物理需要的数学是什么：代数、三角函数、单位换算与二次方程，AP Physics 1和A-Level考前该怎么练

一个学生可以清楚地讲出牛顿第二定律，画出正确的受力图，列出正确的方程，却依然丢分。失误发生在接下来的两行：公式变形错了，该用余弦的地方用了正弦，或者把以千米每小时为单位的速度直接乘以以秒为单位的时间。

问物理老师分数丢在哪里，得到的答案很少是"学生不懂物理"。真正的原因是代数、三角函数和单位换算。这些都是数学技能，可以脱离用到它们的物理内容单独练习。

本文按专题梳理了物理第一年课程背后用到的数学，让你能针对真正薄弱的技能去练习，而不是重读一遍已经懂的章节。它是为准备AP Physics 1或A-Level物理的学生写的，也是为刚开始使用我们姐妹应用Physics Zen、却不明白代数为什么总出问题的人写的。

公式变形是每个专题都会用到的技能

物理公式几乎从不会以印刷时的原始形式被直接考查。公式表给出$v = u + at$，题目却要求时间。给出$F = ma$，题目却给出力和加速度，要求质量。

变形只是普通的代数：对两边做同样的运算，直到未知量单独留在一边。常见错误也很普通：只从一边减去某一项、只把和式中的一项相除而不是整体相除、移动一个平方量却忘了在另一边开平方。

一个有用的例子是向心加速度$a = \frac{v^2}{r}$。求半径需要两边同乘$r$再除以$a$，得到$r = \frac{v^2}{a}$。求速度则需要最后开平方，得到$v = \sqrt{ar}$。得出$v = \frac{ar}{1}$的学生并没有犯物理上的错误，他们只是漏掉了一步代数。

如果这一步做起来慢，Math Zen的代数专题每次都会用新的数字练习化简、求解和变形，代数指南则解释了这些步骤为什么成立。在Physics Zen中，同样的技能会立刻出现在免费的运动学专题里，每道题都需要你把公式反过来求解。

重力一出现，二次方程就来了

匀加速运动会得到下面这个方程：

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

一旦未知量是时间，这就是一个二次方程。从离地$20\ \text{m}$的台阶上以$15\ \text{m/s}$竖直向上抛出的球，落地时满足：

$$0 = 20 + 15t - 4.9t^2$$

求根公式给出两个根，大约是$t = 4.07\ \text{s}$和$t = -1.00\ \text{s}$。只有正根描述的是抛出之后的时间。物理告诉你该保留哪个根，代数告诉你根是多少。这两步都必须正确。

这里常见的数学错误是公式内部的符号写错、用$b$代替了$-b$，以及平方根内的算术出错。这些都可以在Math Zen的解方程中练习，二次方程指南说明了公式为什么成立。Physics Zen运动学中的抛体运动和自由落体问题，每次都会用新的发射速度来用到它。

三角函数把斜面拆成两个数

斜面上的力、有角度的绳子中的张力、抛体的初速度：这些都需要拆分成分量。用到的只是直角三角形的三角函数，不需要更高深的东西。

能避免大多数错误的规则是：与已知角邻边对应的分量用余弦，与对边对应的分量用正弦。在倾角为$\theta$的斜面上，沿斜面方向的重力分量是$mg\sin\theta$，压向斜面的分量是$mg\cos\theta$。

用极限情况来检验：当$\theta = 0$时表面是水平的，不应该有力沿表面拉动物块。由于$\sin 0 = 0$，正弦版本的结果是对的。如果把沿斜面方向的力写成$mg\cos\theta$，水平情况就会得到整个$mg$在侧向拉动，这显然是错的。这个三十秒的检验能抓住力学中最常见的三角函数错误。

Math Zen专门为此设置了三角函数专题，向量专题则讲解如何把分量重新合成。如果正弦和余弦对你来说还只是一张数值表，而不是圆周上的坐标，先读读三角函数指南。在物理这一侧，斜面是Physics Zen动力学中的最后一个技能。

乘方、开方与平方反比

动能是$\tfrac{1}{2}mv^2$，向心加速度是$\frac{v^2}{r}$，引力场强是$\frac{GM}{r^2}$。物理中到处都是分子分母里的平方，每一个都会引出一道比例推理题。

速度翻倍，动能就变成四倍。轨道半径翻倍，表面重力就降到四分之一。在同一条曲线上速度变成三倍，所需的向心力就变成九倍。出题者喜欢这类题目，因为计算很简单，但推理并不简单。

这里重要的数学习惯有两个。第一，要知道底数放大时乘方如何变化：如果$v$变成$k$倍，那么$v^2$就变成$k^2$倍。第二，要熟悉科学记数法，因为$G = 6.67 \times 10^{-11}$和地球质量$5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$会在同一道题里相乘。

Math Zen的乘方与开方会同时练习这两点，指数指南解释了负指数到底意味着什么。万有引力则在Physics Zen的圆周运动与万有引力中。

比例与单位换算

一辆以$72\ \text{km/h}$行驶的汽车刹车$4\ \text{s}$。在物理计算开始之前，这个速度必须先变成$20\ \text{m/s}$。除以$3.6$不是什么物理定律，只是每千米$1000$米除以每小时$3600$秒。

单位换算就是比例推理，密度问题、"多几倍"问题，以及任何给出固定比例的两个量的题目都是如此。常见的出错方式总是一样的：该除的时候乘了，或者只换算了$\text{km/h}$这类复合单位中的一个单位。

Math Zen的比例专题直接练习这一点，更完整的解释见比例指南。Physics Zen中的匀速运动，也就是免费运动学专题的第一个技能，几乎每道题都要求同样的换算。

读图：斜率与面积

速度时间图是物理第一年课程中考查最多的一种图像。斜率就是加速度，图线与时间轴之间的面积就是位移。位置时间图中，斜率则表示速度。知道哪个量对应图上的哪个部分是物理，正确读出斜率、正确算出面积是数学。

常见错误是题目问斜率，却读了图像的高度，或者忘记轴下方的面积要算作负位移。这两种都是读图上的数学错误，而不是物理错误。

Math Zen的图像分析专题练习截距、斜率和图像的各种性质，完全不涉及物理。如果之后学习需要微积分的课程，导数指南和积分指南会说明"斜率"和"面积"其实是同一种想法的精确化。

两个未知数需要两个方程

有些问题不能一次只解一个方程。弹性碰撞同时守恒动量和动能，这就得到关于两个末速度的两个方程。有两个电池的电路，需要对两个回路分别写出基尔霍夫回路定律。抛体问题可能会把共用飞行时间的水平方程和竖直方程结合在一起。

这些是联立方程，常见错误是代入了错误的方程，或者搞不清消去的是哪个变量。Math Zen的线性方程组专门练习代入法和消元法。在Physics Zen中，同样的结构出现在动量与碰撞和电路中。

同时使用两款应用的练习计划

下表把每个物理专题和其中最容易出错的数学技能对应了起来。

物理专题（Physics Zen）	最容易出错的数学技能（Math Zen）
匀速运动	比例与单位换算
匀加速运动、自由落体	公式变形、二次方程
抛体运动	三角函数、二次方程、联立方程
牛顿定律、摩擦力、斜面	三角函数、解一次方程
功、能量、功率	乘方与开方、比例推理
动量与碰撞	线性方程组
圆周运动与万有引力	分式中的平方、科学记数法
任何专题中的图像题	斜率、面积、图像性质

一个可行的流程很简短。先用右侧列出的数学技能练十分钟新生成的题目，再转向左侧的物理专题，一直做到不再留意代数部分为止。两款应用每次都会生成新的数字，所以你无法靠记答案，只能靠掌握方法。

Physics Zen由Math Zen的同一个团队开发，遵循同样的流程：生成一道题、当场检查、给出完整解答，并在题目旁边附上理论讲解。运动学从头到尾都是免费的。它已经上线iPhone和Android。反过来看，Physics Zen博客整理了其实是数学错误的物理错误，以及每种情况该练习什么。

要修正一个丢掉的符号，你不需要学更多物理，只需要五分钟正确的代数练习，然后你早已理解的物理就能拿到应得的分数。