直观理解反函数：按相反顺序撤销运算

一家工坊收取8美元预约费，使用工作台还要每小时支付5美元。使用3小时需要23美元。如果收据上写着23美元，你预订了多少小时？

正向计算时，把小时数乘以5，再加上8。反过来，就从收据金额中减去8，再除以5。这条反向规则就是反函数。它用同一个关系回答另一个问题。

代数运算本身通常不难。需要留意的是，反向规则能否给出唯一答案，以及它允许接收哪些数字。

先撤销最后一步

工坊的费用可以写成：

$$f(x) = 5x + 8$$

反函数必须先去掉预约费，再撤销按小时收费的部分：

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

用收据核对：$f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$。如果先除以5，就会错误地把预约费分摊到小时费用中，得出错误答案。

$f$ 的输入是小时数，$f^{-1}$ 的输入是美元金额。两处都使用字母 $x$，不代表它们表示同一个量。它只是各函数所接收输入的占位符。

在这个模型中，负的小时数没有意义。原函数的定义域是 $x \geq 0$，值域是 $f(x) \geq 8$。因此，反函数只能接收至少8美元的费用。单看代数，你也可以代入3美元，但得到的负小时数不属于这个模型。

反函数和倒数是两种不同运算

$f^{-1}$ 的上标看起来像负指数。在函数记号中，它表示反函数，并不是叫你用1除以 $f(x)$。

对同一条工坊收费规则，有：

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

第一个式子从费用找回小时数。第二个式子是费用的倒数，表示的是用途不同的另一个量。OpenStax关于反函数的章节明确区分了这两种记号。

你也可以把反函数记作 $g$。写成 $g(f(x))=x$，不使用上标也能准确表达意思：先按规则算出费用，再找回原来的小时数。

用代数求反函数

常见步骤是先写出 $y=f(x)$，交换 $x$ 和 $y$，再解出 $y$。交换变量记录了角色的变化：原来的输出变成新的输入。

来看一个新例子：

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

交换变量：

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

先乘以3，再加上7，最后除以2：

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

所以，反函数是 $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$。每一步都在撤销原规则中的一次运算，从最后的除以3开始。

Paul's Online Math Notes介绍了同样的一般步骤，还给出带根式和有理函数的详细例题。不管式子长什么样，变形时都要记住哪些输入被排除。乘上分母不会让原本不允许的值变得有效。

两个方向都要检查

代入一个数可能发现算术错误，但不能证明两条规则对所有允许的值都能互相抵消。要在各自注明的定义域上检查函数复合。

对于上面的例子，把原函数代入反函数：

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

再把反函数代入原函数：

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

这里两个定义域都是全体实数。遇到根式、对数或分式时，把定义域写在检查过程旁边。化简后的式子可能掩盖约分前就存在的限制。

如果你还不熟悉函数复合，可以先看我们的函数入门文章：内层规则的输出成为外层规则的输入。从里向外读括号即可。

为什么二次函数需要限制定义域

假设 $f(x)=(x-2)^2$。$f(1)$ 和 $f(3)$ 都等于1。如果只告诉你输出是1，仅凭规则无法知道用的是哪个输入。

这个函数在全体实数上不是一一对应的。反向关系对大多数输入会给出两个答案，因此它不能成为函数。

把原函数的定义域限制为 $x \geq 2$，只选右侧分支。现在反向计算就有唯一结果：

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

因为 $x-2$ 非负，取算术平方根便得到 $\sqrt{y}=x-2$。交换变量名称，写成：

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

反函数接收非负数，输出不小于2的数。检查 $f^{-1}(9)=5$，再检查 $f(5)=9$。

如果改把原函数的定义域限制为 $x \leq 2$，反函数就是 $2-\sqrt{x}$。这两个结果分别属于定义域不同的两个受限函数。不能给式子加上正负号，再把它称作一个反函数。

二次方程中也需要作这种区分：一个方程可以有两个解，而函数必须给每个允许的输入指定一个输出。

从图像中读出反函数

如果 $f(4)=9$，原函数图像包含点 $(4,9)$，反函数图像包含点 $(9,4)$。交换坐标，相当于沿对角线 $y=x$ 反射各点。

这也解释了水平线检验法。如果一条水平线与原函数图像相交两次，说明一个输出对应两个输入。交换坐标后，这两个点落在同一条垂直线上，一个输入便对应两个输出。

用上面的抛物线试试。高度为1的水平线在 $x=1$ 和 $x=3$ 处与它相交。去掉左侧分支后，只剩一个交点。此时图像包含了足够的信息，可以反向查找。

反函数的定义域就是原函数的值域，因此先看原图像在竖直方向上达到哪些高度。如果一个图像的输出都不低于某个高度，那么它的反函数就不能接收低于这个高度的数。

三个简短练习

一次规则： 求 $f(x)=7-2x$ 的反函数。从7中减去输入，再除以2：$f^{-1}(x)=(7-x)/2$。这里反函数的表达式与原函数不同。检查 $f(2)=3$ 和 $f^{-1}(3)=2$。

立方： 求 $g(x)=x^3+6$ 的反函数。立方运算可以区分负输入和正输入，所以不需要限制分支。对每一个实数输入，反函数都是 $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$。

平方： 求 $h(x)=x^2+6$ 在 $x \geq 0$ 上的反函数。结果是 $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$，定义域为 $x \geq 6$。漏掉最后这个条件，答案就不完整。

检查每道题之前，先写下定义域。然后用一个具体数字做往返验证，再检查两个方向的代数复合。在 Math Zen 中，这可以成为一段简短而有效的练习：用函数题一起练习正向规则、反向规则和输入限制。

同一个思路也连接了指数函数与对数。指数函数接收指数并产生一个数；对数则找回这个指数。只要明确输入代表什么、可能得到哪些输出，就能有依据地推导反函数。