链式法则例题：一步步求嵌套函数的导数

试着求$(2x+3)^5$的导数。如果把括号里当成只有$x$，直接套普通幂函数的求导法则，会得到$5(2x+3)^4$。外形看起来没错，却少乘了一个2。括号内的式子变化速度是$x$的两倍，导数必须包含这个变化。

补上这个因子，就是链式法则的关键。本文用原创例题，从一个内层函数讲到三层嵌套。想先理解导数本身的意义，可以阅读导数入门。这里重点练习辨认层次、逐层求导和检查答案。

先找内层函数和外层函数

复合函数把一个函数的输出送进另一个函数。对$y=(2x+3)^5$，先计算$2x+3$，再把所得结果取五次方。把内层记作$g(x)=2x+3$，外层记作$f(u)=u^5$，就有$y=f(g(x))$。

计算函数值与求导的顺序相反。算值时由内向外；求导时先处理外层运算，让它的输入保持原样，再乘以内层输入的导数。OpenStax的链式法则章节对可导复合函数给出如下公式：

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

外层函数的导数是在$g(x)$处求值，不是在$g'(x)$处求值。内层导数是另一个独立因子。如果某一层在相应位置不可导，就不能直接在那里套用此式。

先给各层取名，再选择法则。对于$\sin(4x^2-1)$，外层是正弦，内层是$4x^2-1$；对于$\sqrt{1+x^4}$，外层是平方根，内层是$1+x^4$。而$x^2+3x$的最外层运算是加法，应分别对两项求导。出现括号不一定就要使用链式法则。

如果尚不熟悉“一个函数的输出成为另一个函数的输入”，可先看复合函数讲解，了解求值和定义域。若输入输出的记法也陌生，可以从函数入门开始。

每次都按同样的四步进行

表达式再长，方法也不变：

1. 写出紧贴外层的内层表达式。 对$h(x)=(3x^2-2)^4$，令$u=3x^2-2$。
2. 让$u$保持原样，对外层求导。 外层是$u^4$，导数为$4u^3$。
3. 对内层求导。 此处$du/dx=6x$。
4. 相乘并换回原式。 得到$h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$。

除非后续计算需要，否则不要展开四次方。保留因式的答案能看出每一部分的来历：$4(3x^2-2)^3$来自外层幂运算，$6x$来自内层二次式。过早展开，更难发现漏乘的因子。

三层嵌套仍重复同样的动作。先求最外层的导数，乘下一层的导数，再乘最里面一层的导数。OpenStax在同一章节也介绍了链式法则的重复使用，不必另背一条新法则。

三道从头到尾的例题

一次式的幂。 回到$p(x)=(2x+3)^5$。外层导数是$5(2x+3)^4$，内层导数是$2$，所以：

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

不要只凭符号答案，取$x=0$检查。原函数有$p(0)=3^5=243$。只展开$(3+2x)^5$的一次项，得到$243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$，可见零点处斜率为$810$。我们的导数给出$10(3)^4=810$；漏掉内层因子的式子只给出$405$，通不过检查。

三角函数的复合。 设$q(x)=\sin(4x^2-1)$，角度使用弧度。外层正弦求导后是以原来内层式为输入的余弦，内层$4x^2-1$的导数是$8x$：

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

在$x=0$处，内层导数为零，因此$q'(0)=0$。这也符合局部对称性：$q(x)$取决于$x^2$，在$x$与$-x$处的函数值相同。在$x=1$处斜率为$8\cos(3)$，而不是$\cos(8)$。余弦的输入是未经改变的内层表达式，不是它的导数。

三层嵌套。 考虑$r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$。从外到内分别是三次方、正弦与$2x^2+1$。按这个顺序求导：

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

三个变化相连，所以导数有三个因子。三次方给出$3\sin^2(\cdot)$，正弦给出余弦，二次式给出$4x$。同样，$r'(0)=0$，与$r(x)$为偶函数一致。这不能证明整个导数处处正确，却能迅速发现某些代数错误。

判断何时还需要其他法则

先看表达式的最外层运算。在$a(x)=x(2x+3)^5$中，两个含变量的式子相乘。先用乘积法则，再对幂函数因子使用链式法则：

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

相反，$b(x)=(2x+3)^5$的最外层并不是乘积，只用链式法则就得到$10(2x+3)^4$。两式的差别是幂运算外多了因子$x$，这改变了首先该用的法则。

商也可能掩盖这种选择。把$c(x)=1/(2x+3)^2$改写成$(2x+3)^{-2}$，就能看出最外层是幂运算：

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

用商法则也能求出答案，但改写后更容易看清复合结构。若分子和分母都依赖$x$，先在最外层使用商法则，再检查各部分是否要用链式法则。OpenStax的链式法则章节也讲解了这些组合。

纠正三类常见错误

漏乘内层因子。 对$(5x-1)^4$，答案$4(5x-1)^3$漏掉了内层导数$5$。先写出两部分再相乘：$4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$。

把外层函数的输入换掉。 对$\cos(x^2+2)$，错误答案$-\sin(2x)\cdot2x$把内层导数塞进了正弦。正确答案是$-\sin(x^2+2)\cdot2x$。求外层导数时，里面仍用原来的表达式，然后再乘内层导数。

丢掉括号。 对$(x^2+3)^3$，$3x^2+3^2(2x)$不是链式法则。整个内层表达式必须保留在平方的括号中：$3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$。写到最后一步之前，都把内层用完整括号括起来。

还可以在简单的点检查原函数与导数。某一个数值吻合，不能证明导数对所有$x$都正确；但如果不吻合，就能很快排除一个看似合理的错误答案。

三道练习题及完整解答

先自行尝试，再看答案。标出各层，让每一层对应一个因子。

1. 求$s(x)=(7-3x)^4$的导数。外层导数是$4(7-3x)^3$，内层导数是$-3$，因此：

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

负号提供了快速检查：在$7-3x$为正的点附近，增大$x$会让内层值变小，因此其四次方也变小。

2. 求$t(x)=\cos(3x^2+x)$的导数。外层余弦变成负正弦，内层多项式变成$6x+1$：

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

在$x=0$处，因为$\sin(0)=0$，所以导数为零。不要误以为内层导数也为零；它此时等于1。分开写两个因子，才能看清乘积为何为零。

3. 求$v(x)=(1+\sin x)^3$的导数。外层幂运算给出$3(1+\sin x)^2$，内层导数是$\cos x$：

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

内层包含正弦，但最外层运算依然是三次方。按由外到内的顺序处理。在$x=0$处，导数是$3(1)^2(1)=3$。

熟悉这些题后，可以进入Math Zen的导数练习，其中包含链式法则的专项技能。遇到做错的例题，先回头说清漏了哪个因子，再做下一题。记住这套顺序：找外层运算，保持其输入不变，最后乘以内层输入的导数。

常见问题

链式法则和幂函数求导法则一样吗？

不一样。幂函数法则用于$x^n$。链式法则让它适用于内层表达式的幂：$[g(x)]^n$的导数为$n[g(x)]^{n-1}g'(x)$。若$g(x)=x$，它的导数为1，便回到熟悉的幂函数法则。

平方根也能使用链式法则吗？

能。将$\sqrt{1+x^4}$写成$(1+x^4)^{1/2}$。外层导数为$\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$，内层导数为$4x^3$，相乘得到$2x^3/\sqrt{1+x^4}$。

为什么嵌套函数会产生多个因子？

因为每一层都随着内层的变化而变化。在$[\sin(2x^2+1)]^3$中，$x$变化先改变二次式，接着改变正弦值，最后改变三次方的值。三个导数因子分别描述这三个相连的变化。