 的数。乘积的模是 4，辐角是 $\pi/2$：

$$z_1z_2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

还可以在直角形式下独立检查。开头的两个数是 $\sqrt{3}+i$ 与 $1+\sqrt{3}i$：

$$(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)=\sqrt{3}+3i+i+\sqrt{3}i^2=4i$$

由于 $i^2=-1$，实部互相抵消。两种描述得到相同答案，但极形式在展开之前就让直角旋转显现出来。

除法撤销缩放与旋转

除以一个非零复数时，模相除，辐角相减：

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$$

例如，用模为 6、辐角为 $5\pi/6$ 的数，除以模为 2、辐角为 $\pi/3$ 的数。结果的模是 3，辐角是 $\pi/2$，所以商为 $3i$。

分母的模必须非零。极形式不会让除以零变得有效。还要保持正确的相减顺序：若用第二个数除以第一个数，缩放因子与角度差都会反过来。

幂重复同一项运算

把复数提高到正整数次幂，就是重复同一个乘法。模提高到该次幂，辐角乘以这个次数：

$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

这就是棣莫弗公式。对 $z=\sqrt{3}+i$，模为 2，一个辐角是 $\pi/6$。立方得到：

$$(\sqrt{3}+i)^3=2^3\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=8i$$

三次 30 度旋转合成一次 90 度旋转。三个 2 的缩放因子相乘得到 8。你仍然可以展开立方，但极形式直接显示了结果为何落在虚轴上。

OpenStax 的极形式章节也推导了相应的开根计算。关键区别是：当 n ≥ 2 时，一个非零复数有多个不同的 n 次方根，只把某个选定角除以 n，无法列出全部方根。

理清这些特殊情形

转一整圈会改变角，却不改变数。 角 $\theta$ 与 $\theta+2\pi k$ 对每个整数 $k$ 都描述相同方向。如果题目要求主辐角，请使用题目给定的区间，常见的是 $(-\pi,\pi]$。不同课程可能使用其他区间，所以要说明你的约定。

零没有确定的方向。 它的模是零。任意角都会给出相同的零分量，因此给零指定唯一辐角没有意义。

弧度与角度不能混用。 在三角形式中，只要前后一致，两者都可以使用。指数形式 $re^{i\theta}$ 使用弧度。我们的欧拉恒等式指南解释了这层联系。

加法不能使用乘法规则。 把模与辐角分别相加，并不能得到复数之和。先换成直角形式，把分量相加，再在需要时换回极形式。

一次练习一个判断

Math Zen 的复数练习包含极形式与棣莫弗定理。学习时把技能分开：先判断象限，再求模，然后换算，最后才尝试乘积或幂。

提交答案前，问自己三个问题。它到零点的距离合理吗？它的方向与运算一致吗？换回直角分量后，能否重现出发时的数？这些检查让极形式不再是另一个需要背诵的公式，而成为看清计算的方法。