部分分式分解：四道带验算的完整例题

有理式原样看起来难积分，分解以后却可能只剩对数积分。例如 $(3x+1)/(x^2-x-2)$。关键难点是在计算任何系数以前，先选出不缺项的形式。如果一开始漏了一项，后续解方程也补不回来。

本文用四道原创例题处理不同的一次因子、重复的一次因子、实数范围内不可约的二次因子，以及必须先除法的假分式。每题最后都通分复原。OpenStax《微积分》第2卷第3.4节说明次数条件与各类因子的形式。若需要先理解积分，请读积分入门。这里重点是代数步骤。

先比较次数，再分解分母

把有理式写成 $P(x)/Q(x)$。部分分式分解首先要求它是真分式，即 $\deg P<\deg Q$。否则先用 $Q$ 除 $P$，保留多项式商，再分解余下的真分式。不能把商藏进未知常数里。

随后在实数范围内分解 $Q$。分母因子的形状在求系数之前就确定了模板：

分母因子	必须列出的项
不同的一次因子 $(x-a)$	$A/(x-a)$
重复一次因子 $(x-a)^m$	$A_1/(x-a)+A_2/(x-a)^2+\cdots+A_m/(x-a)^m$
不可约二次因子 $q(x)$	$(Bx+C)/q(x)$

这个模板是在所有允许的 $x$ 上成立的恒等式，而不是只在某个方便的数值上相等。消去分母后，可以结合两种方法求系数：像例1、例2那样代入一次因子的根，使部分项消失；或像例3那样展开两边，比较 $x$ 各次幂的系数。代入一个根可能立刻得到一个常数，但有二次因子时通常不能替代全部系数比较。即使代入似乎已经得到所有数字，也应检查其余系数。例2漏项之所以能被发现，是因为缩短后的模板无法同时满足全部系数条件。这是结构错误，不是代入点选得不好。若改用几个普通数值，得到的只是一个有限方程组；解完仍须验证对所有 $x$ 成立的恒等式。完整通分复原即可一次完成检验。

不可约二次式没有实数一次因子。上面的分子应先设为一次式，即使解完恰好得到 $B=0$。还要记住原分母为零的排除值：两个表达式在共同定义域上相等，并不表示原来的极点也有定义。先检查因式结构，可避免许多模板错误。

例1：两个不同的一次因子

分解 $F(x)=(3x+1)/[(x-2)(x+1)]$。分子次数为1，分母次数为2，不必除法。设

$$\frac{3x+1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.$$

消去分母得到多项式恒等式 $3x+1=A(x+1)+B(x-2)$。虽然原分式在 $x=2,-1$ 没有定义，但可以把这两个值代入多项式恒等式。$x=2$ 时 $7=3A$，所以 $A=7/3$；$x=-1$ 时 $-2=-3B$，所以 $B=2/3$。

再通分检验：

$$\frac{7}{3(x-2)}+\frac{2}{3(x+1)} =\frac{7(x+1)+2(x-2)}{3(x-2)(x+1)} =\frac{9x+3}{3(x-2)(x+1)}=F(x).$$

等式在 $x\ne2,-1$ 成立。只代入一个普通数验算较弱，因为两个错误表达式也可能恰好在一点相同。这里验证的是整个分子多项式。

例2：重复因子不能漏掉低次项

对于 $G(x)=(2x+5)/[x(x+1)^2]$，重复因子 $(x+1)^2$ 要求一次和二次分母都出现：

$$G(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}.$$

乘以 $x(x+1)^2$ 得 $2x+5=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx$。代 $x=0$ 得 $A=5$；代 $x=-1$ 得 $3=-C$，即 $C=-3$。比较 $x^2$ 系数：$A+B=0$，所以 $B=-5$。再核对一次项：$2A+B+C=10-5-3=2$。

把三个分子加回去：

$$5(x+1)^2-5x(x+1)-3x =5x^2+10x+5-5x^2-5x-3x=2x+5.$$

因此 $G(x)=5/x-5/(x+1)-3/(x+1)^2$，其中 $x\ne0,-1$。看一个故意错误的模板 $A/x+B/(x+1)^2$：它漏掉了一次分母项。通分后的分子是 $A(x+1)^2+Bx$。$x^2$ 系数要求 $A=0$，常数项却要求 $A=5$。矛盾说明缺项，并非方程组太难；完整模板则能成立。

例3：不可约二次因子用一次分子

取 $H(x)=(2x^2+3x+5)/[(x-1)(x^2+1)]$。$x^2+1$ 没有实根，保留为二次因子：

$$H(x)=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.$$

消去分母后，$2x^2+3x+5=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)$。在 $x=1$ 得 $10=2A$，即 $A=5$。比较系数有 $A+B=2$，故 $B=-3$；$-B+C=3$，故 $C=0$。常数也吻合：$A-C=5$。$C=0$ 是算出来的结果，不能据此倒推一开始就只设常数分子。

复原检查为 $5(x^2+1)-3x(x-1)=2x^2+3x+5$。于是 $H(x)=5/(x-1)-3x/(x^2+1)$，其中 $x\ne1$。这也有利于积分：$x^2+1$ 的导数是 $2x$，第二项调整系数后可用换元法。若二次因子重复，每一次幂都要有自己的一次分子。

例4：假分式先做除法

$J(x)=(x^2+4x+5)/(x^2-1)$ 的分子和分母次数都是2。多项式除法，或减去一次分母，可得

$$J(x)=1+\frac{4x+6}{x^2-1}=1+\frac{4x+6}{(x-1)(x+1)}.$$

只分解余项：$4x+6=A(x+1)+B(x-1)$。$x=1$ 给出 $10=2A$，即 $A=5$；$x=-1$ 给出 $2=-2B$，即 $B=-1$。所以

$J(x)=1+\frac5{x-1}-\frac1{x+1},\qquad x\ne\pm1.$

复原时必须带上商1。两个真分式合为 $[5(x+1)-(x-1)]/(x^2-1)=(4x+6)/(x^2-1)$；加1后，分子变成 $x^2-1+4x+6=x^2+4x+5$。漏掉1只会得到正确的余项，却不能还原原式。

积分一个结果，再求导验算

回到例3，在由 $x=1$ 分开的每个区间上逐项积分：

$$\int H(x)\,dx =5\ln|x-1|-\frac32\ln(x^2+1)+C.$$

求导得 $5/(x-1)-(3/2)(2x)/(x^2+1)=5/(x-1)-3x/(x^2+1)=H(x)$。$x-1$ 要加绝对值；实数 $x$ 的 $x^2+1$ 恒为正。不同区间的积分常数 $C$ 可以不同。求导还能发现分解之后在积分中漏掉2之类的错误。

遇到还需别的方法的积分时，可看分部积分例题怎样检查多步原函数。拉普拉斯变换的逆变换也常以有理式分解开头。在 Math Zen 中可以先分别练习因式分解和求导，再把技能用于较长的积分。

做下一题前的检查顺序

比较次数，必要时先除法，分解分母，为每个所需因子幂列项，解多项式恒等式，最后把整个表达式通分复原。四个例题的模板不同，但复原是共同的检验。若检验失败，先看模板是否缺项，再查系数运算。解出了方程组也无法弥补漏掉的项。

排除点附近的行为还能提供线索。例1的 $x-2$ 项造成 $x=2$ 附近的发散；没有它便无法再现原极点。重复因子可能比一次分母项发散更强。不过只观察一个极点不能检查每个系数，最终证明仍是代数通分复原。