IB 수학 AA(SL·HL) 준비 방법: 12주 학습 계획

IB Mathematics: analysis and approaches(수학: 분석과 접근, 줄여서 AA)는 디플로마 프로그램(DP)의 두 수학 과목 중 더 대수적인 과목입니다. IB는 이 과목을 올바른 수학적 논증을 세우고, 전달하고, 정당화하는 능력을 강하게 강조하는 과정이라고 설명합니다. DP에서는 수학 과목을 하나만 고를 수 있고, AA는 표준 수준(SL)과 고급 수준(HL) 두 가지가 있습니다.

IB 수학 AA 공부법에 대한 조언은 대부분 일반적입니다. 기출문제를 풀고, 공식집을 익히고, 내부 평가를 일찍 시작하라는 것이죠. 모두 맞는 말입니다. 이 글은 그 대신 IB의 공식 문서에서 출발합니다. 과목 개요(subject brief), 공식집, 계산기 규정입니다. 두 수준의 시험, HL 전용 내용이 어디에 있는지, 공식집이 무엇을 주고 무엇을 주지 않는지, 교육과정의 다섯 단원으로 짠 12주 계획을 다룹니다. Math Zen의 IB 수학 AA 경로에서 함께 연습할 수도 있습니다.

SL과 HL: 시험이 두 개인가 세 개인가

2021년에 처음 평가된 이 과정의 IB 과목 개요는 두 수준의 평가를 다음과 같이 정합니다.

구성 요소	내용	SL 시간	SL 비중	HL 시간	HL 비중
Paper 1	기술 도구 불가. 섹션 A 단답형, 섹션 B 서술형	1시간 30분	40%	2시간	30%
Paper 2	기술 도구 허용. 섹션 A 단답형, 섹션 B 서술형	1시간 30분	40%	2시간	30%
Paper 3	HL 전용. 필수 서술형 문제 해결 문항 2개, 기술 도구 허용	없음	없음	1시간	20%
탐구	내부 평가, 과정 중에 작성	약 15시간	20%	약 15시간	20%

모든 문항이 필수입니다. 시험은 두 수준 모두 성적의 80%를 차지하고, 탐구가 나머지 20%입니다.

등급은 7(최고)부터 1까지입니다. IB는 HL 등급과 SL 등급에 같은 디플로마 점수를 주며, 두 수준을 같은 등급 기술문으로 평가합니다. HL 학생은 더 넓은 내용에 걸쳐 그 기준을 보여 주어야 합니다. IB의 DP 평가 안내는 과목 등급이 어떻게 디플로마 총점이 되는지 설명합니다.

계획에 중요한 날짜가 하나 있습니다. IB 수학 페이지에 따르면 현행 과정은 2028년 11월에 마지막으로 평가되고, 새 교육과정은 2027년부터 가르치며 2029년에 처음 평가됩니다. 2029년 과목 개요는 시험 시간과 비중을 그대로 두고 내용을 A부터 E까지의 단원으로 다시 묶습니다. 2027년이나 2028년에 시험을 본다면 아래 내용이 모두 해당됩니다. 2027년에 과정을 시작한다면 어떤 교육과정을 따르는지 선생님께 확인하세요.

수업 시간은 어디에 쓰이나: SL 단원과 HL 추가 내용

과목 개요에는 단원별 권장 수업 시간이 나옵니다. 각 단원을 얼마나 많이 만나게 될지, HL이 어디서 늘어나는지를 보여 주는 공개 자료 중 가장 좋은 신호입니다. 표의 HL 열에는 교육과정과 공식집에 있는 HL 전용 주요 추가 내용을 적었습니다.

단원	SL 시간	HL 시간	HL에서 더해지는 내용	먼저 연습할 것
1 수와 대수	19	39	경우의 수, 부분분수, 복소수, 수학적 귀납법, 귀류법과 반례, 연립일차방정식	로그 법칙과 등비급수를 손으로
2 함수	21	32	다항함수와 유리함수, 우함수와 기함수, f(x)의 절댓값 그래프와 역수 그래프	합성함수, 역함수, 그래프 변환
3 기하와 삼각함수	25	51	sec, cosec, cot와 역삼각함수, 덧셈정리, 벡터, 공간의 직선과 평면	단위원의 값과 구간에서의 삼각방정식
4 통계와 확률	27	33	베이즈 정리, 연속확률변수	계산기로 이항분포와 정규분포 확률
5 미적분	28	55	극한과 연속, 음함수 미분, 관련 변화율, 심화 적분, 회전체의 부피, 미분방정식, 매클로린 급수	연쇄·곱·몫의 미분법, 그다음 최적화

눈에 띄는 점이 두 가지 있습니다. 미적분은 두 수준 모두에서 가장 큰 단원이고, HL에서는 거의 두 배가 됩니다. 기하와 삼각함수도 HL에서 두 배가 되는데, 그중 상당 부분이 3차원 벡터입니다. 수준을 고르고 있다면, 이 두 줄이 늘어나는 90시간을 솔직하게 보여 줍니다.

벡터가 추상적으로 느껴진다면 벡터 가이드가 화살표 그림과 계산에 쓰는 성분을 연결해 주고, Math Zen의 벡터 단원에서는 내적, 외적, 직선과 평면을 연습할 수 있습니다.

Paper 1에서는 대수 실력이 빛난다

Paper 1에서는 어떤 기술 도구도 쓸 수 없고, 비중은 SL 40%, HL 30%로 Paper 2와 같지만 계산기에서 나오는 점수는 하나도 없습니다. 범위는 교육과정 전체이므로 미적분, 삼각함수, 로그를 모두 손으로 다룰 수 있어야 합니다.

Paper 1의 대부분은 세 가지 기술이 떠받칩니다. 첫째는 정확한 값입니다. 표준 각(호도법)의 사인, 코사인, 탄젠트를 표로 외우지 말고 단위원에서 읽어 내세요. 삼각함수 가이드는 이 값들을 원 위의 좌표로 세우기 때문에 쉽게 다시 만들어 낼 수 있습니다. 둘째는 지수와 로그 법칙을 양방향으로 쓰는 것으로, 식 정리뿐 아니라 방정식에도 씁니다. 로그 가이드는 법칙이 왜 성립하는지 설명합니다. 셋째는 미분과 적분 법칙을 깔끔하게 적용하고, 그 뒤의 대수를 실수 없이 처리하는 것입니다.

이것들은 계산기를 손이 닿지 않는 곳에 두고 연습하세요. 복습하면서 모든 단계를 계산기로 확인하면 Paper 1이 실제보다 훨씬 어렵게 느껴집니다.

Paper 2와 계산기

Paper 2에서는 기술 도구를 쓸 수 있고, IB는 모든 DP 수학 과목이 그래핑 계산기에 능숙해질 것을 요구한다고 밝힙니다. 계산기가 가장 빠른 길인 문항을 예상하세요. 두 곡선의 교점 찾기, 정적분의 수치 계산, 정규분포 확률 같은 것들입니다.

IB 계산기 목록은 권장 모델을 제시하며, 그중에는 TI-84 Plus 계열, Press-to-Test 모드의 CAS 없는 TI-Nspire, Examination Mode의 Casio fx-CG50이 있습니다. TI-89와 Casio ClassPad 같은 CAS 계산기는 금지되며, 사실이나 공식을 기억할 필요를 없애는 메모, 프로그램, 앱의 저장도 허용되지 않습니다.

자신이 쓸 모델로 알맞은 창에서 그래프 그리기, 교점·영점·극점 찾기, 방정식의 수치 해 구하기, 한 점에서의 미분계수와 정적분 구하기, 역정규분포를 포함한 이항분포와 정규분포 확률 계산을 익히세요. 무엇을 했는지는 수학 기호로 적습니다. 배점이 큰 문항에서 풀이 없이 숫자만 쓰는 것은 위험합니다.

HL의 Paper 3는 별도의 기술이다

HL Paper 3는 필수 서술형 문제 해결 문항 2개를 1시간에 푸는 시험으로, 성적의 20%를 차지합니다. 1시간에 2문항이라는 것은 문항 하나하나가 길다는 뜻이고, 과목 개요는 문제 해결을 배운 것을 정형화되지 않은 문제와 열린 문제에 적용하는 일로 봅니다. 어떤 방법을 쓸지 알려 주지 않는 상태에서 낯선 상황을 풀어 나가는 능력이 요구됩니다.

단원별 연습만으로는 이 능력이 길러지지 않습니다. 2주에 한 번 지난 Paper 3 문항 하나를 골라 30분을 주고, 잘 안 된 경우까지 포함해 모든 것을 적으세요. 그런 다음 채점 기준에서 출제자가 예상한 풀이 경로를 읽고 비교합니다.

공식집에 없는 것

공식집은 SL과 HL이 함께 쓰는 한 권으로, 단원마다 HL 전용 부분이 있고 과정 중에도 시험에서도 사용합니다. 내용은 넉넉합니다. 근의 공식과 판별식, 이항정리, 사인법칙과 코사인법칙, 삼각형의 넓이 $\tfrac{1}{2}ab\sin C$, 배각 공식, 연쇄·곱·몫의 미분법과 $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln x$의 도함수가 실려 있습니다.

그래서 쓸모 있는 것은 "공식집에 없는 것" 목록입니다. 삼각함수의 정확한 값 표는 없습니다. 공식집은 법칙을 주지만 언제 써야 하는지는 알려 주지 않습니다. 어떤 항등식이 방정식을 이차방정식으로 바꾸는지, 언제 치환이 맞는 선택인지 같은 것들입니다. 자신의 실수에서 "공식집에 없는 것"을 한 쪽으로 정리하고 일주일에 한 번 기억만으로 확인하세요. 수학 공식 암기 가이드는 이해한 공식이 왜 더 오래 남는지 설명합니다. 공식집을 처음부터 끝까지 한 번 읽어 두면 시험에서 공식을 몇 초 만에 찾을 수 있습니다.

탐구는 20%이고 지름길이 없다

탐구(exploration)는 직접 고른 주제에 대한 수학 보고서로, 두 수준 모두 필수이며 20%를 차지합니다. 과목 개요는 이를 위해 약 15시간을 배정합니다. 선생님이 채점하고 IB가 조정(moderation)합니다. Math Zen은 이 부분을 도와줄 수 없고, 어떤 연습 앱도 마찬가지입니다. 선생님의 지도와 평가 기준에 따라 진행하는 여러분 자신의 탐구이기 때문입니다. 주제를 일찍 정하고, 범위를 좁히고, 시험 복습은 제출한 뒤에 본격적으로 하세요.

IB 수학 AA 12주 학습 계획

첫 수학 시험 날부터 12주를 거꾸로 세어 시작하세요. 시험 날짜는 학교의 IB 코디네이터가 알려 줍니다. 1주차 전에 자신의 수준에 맞는 시험 시간대로 Paper 1과 Paper 2를 준비 없이 한 번씩 풀고, 채점 기준으로 채점해 잃은 점수를 모두 분류하세요. 개념 공백, 풀이법 공백, 계산 실수, 계산기 조작 공백, 문제 읽기와 시간 문제입니다. 개념 공백에는 개념을 다시 설명받는 것이, 풀이법 공백에는 하루 뒤 빈 종이에 풀이를 재현하는 것이, 실수에는 천천히 확인하며 손으로 푸는 연습이 필요합니다.

계획은 단원 순서를 따르고, 수업 시간처럼 미적분에 가장 많은 시간을 줍니다. 매번 공부를 마칠 때 앞선 주의 내용을 섞은 문제를 10분 동안 푸세요. 간격 반복 가이드는 짧고 분산된 복습이 왜 더 오래 남는지 설명합니다.

1~2주차: 수, 대수, 함수. 수열과 급수, 로그와 지수, 이항정리, 이차함수와 이차방정식, 함수, 역함수, 합성과 변환. Paper 1처럼 먼저 손으로 푸세요.

3~4주차: 기하와 삼각함수. 사인법칙과 코사인법칙(사인법칙으로 삼각형이 두 개 나오는 경우 포함, 사인법칙과 코사인법칙 가이드에서 자세히 다룹니다), 호도법, 호와 부채꼴, 항등식, 주어진 구간에서의 삼각방정식. HL: 공간의 벡터, 직선, 평면.

5~7주차: 미적분. 극한, 미분법, 접선과 법선, 최적화, 운동학, 적분과 넓이. HL: 음함수 미분, 관련 변화율, 치환적분과 부분적분, 회전체의 부피, 미분방정식. Math Zen의 미분 단원은 법칙이 자동으로 나올 때까지 연습시켜 줍니다.

8주차: 통계와 확률. 기술통계, 회귀, 확률, 계산기로 다루는 이항분포와 정규분포. HL: 베이즈 정리와 연속확률변수.

9주차: HL 추가 내용 또는 SL 다지기. HL: 직교형식, 극형식, 오일러 형식의 복소수(복소수 극형식 가이드가 도움이 됩니다), 수학적 귀납법, 귀류법과 반례, 매클로린 급수. SL: 미적분과 삼각함수를 한 번 더.

10주차: 공식집과 계산기. "공식집에 없는 것" 목록, 그리고 시험용 모델로 Paper 2에 필요한 모든 계산기 조작.

11~12주차: 전체 시험. 실제 시험 시간으로 Paper 1과 Paper 2 세트, HL은 Paper 3까지. 틀린 문항은 모두 빈 종이에서 다시 풀고, 그 뒤로는 새 단원을 추가하지 마세요.

Math Zen이 다루는 것과 다루지 않는 것

Math Zen의 IB 수학 AA 경로는 SL 내용과 HL 전용 내용을 하나의 경로에서, 한 번에 한 문제씩, 실력에 맞춰 난이도를 바꿔 가며 연습시킵니다. SL 학생은 복소수, 공간 벡터, 미분방정식 같은 HL 전용 소단원을 건너뛰어도 됩니다. 이 경로는 교육과정 내용 항목의 대부분을 다루지만 전부는 아니므로, 의지하기 전에 빈틈을 알아 두면 좋습니다.

• 서술형 증명. 앱은 증명을 채점할 수 없습니다. 수학적 귀납법의 귀납 단계는 연습하지만, SL의 연역적 증명이나 귀류법과 반례에 의한 증명은 다루지 않습니다.
• 일부 HL 내용. 연속확률변수, 복소수의 오일러 형식과 켤레근 정리, 우함수와 기함수, 함수의 절댓값 그래프와 역수 그래프, 사점근선, 오일러 방법, y축에 대한 넓이와 부피, 분수 또는 음수 지수의 이항정리는 아직 연습할 수 없습니다.
• 일부 SL 세부 내용. 사인법칙의 모호한 경우(해가 두 개인 경우), y에 대한 x의 회귀직선, 그래프 개형 그리기(앱은 그래프 읽기를 훈련합니다)는 다루지 않습니다.
• 계산기, Paper 3, 탐구. 앱은 그래핑 계산기 조작을 훈련하지 않고, Paper 3식 탐구 문항을 내지 않으며, 탐구도 도와주지 않습니다.

앱은 매일 기술을 연습하는 데 쓰고, 이 목록에 있는 모든 것은 채점 기준이 있는 기출문제로 보완하세요.

정리

IB 수학 AA는 SL에서 시험 두 개, HL에서 세 개에 20%의 탐구가 더해집니다. Paper 1은 Paper 2와 비중이 같은데도 계산기를 전혀 쓸 수 없으므로, 손으로 하는 대수와 정확한 값이 많은 성적을 좌우합니다. HL은 수업 시간이 약 90시간 늘어나며 대부분이 미적분과 벡터이고, 문제 해결형 Paper 3이 있습니다. 실제 시험으로 진단하고, 단원 비중에 맞춰 시간을 나누고, 공식집에 없는 것을 파악하고, 마지막에는 실제 시험 시간으로 전체 시험을 풀어 보세요.