직관으로 이해하는 함수

함수는 입력을 받아 정확히 하나의 출력을 돌려주는 규칙입니다. 자판기가 바로 함수입니다. B4를 누르면 매번 같은 간식이 나옵니다. 내일 다시 B4를 눌러도 같은 간식이죠. 이렇게 입력 하나가 출력 하나에 대응한다는 예측 가능함, 그것이 함수의 전부입니다. 이 글에서는 이 그림을 바닥부터 차근차근 쌓아 올린 다음, 함수가 왜 수학의 거의 모든 것 아래에 조용히 자리 잡고 있는지 보여 줍니다.

함수는 수학 어디에나 등장하지만, 학생들이 함수가 무엇인지 감을 잡기도 전에 추상적인 표기법(f(x), 정의역, 공역)으로 먼저 소개되는 경우가 많습니다. 그 결과 함수가 실제로 무엇을 하는지 한 번도 그려 보지 못한 채 f(3)을 계산할 줄만 아는 사람이 잔뜩 생깁니다.

이제 그걸 바로잡아 봅시다.

함수는 하나의 기계입니다

함수를 그려 보는 가장 깔끔한 방법은 입력 구멍 하나와 출력 구멍 하나가 달린 기계로 보는 것입니다. 무언가를 집어넣으면 기계가 정해진 규칙에 따라 처리하고, 결과 하나가 나옵니다.

"두 배로 만들기"라는 규칙을 생각해 봅시다. 3을 넣으면 6, 10을 넣으면 20, -2를 넣으면 -4가 나옵니다. 이 기계는 여러분의 기분이나 시간대에 아랑곳하지 않습니다. 같은 입력이면 언제나 같은 출력입니다.

바로 이 믿음직함이 함수를 정의하는 특징입니다. "1과 10 사이의 아무 수나 내놔"라는 규칙은 함수가 아닙니다. 같은 입력이 서로 다른 출력을 낼 수 있기 때문이죠. 하지만 "두 배로 만들기"는 언제나 한결같습니다. 입력 하나, 출력 하나.

이 기계를 f(x) = 2x 라고 적습니다. f 는 기계의 이름이고, x 는 여러분이 집어넣는 것, 2x 는 기계가 적용하는 규칙입니다. 그러니 f(3) = 6 은 "입력 3에 두 배 기계를 돌려라"의 줄임말일 뿐입니다.

두려움 없이 표기법 읽기

f(x) 라는 표기는 개념 자체보다 더 많은 학생을 걸려 넘어지게 합니다. 대부분 곱셈처럼 보이기 때문이죠. 하지만 곱셈이 아닙니다. f(x) 는 f 곱하기 x 가 아닙니다. "입력이 x 일 때 f 의 출력"이라는 뜻입니다.

괄호를 기계의 입력 구멍이라고 생각해 보세요.

• f(2) 는 2에 규칙을 적용하라는 뜻입니다.
• f(a + 1) 은 a + 1 이라는 양에 규칙을 적용하라는 뜻입니다.
• f(무엇이든) 은 안에 들어 있는 것이 무엇이든 거기에 규칙을 적용하라는 뜻입니다.

f(x) = x 의 제곱 + 1 이라면, f(4) = 4 의 제곱 + 1 = 17 입니다. x 가 나타나는 모든 자리에 4를 떨어뜨려 넣기만 하면 됩니다. 이게 기술의 전부입니다. 표기법이 곱셈처럼 보이기를 멈추고 이름표가 붙은 입력 구멍처럼 보이기 시작하면, 혼란의 대부분은 사라집니다.

정의역과 치역: 무엇이 들어가고, 무엇이 나오는가

모든 기계에는 받아들일 수 있는 것에 한계가 있습니다. 자판기는 동전을 받지, 조개껍데기를 받지 않습니다. 함수도 마찬가지입니다.

정의역은 함수가 받아들일 수 있는 모든 입력의 집합입니다. 치역은 함수가 실제로 만들어 낼 수 있는 모든 출력의 집합입니다.

f(x) = 2x 의 경우, 어떤 실수든 두 배로 만들 수 있으므로 정의역은 모든 실수이고, 출력으로 어떤 실수든 닿을 수 있으므로 치역도 모든 실수입니다.

하지만 많은 함수에는 제약이 있고, 그 제약은 결코 제멋대로가 아닙니다. 망가지는 연산에서 비롯되죠.

• f(x) = 1/x 는 0을 받아들일 수 없습니다. 0으로 나누는 것은 정의되지 않기 때문이죠. 정의역은 0을 제외한 모든 실수입니다.
• f(x) = x 의 제곱근 은 (실수 범위에서) 음수를 받아들일 수 없으므로, 정의역은 x ≥ 0 입니다.

정의역을 구한다는 것은 결국 이렇게 묻는 일입니다. 어떤 입력이 이 기계를 멈춰 세울까? 그것들을 빼면 답이 나옵니다.

그래프는 기계의 그림입니다

그래프는 기계가 만들어 내는 모든 입력과 출력 쌍을 시각적으로 기록한 것일 뿐입니다. 가로축은 입력을, 세로축은 출력을 담고, 각 점 (x, y) 는 "x 를 넣으면 y 가 나온다"고 말해 줍니다.

이 덕분에 어떤 것이 애초에 함수인지 아닌지 빠르게 시각적으로 판정할 수 있습니다. 각 입력은 정확히 하나의 출력을 내야 하므로, 어떤 입력도 서로 다른 두 출력값 위에 동시에 놓일 수 없습니다. 그래서,

수직선 판정법: 어떤 수직선이든 그래프와 두 번 이상 만난다면 그것은 함수가 아닙니다.

직선은 통과합니다. 포물선도 통과합니다. 원은 통과하지 못하는데, 대부분의 수직선이 원과 두 번 만나기 때문입니다. 즉 하나의 x 값이 두 개의 y 값에 대응하게 되죠. 기계는 어느 출력을 내야 할지 알 수 없으므로, 원은 함수가 아닙니다.

흔한 함수들의 작은 동물원

함수를 기계로 보기 시작하면, 이름 붙은 함수 집안들은 외워야 할 목록이 아니라 저마다 성격을 가진 등장인물처럼 보이기 시작합니다.

• 일차함수 (f(x) = mx + b): 일정한 비율로 변합니다. 그래프는 직선이죠. 일정한 속력으로 나아가는 거리처럼 꾸준히 자라는 모든 것 뒤에 있는 함수입니다.
• 이차함수 (f(x) = ax 의 제곱 + bx + c): 올라갔다가 꺾여 내려옵니다(또는 그 반대). 그래프는 포물선, 던진 공이 그리는 경로의 모양입니다.
• 지수함수 (f(x) = a 의 x 제곱): 매 단계마다 같은 비율로 곱해지므로 충격적일 만큼 빠르게 자랍니다. 복리와 인구 증가 뒤에 있는 엔진이죠. (직관으로 이해하는 지수 참고.)
• 로그함수: 지수함수의 역으로, 처음엔 빠르게 자라다가 점점 기어가듯 느려집니다. (직관으로 이해하는 로그 참고.)

이들을 알아보기 위해 공식을 외울 필요는 없습니다. 각 함수가 만드는 모양과 그것이 기술하는 변화의 종류를 알면 됩니다.

기계를 결합하고 거꾸로 돌리기

두 가지 발상이 함수를 고립된 규칙에서 하나의 도구 모음으로 바꿔 줍니다.

합성은 한 기계의 출력을 다른 기계에 집어넣는 것입니다. g 가 수를 두 배로 만들고 f 가 1을 더한다면, f(g(3)) 은 3을 두 배로 만들어 6을 얻은 다음, 1을 더해 7을 얻으라는 뜻입니다. 기계를 사슬처럼 잇는 것이죠. 이것은 미적분에서 끊임없이 등장합니다. 연쇄법칙이 바로 합성함수를 미분하는 규칙입니다.

역함수는 기계를 거꾸로 돌립니다. f 가 두 배로 만든다면 그 역은 반으로 줄이고, f 가 10을 더한다면 그 역은 10을 뺍니다. 역함수는 원래 함수가 한 일을 되돌려, 출력을 그것을 만들어 낸 입력으로 되돌려보냅니다. 다만 모든 함수에 역함수가 있는 것은 아닙니다. 각 출력이 단 하나의 입력에서 나온 함수에만 역함수가 있습니다(그렇지 않으면 거꾸로 돌릴 때 어느 입력인지 모호해지니까요).

함수가 모든 것 아래에 자리 잡는 이유

이제 보상의 시간입니다. 수학의 거의 모든 고급 주제는 사실 함수에 관한 질문입니다.

• 극한은 입력이 어떤 값에 가까워질 때 함수의 출력이 어떤 값에 다가가는지 묻습니다.
• 미분은 입력이 변할 때 함수의 출력이 얼마나 빠르게 변하는지 잽니다.
• 적분은 어떤 범위의 입력에 대해 함수의 출력을 더해 갑니다.

함수가 흔들리면 미적분 전체가 안개처럼 느껴집니다. 함수가 단단하면 미적분은 기계에 던질 수 있는 자연스러운 질문들의 모음이 됩니다. 이 기계는 어디로 향하는가, 얼마나 빠르게 변하는가, 얼마나 쌓이는가.

이것이 학습에서 중요한 이유

Math Zen에서 함수를 연습할 때는, f(x)를 계산하고 그래프를 읽는 것에서 시작해 정의역과 치역, 합성, 역함수에 이르기까지 차근차근 쌓아 가는 문제들을 풀게 됩니다. 난이도는 여러분이 실제로 서 있는 지점에 맞춰 조정됩니다.

기계라는 그림을 이해하면 도움이 되는 이유는 다음과 같습니다.

• 괄호를 입력 구멍으로 보게 되면 f(a + 1)을 계산하는 일이 더는 무섭지 않습니다.
• 정의역 문제는 외워야 할 규칙이 아니라 "무엇이 이 기계를 멈춰 세울까?"라는 물음이 됩니다.
• 같은 직관이 이 개념들을 신선하게 유지하는 데 쓰게 될 간격 반복으로, 그리고 그 뒤에 이어지는 모든 미적분 주제로 곧장 이어집니다.

핵심 정리

함수는 믿음직한 기계입니다. 입력 하나에 출력 하나, 매번 한결같이. 표기법 f(x) 는 이름표가 붙은 입력 구멍일 뿐이고, 정의역은 기계가 받아들이는 것, 치역은 기계가 만들어 내는 것, 그래프는 그 모든 입력과 출력 쌍의 그림입니다.

다음에 f(x)를 보거든 "무서운 대수"라고 생각하지 마세요. "이 기계는 내가 집어넣는 것에 무엇을 하는가?"라고 생각하세요. 이 하나의 관점 전환이 함수를, 그리고 그 위에 세워진 모든 것을, 훨씬 더 직관적으로 만들어 줍니다.