如何备考 AP Precalculus：2027 年考试与 12 周计划

2027 年 5 月 11 日星期二早上，AP Precalculus（AP 预备微积分）的考生会在 Bluebook 里打开 29 道选择题，限时 65 分钟，而且不许用计算器。如果你手上的复习书，或者网上找到的 AP Precalc 学习指南写的是 28 题 80 分钟，那它描述的是 2024 年到 2026 年的考试。课程没有变，变的是时间。

AP Precalculus 是 College Board（美国大学理事会）最新开设的 AP 数学课程。它在 2023-24 学年启动，2024 年 5 月举行了首次考试，在课程序列中紧接在 AP Calculus 之前。本指南依据 College Board 自己的文件撰写：AP Precalculus 课程与考试说明（Course and Exam Description，简称 CED）、2026 年秋季发布的勘误与说明，以及 AP Central（教师端）和 AP Students（学生端）上的考试页面。

考试一览

选择题在 College Board 的测试应用 Bluebook 中作答，自由作答题则手写在纸质答题册上，AP Central 把这种形式称为混合数字化。

各部分占比以及考试日期 2027 年 5 月 11 日，星期二，上午场，来自 AP Central 考试页面。选择题合计占总分的 62.5%，自由作答占 37.5%，AP Students 考试页面将其四舍五入为约 63% 和 37%。选择题涵盖第 1 到 3 单元，以图像、表格、解析式和文字描述四种方式呈现函数，部分题目设在真实情境中。

每道自由作答题 6 分。把每个部分的占比平均分给其中的题目，A 部分的一道选择题约占总分的 1.5%，而自由作答的一分约占 1.6%：在一道没做完的题上抢到的三分，与在 A 部分答对三道题价值相当。

AP 成绩按 1 到 5 分评定，每所大学各自制定学分和课程免修政策，请查清你所申请的学校的规定。如果你还没有报名这场考试，现在就去找学校的 AP 协调员：学校须在 2026 年 11 月 13 日前提交考试订单，到 2027 年 3 月 12 日前的补订每门考试要多收 40 美元。

2027 年 5 月有什么变化

2027 年 College Board 改变的是考试的形式，不是课程：AP Central 考试页面写道“课程内容没有变化”。此前的形式见于 2026 年秋季 CED 勘误与说明中的考试概览。

每题分钟数是我们自己算的，不是 College Board 给的，但它能说明其中的取舍。选择题少了 15 分钟，多了两道题，而这 15 分钟全部来自没有计算器的 A 部分：现在每题大约 2 分 15 秒，以前大约 2 分 50 秒。自由作答则相反，每题多出了两分半钟。

旧的模拟题和复习书依然好用，因为内容没有变。只要按 2027 年的节奏计时，而不是按它们原来的节奏：28 题的 A 部分用 63 分钟，12 题的 B 部分用 37 分钟。那几年的第 2 题仍带有 B(iii) 小问，而且 C 小问比你五月会遇到的更短。

第 1 到 3 单元及其占比

CED 共有四个单元，考试考查前三个。第 4 单元是附加内容，由学校根据州或地方要求讲授。AP Central 课程页面给出了每个考查单元在选择题中的占比。

第 1 单元从变化率讲起，这个想法贯穿整门课程。要会从公式、表格和图像三种形式求平均变化率 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$，并且知道：输入每步等距时，线性函数的变化率保持不变，而二次函数的变化率每步改变同样的量。对多项式来说，次数和首项系数的符号决定端点行为，偶数重数的零点与 x 轴相切，奇数重数的零点则穿过 x 轴。对有理函数，要比较分子分母的次数来得到水平渐近线，并且在说出垂直渐近线之前先做因式分解，因为被约去的因式会留下一个空洞：$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 是直线 y = x + 1，在 (1, 2) 处有一个空洞。

第 2 单元建立在一组对比之上：输入每步等距时，线性函数加上同样的量，而指数函数乘以同样的倍数。先练习在表格中把两者区分开，再由两个点建立 $f(x) = a \cdot b^x$。然后是对数法则、换底公式和对数方程，每个解都要代回定义域检验；直观理解对数从对数在数什么出发重新推出这些法则。复合函数和反函数也属于这里，因为 $\log_b x$ 是 $b^x$ 的反函数。最后是半对数图：如果 $y = a \cdot b^x$，那么 $\log y$ 关于 x 是线性的，所以指数数据在半对数图上是一条直线。

第 3 单元是以弧度表示的三角学。π/6 和 π/4 的整数倍处的单位圆数值应当脱口而出，因为 A 部分以及第 3、4 题都不许用计算器。对于 $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$，要读出振幅 |a|、中线 y = d 和周期 2π/|b|，并说出图像在哪里递增、在哪里凹凸性改变。接着学习正切函数（周期为 π，渐近线在 cos x = 0 处）、反函数的值域（反正弦和反正切在 −π/2 与 π/2 之间，反余弦在 0 与 π 之间），以及勾股恒等式、和角公式和二倍角公式；直观理解三角函数展示了这一切背后的圆。极坐标为这个单元收尾。点到原点的距离是 |r|，所以当 r 为正且增大时，点远离原点；当 r 为负且增大时，点靠近原点。

课程页面还按能力给选择题加了权重：Procedural and Symbolic Fluency（步骤与符号运算熟练度）占 35% 到 50%，Multiple Representations（多种表示）占 20% 到 30%，Communication and Reasoning（表达与推理）占 30% 到 40%。下面的诊断方法也按这三条线给你的错误分类。

四道自由作答题

四道自由作答题（FRQ）是整场考试里最可预测的部分。CED 在第 128 到 130 页说明了每道题要做什么，所以每种题型你都可以在五月之前很早就开始练。

第 1 题把函数以图像、表格和解析式的形式交给你，要你在它们之间来回运算。练习时可以让一个函数用表格给出，另一个用图像给出：求 f(g(3))，求 g 取到某个给定值时的输入，求零点，以及渐近线附近和两端的表现。当某一问问哪种函数类型合适时，要说出你的选择背后的规律，比如等间隔上的差相等，或者比相等。

第 2 题是带计算器的建模。练习由条件建立模型：如果 $y = a \cdot b^t$ 经过 (1, 6) 和 (3, 54)，把一个方程除以另一个得到 b² = 9，所以 b = 3，a = 2。每个平均变化率都要带上单位，比如美元每年。最后用一两句话写出模型的某个假设或局限（指数模型会无限增长；建在十年数据上的模型对第四十年说明不了什么），并用你的模型中的一个值来支撑。

第 3 题不许用计算器，所以参数要从情境中推理得出。一处潮水涨到 9 英尺、落到 3 英尺，两次高潮相隔 12 小时，那么振幅是 3，中线是 6，b = 2π/12 = π/6。练习画出两个周期的草图，标出最高点、最低点和穿过中线的点。关于表现的小问：正弦型曲线在中线上方凹向下，在中线下方凹向上，并且在凹向上的地方变化率是增大的。

第 4 题是手算代数。两问是方程，比如 $2 \cdot 3^x = 54$（所以 x = 3）或 [0, 2π) 上的 2 sin θ = 1（所以 θ = π/6 或 5π/6）。第三问改写表达式，比如把 $\log_2(8x^3)$ 写成 $3 + 3\log_2 x$。答案要保持精确，写 π/6 和 ln 5，而不是小数，并写出每一步：题目要的就是过程。

大部分考试不用计算器

CED 用一句话说得很明白：“AP 考试的大部分内容需要在不使用技术工具的情况下完成。”选择题 A 部分和自由作答 B 部分都不许用计算器，两者合计占总分的 62.5%。

对于允许使用的部分，CED（第 8 页）规定你的图形计算器必须能够：

• 在任意窗口下作函数图像
• 求交点
• 求极小值和极大值
• 数值求解方程
• 求回归方程（线性、二次、三次、四次、指数、对数和正弦型）并作残差图
• 进行矩阵运算

矩阵属于考试不考的第 4 单元。清单上其余的内容，就是计划第 5、6 周要练的：做每一种回归，读它的残差图，不在菜单里乱翻就找到交点。两个允许计算器的部分都要求弧度模式，所以每次开考时都要检查这个设置。

CED 还提醒说：“技术工具不应取代符号运算能力的培养。”大部分练习都要手算，只在模拟计算器部分的题组时才把计算器拿出来。

先诊断，再制订计划

第 1 周之前，从 AP Classroom 上选一套完整的模拟题裸考，一次做完，只在允许的部分用计算器。如果它用的是 2024 年到 2026 年的形式，就按上面给出的 2027 年节奏计时。对照评分标准打分。

把每一个丢分点按两种方式归类：按单元，按原因。原因就用三类能力的大白话：步骤（方法你会，代数却出了错）、表示（你看错了表格或图像）、推理（你无法证明一个结论，或者选错了结论）。再加第四类，时间：赶着做或者根本没做到的题。

每一类都有各自的补救办法。薄弱的单元要慢慢地做完它的整个阶段，并多做题。步骤性丢分需要把同类题手算到自动化；表示性丢分，要用表格和图像把这个知识点再过一遍；推理性丢分，要把你写的答案和评分标准逐行对照；时间性丢分，要按 A 部分每题 2.2 分钟做限时题组。

2027 年 5 月的 12 周计划

从 2027 年 2 月 15 日星期一开始。十二周后，5 月 9 日星期日，计划在考试前两天结束。每个两周阶段只有一个重点和自己的自由作答题，完整写出并对照评分标准打分。每次学习都以十分钟的混合题收尾，题目取自前面的阶段。如果你的课堂 4 月仍在讲第 3 单元，就让第 7 到 10 周与课堂同步。

第 1、2 周（2 月 15 日到 28 日）：第 1 单元。 从公式、表格和图像求平均变化率；由这些变化率读出递增、递减和凹凸性；多项式的零点、重数和端点行为；有理函数的渐近线与空洞；函数变换。最后做两道往年自由作答第 1 题。

第 3、4 周（3 月 1 日到 14 日）：第 2 单元。 线性与指数表格的对比、等差数列与等比数列、指数模型、对数法则、指数方程与对数方程、复合函数与反函数。手算往年自由作答第 4 题中的指数和对数部分。

第 5、6 周（3 月 15 日到 28 日）：建模与计算器。 回归与残差图、半对数图、由两个或三个条件建立的模型、带单位的平均变化率，并为每个模型的局限性写一句话。按每题 17.5 分钟的节奏写往年自由作答第 2 题。

第 7、8 周（3 月 29 日到 4 月 11 日）：第 3 单元，正弦型函数。 用弧度表示的单位圆数值、正弦和余弦图像、振幅、中线、周期和相位移动、正切函数，以及情境中的正弦型模型。把计算器放在够不着的地方做往年自由作答第 3 题。

第 9、10 周（4 月 12 日到 25 日）：第 3 单元，反函数、恒等式与极坐标。 反三角函数及其限制的值域、三角方程与不等式、恒等式、正割、余割和余切、极坐标、极坐标图像和极坐标函数的变化率。完成往年自由作答第 4 题中的三角部分。

第 11、12 周（4 月 26 日到 5 月 9 日）：完整模拟考试。 两套完整考试，按 2027 年的时间限制，每周一套，并用评分标准打分。每套花与做题同样长的时间复盘，把每道丢分的自由作答题在空白纸上重做一遍，中间几天则花在你的诊断指出的那个单元上。

5 月 10 日星期一休息，并检查计算器已经充好电，调到了弧度模式。

考场上的节奏

五月之前就把每题的节奏学会，到了那天它就成了习惯：

• 选择题 A 部分： 29 题 65 分钟，每题约 2.2 分钟（2 分 15 秒）。到中点，也就是 32 分钟时，你应该做到第 15 题左右。
• 选择题 B 部分： 13 题 40 分钟，每题约 3.1 分钟。
• 自由作答，每个部分： 两道题 35 分钟，每题 17.5 分钟。

在 A 部分分两遍做：先答你能立刻做出来的，凡是卡住超过三分钟的就跳过，再用省下的时间回头做。在每个自由作答部分，先把两道题都读一遍，从你更有把握的那道开始，某道题超过 20 分钟就换下一道。情境题的每个答案都要带单位，在不用计算器的部分保持答案精确，并写出步骤：阅卷人只能给写在纸上的东西打分。

Math Zen 能帮上什么

Math Zen 的 AP Precalculus 路径（见 AP Precalculus 考试页面）在第 1 到 3 单元共有 39 个子主题。第 1 单元训练多项式方程与不等式、有理函数与渐近线、函数变换，以及从公式、表格和图像求平均变化率，包括区分线性、二次和指数数据。第 2 单元包括指数函数与模型、对数法则、对数方程和半对数图；第 3 单元包括单位圆、正弦型函数、正切函数、反三角函数、恒等式和极坐标图像。自适应难度会把更多练习分给你做错的子主题；函数专题和三角学专题是不错的起点。

这个应用检查的是答案，不是书面推理，所以它不会批改第 2 题要求的论证，也不会批改第 4 题要求展示的过程。它目前还没有训练多项式的端点行为和重数、有理函数中的空洞、残差图，以及极坐标函数的变化率。这些内容请用往年自由作答题及其评分标准来练。

总结

2027 年 5 月的 AP Precalculus 考试共 42 道选择题和 4 道自由作答题，用时 2 小时 55 分钟，考查课程第 1 到 3 单元，课程内容没有变化。变的是时间：A 部分无计算器的每题约 2.2 分钟，自由作答每题 17.5 分钟。大部分分数是在不用计算器的情况下拿到的，所以手算的熟练程度决定成败。2 月 15 日之前先做诊断，给每个单元一个阶段，把四类自由作答题都亲手写到熟悉它们的结构，并在 5 月 9 日之前做完两套完整考试。这些功夫会延续下去：变化率、指数模型和三角函数，正是 AP Calculus 的根基。