换元积分法例题：如何选取 u 并验算每个答案

看看 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$。没有哪条基本公式能直接积出这样的乘积，但答案很简短：$\sin(x^2)+C$。用链式法则对 $\sin(x^2)$ 求导，得到 $\cos(x^2)\cdot2x$，正好是被积函数。换元积分法就是有意识地找出这类答案的方法。它把链式法则倒过来用：找出内层函数，把它记为 $u$，让它的导数吸收剩下的因子。

本文讲解六道换元积分例题：从最简单的情形，到常数因子、对数、换积分限的定积分，以及需要把 $x$ 用新变量表示出来的换元。如果你对链式法则本身还不够熟练，先用我们的链式法则例题热热身；下面的每一步验算都要用到它。

一行写出公式

OpenStax《微积分》第 1 卷 §5.5 这样叙述不定积分的换元法：若 $u=g(x)$，且 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，则

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.$$

实际计算时，写出 $u=g(x)$ 和 $du=g'(x)\,dx$，把整个积分改写成关于 $u$ 的积分，积出来后再代回原变量。判断换元是否合适很简单：改写之后，不能再剩下任何 $x$。如果还剩，要么把它用 $u$ 表示出来，要么换一个 $u$。

怎样选取 u

找一个套在另一个函数里面的函数：在幂里、在根号下、在指数上，或在三角函数、对数函数里面。然后看它的导数（可以差一个常数倍）是不是乘在其余部分上。

最后一行很重要。$\int e^{x^2}\,dx$ 看起来和第二行很像，但少了因子 $x$，$du$ 就没有东西可吸收，而且这个积分根本没有初等原函数。换元法不是万能技巧，只有导数在场时才奏效。

例题 1：导数已经在场

求 $\int 2x(x^2+1)^5\,dx$。令 $u=x^2+1$，则 $du=2x\,dx$。因子 $2x\,dx$ 恰好就是 $du$：

$$\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.$$

验算：$\frac{(x^2+1)^6}{6}$ 的导数是 $(x^2+1)^5\cdot2x$。把 $(x^2+1)^5$ 展开后逐项积分也行，但要花多得多的时间，也更容易算错。

例题 2：缺一个常数因子

求 $\int xe^{x^2}\,dx$。令 $u=x^2$，得到 $du=2x\,dx$，但被积函数里只有 $x\,dx$。两边除以二：$x\,dx=\frac{1}{2}\,du$。

$$\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.$$

把 $\frac{1}{2}$ 提到积分号外是允许的，因为它是常数。缺少的若是含变量的因子，就不能这样做：$\int e^{x^2}\,dx$ 不能靠写成 $dx=\frac{du}{2x}$ 来挽救，因为那样 $x$ 会留在关于 $u$ 的积分里。

例题 3：内层函数是对数

求 $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$，其中 $x>0$。令 $u=\ln x$，则 $du=\frac{1}{x}\,dx$：

$$\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.$$

一个相关的常用结果来自 $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$。令 $u=\cos x$，则 $du=-\sin x\,dx$，积分变为 $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$。注意负号：它来自余弦的导数，这道题最常见的错误就是丢掉它。

例题 4：换积分限的定积分

计算 $\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$。令 $u=1+x^2$，则 $du=2x\,dx$，且 $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$。现在换积分限：当 $x=0$ 时，$u=1$；当 $x=1$ 时，$u=2$。

$$\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.$$

积分限一旦换成 $u$ 的值，就不必再代回原变量。OpenStax 给出的定积分换元公式正是这种形式：积分限变为 $g(a)$ 和 $g(b)$。经典错误是把新被积函数配上旧积分限 0 和 1，这里会得到 $\frac{1}{8}$，与正确答案相差 15 倍。

合理性检验：被积函数从 $x=0$ 处的 0 增大到 $x=1$ 处的 8，所以面积应在 0 和 8 之间，而且很可能偏小，因为曲线只在右端附近才变陡。$\frac{15}{8}=1.875$ 符合。

例题 5：把剩下的 x 表示出来

求 $\int x\sqrt{x+1}\,dx$。取 $u=x+1$，则 $du=dx$。根号外还剩一个 $x$。由换元式把它解出来：$x=u-1$。

$$\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.$$

能这样回代，是因为 $u=x+1$ 很容易反解。如果剩下的 $x$ 无法简洁地用 $u$ 表示，那这个换元多半选错了。

例题 6：换元法不是合适的工具

试试 $\int xe^{x}\,dx$。最直接的候选 $u=x$ 什么也没改变；而 $u=e^x$ 会把 $x=\ln u$ 留在里面，把问题变成 $\int\ln u\,du$，无论如何都需要别的方法。这个乘积里没有一个内层函数和它的导数并排出现。这是分部积分的用武之地：其中一个因子求导后会变简单。

一个好习惯：测试 $u$ 的一两个候选，最多花一分钟。如果哪个都不能让 $x$ 消失，就换方法，不要硬算。

要避免的错误

• 忘了 du。 写下 $u=x^2$ 后只替换内层函数，会让 $dx$ 留在关于 $u$ 的积分里。每个 $dx$ 都必须变成 $du$ 的倍数。
• 除以变量。 只有常数因子可以提到积分号外。
• 新积分配旧积分限。 两个积分限都要换，或者在代入数值前先回到 $x$。
• 答案停留在 u。 不定积分要代回原变量，使答案成为 $x$ 的函数，并保留 $+C$。
• 跳过验算。 对答案求导只需几秒，几乎能抓出所有符号和常数上的疏忽。

练习题及答案

1. $\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$。令 $u=x^3-4$。答案：$\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$。
2. $\int\sin^2x\cos x\,dx$。令 $u=\sin x$。答案：$\frac{\sin^3x}{3}+C$。
3. $\int e^{3x}\,dx$。令 $u=3x$，则 $dx=\frac{1}{3}\,du$。答案：$\frac{e^{3x}}{3}+C$。
4. $\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$。令 $u=\ln x$，积分限为 0 和 1。答案：$\frac{1}{2}$。

几乎对任何积分，换元法都是第一个该尝试的技巧；所以我们的积分直观指南称它为这一章的主力。给内层函数起个名字，确认它的导数在场，把一切连同积分限都换过去，再在继续之前对结果求导验算。