分部积分例题：如何选取 u 并逐步验算答案

看一看$\int x e^{2x}\,dx$。幂函数积分法则不能直接处理整个乘积；只积分$e^{2x}$，又会留下$x$。分部积分为这个乘积提供了有用的处理方向：对求导后会变简单的部分求导，对仍容易处理的部分积分，再计算留下的较简单的积分。

本课通过分部积分例题，从一次处理一个乘积讲到重复使用公式以及带上下限的定积分。如果想先理解积分的意义，请阅读积分入门。导数指南也很有帮助，因为在这里，对答案求导是最好的验算方式。

公式从哪里来

乘积法则给出$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$。对等式两边积分，再将其中一项移到另一边，就得到OpenStax《微积分》第二卷介绍的分部积分公式：

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

这里，$u$是你选择求导的表达式，$dv$是你选择积分的部分。求出$du$与$v$以后，新的积分$\int v\,du$应比原积分容易。如果它反而更难，就重新考虑拆分方式。这个公式是乘积法则的代数结果，并不保证任意拆分都有帮助。

对于不定积分，最后别忘了积分常数$C$。为$v$选择原函数时本来可以加上常数，但更简便的做法是先取一个方便的$v$，在最终答案中加上$C$。

有目的地选择 u 与 dv

可以先问：“哪个因子求导后会逐步变简单？”多项式$x^2$依次变为$2x$、$2$，最后变为零。对数求导后得到$1/x$，常能与其余部分方便地结合。与此同时，指数函数以及正弦、余弦可以反复进行较简单的积分。

常见的LIATE口诀按对数、反三角、代数、三角、指数函数的顺序，为$u$提供候选。OpenStax把它当作经验法则，不是定理。不要看到第一个字母就直接套用，应检查所得的$\int v\,du$。换一种拆分可能更短，有些乘积则更适合换元法。

例如，$\int 2x\cos(x^2)\,dx$同时含有内层函数$x^2$及其导数$2x$。令$t=x^2$，则$dt=2x\,dx$，原积分为$\sin(x^2)+C$。如果在这里用分部积分，只会把简单的复合函数问题变复杂。相比之下，$x e^{2x}$没有这样直接匹配的内层函数和导数，而对$x$求导会消去它。

计算前可以写一个简短的两列表：一侧写$u$、$du$，另一侧写$dv$、$v$。然后问自己：$v$与$du$相乘后，得到的积分是否更简单？这一步能避免常见错误，即仅因为某个因子看起来熟悉、容易积分，就把它选作$u$。

例题一：一次因子乘以指数函数

求$\int x e^{2x}\,dx$。选$u=x$，于是$du=dx$；选$dv=e^{2x}\,dx$，得到$v=\frac12e^{2x}$。系数$\frac12$很重要：对$e^{2x}$求导会额外产生一个2。

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

对因式分解后的答案求导。乘积法则给出$\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$，化简后是$x e^{2x}$，恰好回到原来的被积函数。如果验算得到了$2x e^{2x}$，很可能是漏掉了$\frac12$这个系数：积分$e^{2x}$时必须保留它。

这个选择还有明确的终点：$x$求导后变成常数，因此剩余积分只含指数函数。在本题中，这就是“更简单”的具体含义。

例题二：对对数函数积分

求$\int\ln x\,dx$，其中$x>0$。式子没有显式的乘积，但可以补上因子1：$\ln x=1\cdot\ln x$。选择$u=\ln x$、$dv=dx$，则$du=\frac1x\,dx$、$v=x$。

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

验算很简短：$\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$。限定$x>0$，可以使用$\ln x$和$1/x$，而不必跨过零。更一般的原函数$x\ln|x|-x+C$适用于不含零的区间，但本题只讨论正数一侧。

如果反过来选$u=1$、$dv=\ln x\,dx$，为了求$v$，你必须先知道原来的积分。这个循环拆分说明此处为什么应把对数选为$u$。

例题三：重复使用公式，直到多项式消失

求$I=\int x^2\sin x\,dx$。对$x^2$求导会降低次数，而正弦函数容易积分。先选$u=x^2$、$dv=\sin x\,dx$，于是$du=2x\,dx$、$v=-\cos x$：

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

剩余积分仍然是一个乘积。令$J=\int x\cos x\,dx$，再用一次分部积分：$u=x$、$du=dx$、$dv=\cos x\,dx$、$v=\sin x$。于是

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

把它代回$I$：

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

现在逐项求导。$-x^2\cos x$的导数是$-2x\cos x+x^2\sin x$；$2x\sin x$的导数是$2\sin x+2x\cos x$；$2\cos x$的导数是$-2\sin x$。多出的项全部抵消，只剩$x^2\sin x$。这样的抵消同时检验了积分正弦时的负号，以及对$x^2$求导时出现的系数2。

当每次应用都会让某个因子变小时，重复分部积分很有用。如果新积分与原积分相似，也可能通过把原积分收集到等式一边来求解；但如果看不到明确的结束方式，就不要盲目重复套公式。

例题四：在定积分中保留上下限

计算$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$。因子$x$容易积分，而$\ln(1+x)$求导后得到$1/(1+x)$。选$u=\ln(1+x)$、$dv=x\,dx$，于是$du=\frac{1}{1+x}\,dx$、$v=x^2/2$。分部积分的定积分形式为$\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$。

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

多项式除法得到$x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$。它从零到一的积分为$1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$。因此

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

这个正结果是合理的，因为$x\ln(1+x)$在$[0,1]$上非负。另一项独立的代数检查是原函数$\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$：代入一和零也得到$1/4$。计算定积分时，要把相同的上下限带入新的积分。最终数值答案中不写$+C$。

三道附解答的练习题

1. 多项式与指数函数。 求$\int 3x e^x\,dx$。

取$u=3x$、$dv=e^x\,dx$，那么$du=3\,dx$、$v=e^x$，所以

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

对$3e^x(x-1)$求导，结果是$3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$，与原被积函数一致。

2. 带有系数的对数。 求$\int x\ln x\,dx$，其中$x>0$。

选$u=\ln x$、$dv=x\,dx$，则$du=dx/x$、$v=x^2/2$：

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

求导后得到$x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$。保留两个$x/2$项，有助于看清验算过程。

3. 定积分。 计算$\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$。

取$u=x$、$dv=\cos x\,dx$，得到$du=dx$、$v=\sin x$。完成分部积分步骤后再代入上下限：

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

在这个区间上，$x$与$\cos x$都非负，且$\pi/2-1$为正。对$x\sin x+\cos x$求导会得到$x\cos x$，从而检验用于计算上下限的原函数。

想练习如何选择原函数，可以进入Math Zen的积分专题。若想看重复积分方法在后续内容中的应用，请阅读拉普拉斯变换指南。