사인법칙과 코사인법칙: 어느 것을 언제 써야 할까요

측량사가 땅의 두 변과 그 사이각을 알고 있고 세 번째 변을 알아내야 해요. 조종사는 두 무선 표지와 이루는 삼각형에서 두 각과 거리 하나를 알고 있어요. 두 삼각형 모두 직각이 없어서 SOH CAH TOA로는 풀 수 없어요. 이런 일을 해내는 것이 사인법칙과 코사인법칙이에요. 세 가지 요소(그중 하나는 변이어야 해요)만 알면 어떤 삼각형이든 풀 수 있게 해 주는 두 규칙이죠.

어려운 부분은 대개 공식 자체가 아니에요. 어느 법칙을 쓸지 고르는 일, 그리고 계산기가 조용히 틀린 각을 내놓는 단 하나의 상황을 알아차리는 일이에요. 이 글은 판단표로 시작해서 경우마다 예제를 하나씩 풀고, 마지막으로 변 하나만 바꿔 가며 삼각형 하나를 모호한 경우의 모든 결과로 이끌어 가요. 사인과 코사인이 아직 개념이 아니라 버튼처럼 느껴진다면 삼각법 가이드가 먼저 처음부터 다시 세워 줘요.

표기는 처음부터 끝까지 같아요. 각 A, B, C는 각각 변 a, b, c의 맞은편에 있어요.

어느 법칙을 쓸까: 주어진 조건에서 출발하세요

풀 수 있는 삼각형 문제는 항상 세 가지 요소를 줘요. 패턴에 이름을 붙이면 법칙이 따라와요.

주어진 조건, 법칙, 가장 먼저 구할 것

주어진 조건	패턴	쓸 법칙	먼저 구할 것
두 각과 그 사이에 있지 않은 한 변	AAS	사인법칙	나머지 한 각(180°에서 두 각을 뺀 값), 그다음 변
두 각과 그 사이의 변	ASA	사인법칙	나머지 한 각, 그다음 변
두 변과 그 사이에 있지 않은 각	SSA	사인법칙(주의해서)	두 번째로 주어진 변의 대각, 삼각형이 0개인지 1개인지 2개인지 확인
두 변과 그 사이각	SAS	코사인법칙	나머지 한 변
세 변	SSS	코사인법칙	가장 큰 각(가장 긴 변의 대각)
세 각	AAA	둘 다 아님	답이 하나로 정해지지 않아요. 어떤 크기든 닮은 삼각형이 모두 들어맞아요

이 구분은 OpenStax 미적분 준비 교재를 따른 거예요. 사인법칙은 ASA, AAS, SSA를 다루고, 코사인법칙은 사인법칙으로 다룰 수 없는 두 경우인 SAS와 SSS에 쓰는 도구예요(OpenStax, law of sines; OpenStax, law of cosines).

이유는 공식을 보면 쉽게 알 수 있어요. 사인법칙은 각 변을 그 대각과 비교해요.

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

이 식을 쓰려면 적어도 한 쌍이 완전해야 해요. 변 하나와 그 맞은편 각이 함께 있어야 한다는 뜻이에요. SAS와 SSS에는 그런 쌍이 없으니 시작하려면 다른 규칙이 필요해요.

코사인법칙: 피타고라스에 보정 한 스푼

코사인법칙은 세 가지 형태로 쓰면 다음과 같아요.

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

마지막 식에 $C = 90^{\circ}$를 넣어 보세요. 그러면 $\cos C = 0$이라서 마지막 항이 사라지고 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$만 남아요. 코사인법칙은 직각이 아닌 각을 위한 보정항이 붙은 피타고라스 정리예요. OpenStax는 출발점이 되는 이 항등식을 "일반화된 피타고라스 정리"라고 불러요. 아이디어는 오래됐어요. 유클리드 『원론』 제2권의 명제 12와 13은 코사인이 생기기 훨씬 전에 순수한 기하학의 언어로 둔각삼각형과 예각삼각형에 대해 이 법칙을 증명했어요(Euclid II.12, Clark University edition).

보정에는 분명한 의미가 있어요. C가 예각이면 $\cos C$가 양수라서 c는 피타고라스 값보다 짧게 나와요. C가 둔각이면 $\cos C$가 음수이고, 마이너스 부호가 보정을 덧셈으로 바꿔서 c는 더 길게 나와요. 각을 벌리면 맞은편 변이 늘어나고, 각을 오므리면 줄어들어요.

SAS 예제 풀이

두 변이 $b = 8$, $c = 11$이고 그 사이각이 $A = 40^{\circ}$예요. 나머지를 구해 보세요.

세 번째 변. 알려진 각이 들어 있는 형태에 대입해요.

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

따라서 $a \approx 7.08$이에요. 비교하자면 A가 직각이었다면 $\sqrt{185} \approx 13.60$이 나왔을 거예요. 40°라는 각이 이 값을 거의 절반으로 줄인 셈이에요.

나머지 각. 이제 완전한 쌍(a와 A)이 생겼으니 사인법칙을 쓸 수 있어요. 남은 두 변 중 짧은 쪽인 b의 대각을 먼저 구해요.

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

그러면 $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$예요.

C가 둔각이라는 점에 주목하세요. 만약 C에 사인법칙을 썼다면 계산기의 역사인은 사인 값이 같은 예각 86.55°를 돌려줬을 것이고, 이후의 모든 숫자가 틀렸을 거예요. 작은 각부터 구하면 이 함정을 피할 수 있어요. 어떤 삼각형에서든 짧은 변의 대각이 더 작고, 90° 이상인 각은 많아야 하나뿐이니, 짧은 변의 대각은 언제나 예각이에요.

같은 데이터로 넓이도 바로 구할 수 있어요. 두 변과 그 사이각의 사인을 곱한 값의 절반이에요(OpenStax 사인법칙 절의 넓이 공식): $\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$.

SSS: 가장 큰 각부터 구하세요

세 변이 모두 주어지면 코사인법칙을 변형해서 코사인을 따로 떼어 내요.

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

변이 5, 7, 9인 삼각형을 생각해 봐요. 가장 긴 변이 9이니 그 대각부터 구해요.

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

코사인이 음수라서 C가 둔각임을 바로 알 수 있어요. 이제 나머지 두 각은 반드시 예각이니 사인법칙을 안전하게 쓸 수 있어요.

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

그리고 $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$예요. B를 코사인법칙으로 확인해도 같은 50.70°가 나와요.

순서를 바꾸면 함정이 나타나요. A를 먼저 구하고 C에 사인법칙을 쓰면 $\sin C \approx 0.9950$이 나오고 역사인은 84.26°라고 말해요. 실제 각은 그 보각인 95.74°예요. 휴스턴 대학교 강의 노트는 이 규칙을 분명하게 적어 둬요. 선택할 수 있다면 "대개 가장 큰 각을 먼저 구하는 것이 가장 좋다"(UH Math 1330, section 7.3)고요.

사인법칙: AAS와 ASA

두 각을 알면 세 번째 각은 공짜예요. 세 각의 합이 180°니까요. 그 뒤로 사인법칙은 단순한 비례식이에요.

$A = 40^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$, $a = 10$이라고 해요. 그러면 $C = 80^{\circ}$이고, 공통 비율은 다음과 같아요.

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

여기에 각 사인 값을 곱해요. $b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$, $c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$예요.

여기에는 모호한 점이 없어요. 모든 각을 역사인이 아니라 뺄셈으로 구했기 때문이에요. ASA도 똑같이 풀려요. 빼서 세 번째 각을 구하면 변과 그 대각이 한 쌍으로 생기고, 나머지는 비례식이 알아서 해 줘요.

모호한 경우(SSA): 삼각형 하나, 결과는 세 가지

SSA는 학생들이 점수를 잃는 곳이에요. OpenStax는 이 경우를 SSA 데이터가 "해가 하나 또는 둘일 수도, 아예 없을 수도 있는" 경우로 설명해요. 이유를 가장 깔끔하게 보는 방법은 변 하나만 빼고 모든 것을 고정하는 거예요.

각 $A = 30^{\circ}$와 변 $b = 10$을 고정해요. 변 b가 꼭짓점 C에서 꼭짓점 A까지 땅 위에 놓여 있고, A에서의 각이 30°라고 그려 보세요. 변 a는 C에서 늘어져서, A에서 뻗어 나온 직선 위에 닿을 때까지 문처럼 흔들려요. 닿을지, 어디에 닿을지는 오직 a의 길이에 달려 있어요.

기준이 되는 길이는 C에서 그 직선까지 내린 높이예요.

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

이제 a만 바꿔 볼게요. 아래 표의 각 줄은 $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$로 계산하고 유효숫자 12자리까지 확인한 값이에요.

A = 30°, b = 10일 때 SSA의 결과

변 a	h = 5, b = 10과 비교	$\sin B$	삼각형 개수	각 B	각 C	변 c
4	h보다 짧음	1.25	0	없음	없음	없음
5	h와 같음	1	1	90°	60°	8.66
8	h와 b 사이	0.625	2	38.68° 또는 141.32°	111.32° 또는 8.68°	14.91 또는 2.42
12	b 이상	0.4167	1	24.62°	125.38°	19.57

한 줄씩 읽어 볼게요.

• a = 4. 문이 높이보다 짧아서 땅에 닿지 못해요. 대수적으로도 똑같이 나와요. $\sin B = 1.25$인데 사인 값이 1을 넘는 각은 없어요. 삼각형은 만들어지지 않아요.
• a = 5. 문이 땅에 똑바로 내려와 겨우 닿아요. 삼각형이 하나이고 B가 직각이에요.
• a = 8. 문이 높이보다는 길고 b보다는 짧아서, 수선의 발 양쪽에 하나씩 두 곳에서 땅에 닿아요. 둘 다 진짜 삼각형이에요. 역사인은 38.68°를 주고, 다른 답은 그 보각 $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$예요. $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$이니 세 번째 각이 들어갈 자리가 있어요. c = 14.91인 넓은 삼각형과 c = 2.42인 가느다란 삼각형이 생겨요.
• a = 12. 문이 b보다 길어서 두 번째 닿는 점이 A 뒤쪽, 즉 삼각형 밖에 떨어지게 돼요. 보각 155.38°에 30°를 더하면 이미 180°를 넘으니 버려요. 삼각형은 하나예요.

이 조건들은 OpenStax 절의 네 그림과 일치해요. a가 높이보다 짧으면 삼각형이 없고, a가 높이와 같으면 직각삼각형이고, a가 높이와 b 사이이면 두 개이고, a가 b 이상이면 하나예요(A가 예각일 때).

기억해 둘 루틴은 이거예요. SSA에서 역사인을 쓴 뒤에는 항상 그 보각도 적어 보고, 주어진 각과 함께 들어맞는지 확인하세요. 들어맞는다면 답이 두 개이고, 문제는 보통 둘 다 요구해요. A 자체가 둔각이라면 그림이 더 간단해요. a가 b보다 길어야 하고, 그렇지 않으면 삼각형은 아예 없어요.

자주 하는 실수

SAS나 SSS에 사인법칙을 쓰는 것. 변과 그 대각이 완전한 쌍으로 없으면 비례식에 미지수가 둘이 돼요. 코사인법칙으로 시작하세요.

SSA에서 두 번째 삼각형을 잊는 것. 계산기는 예각인 역사인만 돌려줘요. 항상 그 보각을 확인하세요.

역사인으로 둔각을 구하는 것. SAS와 SSS에서는 가장 큰 각을 코사인법칙으로 구하거나, 작은 각을 사인법칙으로 먼저 구하세요.

계산기가 라디안 모드인 것. 라디안에서 $\cos 40$은 약 $-0.667$이지 $0.766$이 아니에요. 어떤 변이 나머지 두 변의 합보다 길게 나오면 모드를 확인하세요.

일찍 반올림하는 것. 구한 변을 다음 단계에 쓰기 전에는 전체 자릿수를 유지하세요. 위의 답들은 전체 자릿수로 계산하고 마지막에만 반올림했어요.

연습 문제

답을 보기 전에 하나씩 직접 풀어 보세요.

1. SAS. $b = 6$, $c = 9$, $A = 60^{\circ}$. a를 구하세요.
2. SSS. 변이 4, 6, 8인 삼각형이 있어요. 가장 큰 각을 구하세요.
3. SSA. $A = 40^{\circ}$, $b = 12$, $a = 9$. 삼각형이 몇 개 만들어지고, c의 가능한 값은 무엇일까요?

정답.

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$이므로 $a = \sqrt{63} \approx 7.94$예요.
2. 가장 큰 각은 8의 대각이에요. $\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$이므로 $C \approx 104.48^{\circ}$예요.
3. 높이는 $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$이고 9는 7.71과 12 사이에 있으니 삼각형은 두 개예요. $\sin B \approx 0.8571$에서 $B \approx 58.99^{\circ}$ 또는 $121.01^{\circ}$, 그다음 $C \approx 81.01^{\circ}$ 또는 $18.99^{\circ}$, 그리고 $c \approx 13.83$ 또는 $4.56$이에요.

Math Zen의 삼각법 연습에는 삼각비, 항등식, 역함수와 함께 사인법칙과 코사인법칙이 들어 있고 매 시도마다 숫자가 새로 나와요. 그래서 두 법칙 중 무엇을 쓸지 고르는 일이 자동으로 이루어지게 돼요. 같은 코사인은 내적에서 다시 등장하는데, 자연스러운 다음 단계로 벡터 가이드가 설명해 줘요.

자주 묻는 질문

사인법칙과 코사인법칙은 언제 각각 쓰나요?

AAS, ASA, SSA에는 사인법칙을 써요. 어느 변도 그 대각을 알 수 없는 SAS와 SSS에는 코사인법칙을 써요.

코사인법칙은 피타고라스 정리와 같은 건가요?

피타고라스 정리를 일반화한 식이에요. 각을 90°로 두면 $-2ab\cos C$ 항이 사라지고 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$만 남아요.

사인법칙의 모호한 경우란 무엇인가요?

SSA 데이터는 삼각형이 0개, 1개, 2개인 경우를 모두 나타낼 수 있어요. 변 a를 높이 $h = b \sin A$ 및 변 b와 비교하면 어느 경우인지 알 수 있어요.

왜 가장 큰 각을 먼저 구해야 하나요?

각과 그 보각은 사인 값이 같아서 역사인은 84°와 96°를 구별하지 못해요. 둔각이 될 수 있는 것은 가장 큰 각뿐이니, 그 각을 코사인법칙으로 구하면 나머지는 안전해요.