直观理解复合函数：运算顺序、函数值与定义域

假设一家配送服务每公里收费3美元，之后另加5美元预约费。配送4公里时，先把4乘以3，再加5。你把一条规则的输出交给了另一条规则处理，这就是函数复合。

符号看起来可能比实际操作更难。如果$g(x)=3x$计算距离费用，$f(x)=x+5$加上预约费，总价就是$f(g(4))=f(12)=17$美元。先执行内层规则。除非收费规则本来如此，否则不能先把费用加到距离上再相乘。

从内向外读取顺序

复合函数是把一个函数放进另一个函数中：

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

读作“$f$在$g$之后应用”。先求$g(x)$，再把结果作为$f$的输入。圆圈表示函数复合，不是乘法。OpenStax的函数复合章节给出了定义，并明确了顺序。

设$f(x)=2x+1$和$g(x)=x^2-3$。要写出$f(g(x))$，就把$f$中的输入位置替换成完整的表达式$x^2-3$：

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

当$x=4$时，内层规则得到$g(4)=16-3=13$，外层规则得到$f(13)=27$。合并后的表达式也给出$2(4)^2-5=27$。把两步计算与合并后的式子对照，有助于发现括号放错的位置。

函数记号把输入位置标得很清楚。如果$f(t)=2t+1$，那么$f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$。输入位置所用的字母不会改变规则。函数入门会在把规则串联之前解释输入、输出和定义域。

调换顺序并比较

仍用这两个函数，$g(f(x))$会先执行$f$：

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

当$x=4$时，先有$f(4)=9$，再有$g(9)=78$。这不是$f(g(4))$得到的27。两种复合都有效，却回答不同的问题。不展开代数式也能看出区别：一条链先平方再加倍；另一条先加倍并加1，再平方。

某个输入下的偶然相等，不能说明两个复合函数相同。要证明它们是同一个函数，需要在共同定义域上比较规则，并检查两个定义域是否一致。普通练习中，分别求出两个表达式并化简。请记住，$f(g(x))$既不是$g(f(x))$，也不是乘积$f(x)g(x)$。

一种实用标记是$x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$。代入之前先写出第一支箭头。内层规则含有分数、根式或值表时，这样尤其有用。

从表格或图像求值

没有公式也可以复合函数。假设给出下表：

$x$	1	2	3	4
$g(x)$	3	4	1	2
$f(x)$	8	6	9	7

求$f(g(2))$时，先从第一行读出$g(2)=4$。再用4作为$f$的输入，得到$f(4)=7$。答案是7。反过来，$f(2)=6$，但表格没有给出$g(6)$的值，所以不能从这里读出$g(f(2))$。如果完整函数在其他地方有定义，这个值可能存在；仅凭列出的数值无法确定。

图像的操作相同。输入2时，先在$g$的图像上读出高度，假设为4。再从$f$图像的输入4出发，读出高度，假设为7。第一个高度成了第二次读取的横坐标。不要都在$x=2$处读取两条图像的高度后把它们拼起来。如果任一图像在需要的输入处没有点，复合函数在那里就无定义。

要区分“这张局部表没有列出”和“输入在定义域之外”。简短的表格可能省略一个实际存在的值；图像上的空心点或明确的端点却可能表示某个值被排除。说明你有哪些证据，不要编造缺失的输出。

化简之前先检查定义域

$f(g(x))$的定义域有两道门槛。首先，$x$必须属于$g$的定义域。其次，得到的$g(x)$必须是$f$允许的输入。OpenStax正是用这种输出传给输入的方式表述规则。

$g$的整个值域不必都落在$f$的定义域中，复合函数仍可以对某些输入成立。只保留两步都能执行的输入。例如，平方运算可以接受任何实数，而后面的平方根只接受非负输出。平方数本身非负，所以这种组合对所有实数输入都可行。若将内层规则改成减法，允许的输入集合可能缩小。检查实际传递的值，而不只是分别看两条公式。

设$g(x)=x-1$与$f(t)=\sqrt{t}$，输出均为实数。内层规则接受任何实数，而外层平方根只接受非负输入。因此：

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

调换顺序。现在先运行$f(x)=\sqrt{x}$，然后$g$减去1：

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

两个表达式及其定义域都不同。在$x=0$处，第二种复合给出$-1$，第一种在实数范围内无定义。这比仅找到一个函数值不同的输入更能说明问题。

分母会增加另一道门槛。设$g(x)=1/(x-2)$和$f(t)=t+3$，则$f(g(x))=1/(x-2)+3$，但$x=2$仍被排除，因为内层规则在该处无定义。

约分永远不能恢复原本被禁止的输入。令$g(x)=(x^2-1)/(x-1)$，仅在$x\ne1$时有定义，并令$f(t)=t^2$。对允许的输入，$g(x)$可以化为$x+1$。复合表达式看起来像$(x+1)^2$，但定义域仍是$x\ne1$。在$x=1$处，原来的内层函数要求除以零。一个在其他位置都相同的多项式，若不定义新函数，就无法填补这个空缺。

把较长的规则拆成步骤

也可以反过来读复合过程，说明一个公式怎样构成。考虑$h(x)=\sqrt{3x+2}$。一种拆法是先用$g(x)=3x+2$，再用$f(t)=\sqrt{t}$。因此$h=f\circ g$。这也能迅速看出定义域：必须满足$3x+2\geq0$，即$x\geq-2/3$。

有效的拆法可能不止一种。可以把内层的一次规则分为“乘以3”和“加2”，第三步再取平方根。关键是，说明的顺序必须对每个允许的输入都重现原规则。

观察图像变换时，比较$f(x)=x^2$与$f(x-2)=(x-2)^2$。改变发生在输入的位置，所以抛物线向右平移2。对于$f(x)+2=x^2+2$，加法发生在$f$之后，所以图像向上平移2。这也是复合的体现：“先减2再平方”不同于“先平方再加2”。如果代入仍不熟悉，可以参考代数指南。

练习三种不同的检查

1. 两种顺序。 设$f(x)=x+4$和$g(x)=2x$，求两种复合。答案是$f(g(x))=2x+4$和$g(f(x))=2x+8$。在$x=3$处，它们分别是10和14。顺序决定4在哪一步进入计算。

2. 定义域门槛。 设$f(t)=1/t$和$g(x)=x^2-9$，则$f(g(x))=1/(x^2-9)$。排除$x=3$和$x=-3$，因为两者都会让外层分母为零。内层多项式本身接受所有实数。

3. 查表。 用上表计算$g(f(3))$。首先有$f(3)=9$。表格没有$g(9)$的条目，因此给出的信息不足。这是完整的答案，并不是计算失败。

每做完一题，都说出先执行哪条规则、它输出什么值，以及下一条规则能否接受这个值。然后用一个具体输入检查代数式的结果。在Math Zen的函数练习里，复合与定义域、值域问题放在一起，方便单独练习这种传递过程。

反函数是一种特殊情形：在合适的定义域上，一条规则可以撤销另一条规则。求一般复合函数无需先掌握反函数。这里遵守可靠的顺序就够了：内层输出，外层输入，最后检查定义域。