正弦定理和余弦定理：什么时候用哪一个

测绘员知道一块地的两条边和它们的夹角，需要求出第三条边。飞行员知道自己与两个无线电信标构成的三角形的两个角，以及一段距离。这两个三角形都没有直角，SOH CAH TOA 帮不上忙。解决这类问题靠的是正弦定理和余弦定理，只要知道三角形的三个要素（其中至少有一条边），这两条规则就能解出任何三角形。

难点通常不在公式本身，而在于选用哪一个定理，以及留意那种计算器会悄悄给出错误角度的情形。本文先给出一张判断表，为每种情形各演算一个例子，然后只改动一条边，让同一个三角形走遍多解情形的所有结果。如果你还觉得正弦和余弦只是计算器上的按键，而不是一种思想，可以先读三角函数直觉指南，把它们重新搭建起来。

全文的记号保持一致：角 A、B、C 分别位于边 a、b、c 的对面。

该用哪个定理：从已知条件出发

每个可解的三角形问题都会给出三个要素。说出它属于哪种模式，该用的定理也就确定了：

已知条件、所用定理、先求什么

已知条件	模式	所用定理	先求什么
两角及不在两角之间的一边	AAS	正弦定理	第三个角（180° 减去另外两个角），再求各边
两角及它们之间的一边	ASA	正弦定理	第三个角，再求各边
两边及其中一边的对角	SSA	正弦定理，需谨慎	另一条已知边的对角；检查是 0 个、1 个还是 2 个三角形
两边及其夹角	SAS	余弦定理	第三条边
三条边	SSS	余弦定理	最大的角（最长边的对角）
三个角	AAA	都不行	没有唯一答案：任意大小的相似三角形都符合

这种划分遵循 OpenStax 的预备微积分教材：正弦定理处理已知两角和一边、已知两边和其中一边的对角这两类情形，而余弦定理是正弦定理对付不了的两种情形，即已知两边及其夹角、已知三边时的工具（OpenStax, law of sines; OpenStax, law of cosines）。

原因从公式上就能看出来。正弦定理把每条边与它的对角进行比较：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

要用它，至少需要一组完整的搭档：一条边和它对面的角。已知两边及其夹角或已知三边时，永远给不出这样一组，所以得先换另一条规则起步。

余弦定理：勾股定理加上一项修正

余弦定理有三种写法：

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

看最后一个式子，取 $C = 90^{\circ}$。这时 $\cos C = 0$，最后一项消失，只剩下 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$。余弦定理就是给非直角准备了修正项的勾股定理。OpenStax 把它出发时用的那个恒等式称为“广义勾股定理”。这个想法很古老：欧几里得《几何原本》第二卷的命题 12 和 13，早在余弦出现之前，就用纯几何的语言对钝角三角形和锐角三角形证明了它（Euclid II.12, Clark University edition）。

这项修正的含义很清楚。当 C 为锐角时，$\cos C$ 为正，所以 c 比勾股定理给出的值短。当 C 为钝角时，$\cos C$ 为负，负号把修正变成了加法，所以 c 更长。把角张开，对边就被拉长；把角合拢，对边就缩短。

例题：已知两边及其夹角

两边为 $b = 8$ 和 $c = 11$，夹角 $A = 40^{\circ}$。求其余的量。

第三条边。 代入含有已知角的那个形式：

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

所以 $a \approx 7.08$。作个对比：如果 A 是直角，会得到 $\sqrt{185} \approx 13.60$；40° 的角把这个值削掉了差不多一半。

其余的角。 现在有了完整的一对（a 与 A），正弦定理可以用了。先求另外两条边中较短的那条，也就是 b 的对角：

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

于是 $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$。

注意 C 是钝角。如果你改用正弦定理去求 C，计算器的反正弦会返回 86.55°，也就是正弦值相同的那个锐角，之后每一个数都会算错。先求较小的角就能避开这个问题：任何三角形中，较短边的对角更小，而 90° 或更大的角最多只有一个，所以较短边的对角一定是锐角。

同样的数据还能直接给出面积：两边乘积的一半再乘以夹角的正弦（这是 OpenStax 正弦定理一节里的面积公式）：$\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$。

已知三边：先求最大的角

已知三条边时，把余弦定理变形，单独解出余弦：

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

取边长为 5、7、9 的三角形。最长边是 9，所以先求它的对角：

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

余弦为负，立刻说明 C 是钝角。现在对其余两个角用正弦定理就安全了，因为它们必然是锐角：

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

于是 $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$。用余弦定理再算一次 B，得到同样的 50.70°。

换一个顺序，陷阱就出现了。先求 A，再对 C 用正弦定理：得到 $\sin C \approx 0.9950$，反正弦给出 84.26°。真实的角是它的补角 95.74°。休斯敦大学的课程讲义把规则说得很明白：如果可以选择，“通常最好先求最大的角”（UH Math 1330, section 7.3）。

正弦定理：已知两角和一边

知道两个角时，第三个角是白送的：三个角之和为 180°。此后正弦定理就是一道直接的比例式。

设 $A = 40^{\circ}$，$B = 60^{\circ}$，$a = 10$。则 $C = 80^{\circ}$，公共比值为

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

再乘以每个正弦值：$b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$，$c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$。

这里没有任何模糊之处，因为每个角都是用减法得到的，而不是用反正弦。已知边夹在两角之间时也一样：先用减法得到第三个角，这样就有了一条边和它的对角，剩下的交给比例式。

多解情形（两边和其中一边的对角）：一个三角形，三种结果

这是学生最容易丢分的地方。OpenStax 把它描述为这类数据“可能得到一个或两个解，甚至无解”的情形。看清其中原因最干净的办法，是除了一条边之外全部固定。

固定角 $A = 30^{\circ}$ 和边 $b = 10$。想象边 b 平放在地面上，从顶点 C 到顶点 A，A 处的角是 30°。边 a 从 C 垂下来，像一扇门一样摆动，直到落在从 A 出发的那条射线上。能不能落上去、落在哪里，只取决于它的长度。

关键的长度是从 C 到那条射线的高：

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

现在只改变 a。下表每一行都由 $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ 算出，并核对到 12 位有效数字：

A = 30°、b = 10 时的各种结果

边 a	与 h = 5、b = 10 比较	$\sin B$	三角形个数	角 B	角 C	边 c
4	比 h 短	1.25	0	无	无	无
5	等于 h	1	1	90°	60°	8.66
8	介于 h 与 b 之间	0.625	2	38.68° 或 141.32°	111.32° 或 8.68°	14.91 或 2.42
12	不短于 b	0.4167	1	24.62°	125.38°	19.57

逐行来读：

• a = 4。 门比高还短，永远够不到地面。代数结果也一样：$\sin B = 1.25$，而没有哪个角的正弦值大于 1。没有三角形。
• a = 5。 门笔直垂下，刚好碰到地面。一个三角形，B 处是直角。
• a = 8。 门比高长，但比 b 短，所以它在高的垂足两侧各碰到地面一次，共两个点。两个都是真正的三角形。反正弦给出 38.68°；另一个答案是它的补角 $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$，而 $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$，给第三个角留出了空间。你会得到一个宽三角形（c = 14.91）和一个细三角形（c = 2.42）。
• a = 12。 门比 b 还长，第二个落点会落在 A 的后面，在三角形之外。补角 155.38° 加上 30° 已经超过 180°，所以舍去。一个三角形。

这些条件与 OpenStax 那一节的四幅图相符：a 比高短则无三角形，a 等于高则是直角三角形，a 介于高与 b 之间则有两个，a 不短于 b 则有一个（A 为锐角时）。

值得记住的流程是：在多解情形中，每次反正弦之后都写下它的补角，并检验它与已知角是否放得下。如果放得下，就有两个答案，题目通常要求两个都给出。如果 A 本身是钝角，情形更简单：a 必须比 b 长，否则根本没有三角形。

常见错误

已知两边及其夹角或已知三边时使用正弦定理。 没有一条边和它对角构成的完整一对，比例式里就有两个未知数。请从余弦定理入手。

忘记多解情形的第二个三角形。 计算器只会返回锐角的反正弦。一定要检验它的补角。

用反正弦求钝角。 已知两边及其夹角或已知三边时，用余弦定理求最大的角，或者先用正弦定理求较小的角。

计算器处于弧度模式。 弧度制下 $\cos 40$ 约为 $-0.667$，而不是 $0.766$。如果某条边算出来比另外两边之和还长，请检查模式。

过早四舍五入。 把求出的边用于下一步之前，保留完整精度；上面的答案全程以完整精度计算，只在最后才四舍五入。

练习题

先自己做，再看答案。

1. 已知两边及其夹角。 $b = 6$，$c = 9$，$A = 60^{\circ}$。求 a。
2. 已知三边。 一个三角形的三边为 4、6、8。求它最大的角。
3. 已知两边和其中一边的对角。 $A = 40^{\circ}$，$b = 12$，$a = 9$。符合条件的三角形有几个？c 的可能取值是多少？

答案。

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$，所以 $a = \sqrt{63} \approx 7.94$。
2. 最大的角是 8 的对角：$\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$，所以 $C \approx 104.48^{\circ}$。
3. 高为 $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$，而 9 介于 7.71 与 12 之间，所以有两个三角形。由 $\sin B \approx 0.8571$ 得 $B \approx 58.99^{\circ}$ 或 $121.01^{\circ}$，于是 $C \approx 81.01^{\circ}$ 或 $18.99^{\circ}$，$c \approx 13.83$ 或 $4.56$。

Math Zen 的三角函数练习把正弦定理和余弦定理与三角比、恒等式和反函数放在一起，每次尝试的数字都是新的，让你在两个定理之间的选择变成自动反应。同一个余弦还会在点积中再次出现，向量直觉指南把它当作自然的下一步来讲解。

常见问题

什么时候用正弦定理，什么时候用余弦定理？

已知两角和一边，或已知两边和其中一边的对角，用正弦定理。已知两边及其夹角，或已知三边，用余弦定理，因为这两种情形里没有任何一条边带着已知的对角。

余弦定理和勾股定理是一回事吗？

它是一般形式。把角取为 90°，$-2ab\cos C$ 这一项就消失了，只剩下 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$。

正弦定理的多解情况（模糊情形）是什么？

已知两边和其中一边的对角时，可能对应零个、一个或两个三角形。把边 a 与高 $h = b \sin A$ 以及边 b 比较，就能判断是哪一种。

为什么要先求最大的角？

一个角与它的补角正弦值相同，所以反正弦分不清 84° 和 96°。只有最大的角才可能是钝角；用余弦定理求出它，其余的角就都安全了。