복소수의 극형식: 변환, 곱셈, 나눗셈

수 $3+3i$는 주소를 줍니다. 오른쪽으로 세 단위, 위로 세 단위입니다. 방향과 거리도 줍니다. 북동쪽으로, 0에서 $3\sqrt{2}$만큼 떨어져 있습니다. 직교형식과 극형식은 정확히 같은 수를 설명합니다. 서로 다른 계산을 쉽게 만들어 줍니다.

직교형식은 덧셈에 편리합니다. 극형식에서는 곱셈이 평범한 두 동작처럼 보입니다. 늘이고 돌리는 것입니다. 그래서 설명 방식을 바꾸면 복잡해 보이던 거듭제곱이 짧은 계산이 될 수 있습니다.

허수 단위가 아직 낯설다면 허수 설명부터 읽어 보세요. 여기서는 그다음 실용적인 단계인 변환, 계산, 답 확인에 집중합니다.

절댓값과 편각은 하나의 화살표를 설명한다

원점에서 $z=a+bi$까지 화살표를 그리세요. 가로 성분은 $a$이고 세로 성분은 $b$입니다. 화살표의 길이인 절댓값은 직각삼각형에서 나옵니다.

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

편각은 양의 실수축에서 반시계 방향으로 잰 각 $\theta$입니다. 양의 회전은 반시계 방향이고 음의 회전은 시계 방향입니다. 한 바퀴를 돌면 같은 화살표로 돌아오므로 편각은 하나뿐이지 않습니다.

길이가 $r$인 화살표의 가로 성분과 세로 성분은 $r\cos\theta$와 $r\sin\theta$입니다. 이 성분을 대입하면 극형식이 됩니다.

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

어떤 책은 이를 $r\operatorname{cis}\theta$로 씁니다. 이 약어는 괄호 안의 식을 정확히 뜻합니다. 더 짧게 쓴 표기일 뿐, 새로운 연산이 아닙니다.

여기서는 극좌표의 기하를 사용하지만, 목표는 극곡선을 그리는 것이 아니라 복소수로 계산하는 것입니다.

사분면을 잃지 않고 수를 변환하기

$z=-3+3i$를 생각해 봅시다. 절댓값부터 구합니다.

$$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

실수부는 음수이고 허수부는 양수이므로 화살표는 제2사분면을 가리킵니다. 가로 거리와 세로 거리의 크기가 같으므로 기준각은 $\pi/4$입니다. 따라서 필요한 편각은 $3\pi/4$, 즉 135도입니다.

$$-3+3i=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

왜 $\arctan(b/a)$만 입력하면 안 될까요? 여기서 비는 -1이고, 일반적인 역탄젠트 계산은 $-\pi/4$를 반환합니다. 이 각은 반대 방향인 제4사분면을 가리킵니다. 비 하나만으로는 사분면을 정하는 부호가 사라집니다.

항상 다음 순서를 따르세요.

1. 절댓값을 구합니다.
2. 스케치에 실수부와 허수부의 부호를 표시합니다.
3. 기준각을 구하고 해당 사분면에 놓습니다.
4. 다시 대입하여 두 성분을 모두 확인합니다.

$\operatorname{atan2}(b,a)$라는 계산기 또는 프로그래밍 함수는 사분면과 축 위의 경우를 처리합니다. 인수 순서와 출력이 라디안인지 확인하세요. 입력이 하나인 아크탄젠트를 대신 쓴다면 여전히 스케치가 필요합니다.

되돌려 변환하며 확인하기

극형식에서 직교형식으로 가려면 두 성분을 따로 계산합니다. 위 예에서는 다음과 같습니다.

$$a=3\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3$$ $$b=3\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3$$

필요한 결과인 $-3+3i$가 나옵니다. 이 검사는 사분면 오류를 즉시 잡아냅니다. 절댓값이 맞더라도 각이 틀리면 부호가 잘못 나오기 때문입니다.

간단한 정확한 값이 없는 각은 마지막 단계까지 편각을 반올림하지 마세요. 너무 일찍 반올림하면 수를 다시 성분으로 바꿀 때 불필요한 오차가 생깁니다.

곱셈은 늘이고 돌린다

한 수의 절댓값과 편각이 $r_1$과 $\theta_1$이고, 다른 수의 절댓값과 편각이 $r_2$와 $\theta_2$라고 합시다. 곱셈은 길이를 곱하고 회전을 더합니다.

$$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$$

절댓값이 2이고 편각이 $\pi/6$과 $\pi/3$인 두 수를 봅시다. 곱의 절댓값은 4이고 편각은 $\pi/2$입니다.

$$z_1z_2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

직교형식으로 독립적으로 확인할 수도 있습니다. 처음 두 수는 $\sqrt{3}+i$와 $1+\sqrt{3}i$입니다.

$$(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)=\sqrt{3}+3i+i+\sqrt{3}i^2=4i$$

$i^2=-1$이므로 실수부가 상쇄됩니다. 두 표현은 같은 답으로 이어지지만, 극형식 계산에서는 전개하기 전부터 직각 회전이 보입니다.

나눗셈은 늘이기와 회전을 거꾸로 한다

0이 아닌 복소수로 나누려면 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$$

예를 들어 절댓값 6, 편각 $5\pi/6$인 수를 절댓값 2, 편각 $\pi/3$인 수로 나눕니다. 결과의 절댓값은 3이고 편각은 $\pi/2$이므로 몫은 $3i$입니다.

분모의 절댓값은 0이 아니어야 합니다. 극형식 표기가 0으로 나누기를 가능하게 만들지는 않습니다. 뺄셈 순서도 올바르게 유지하세요. 두 번째 수를 첫 번째 수로 나누면 배율과 각의 차이가 모두 뒤집힙니다.

거듭제곱은 같은 연산을 반복한다

복소수를 양의 정수 거듭제곱으로 올린다는 것은 같은 곱셈을 반복한다는 뜻입니다. 절댓값은 그만큼 거듭제곱하고 편각은 그 수를 곱합니다.

$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

이것이 드무아브르 공식입니다. $z=\sqrt{3}+i$의 절댓값은 2이고 한 편각은 $\pi/6$입니다. 세제곱하면 다음과 같습니다.

$$(\sqrt{3}+i)^3=2^3\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=8i$$

30도 회전을 세 번 하면 90도 회전이 됩니다. 배율 2를 세 번 곱하면 8입니다. 세제곱을 직접 전개할 수도 있지만, 극형식은 결과가 왜 허수축 위에 놓이는지 보여 줍니다.

OpenStax의 극형식 장에서도 이에 해당하는 근 계산을 다룹니다. 중요한 차이는 n ≥ 2일 때 0이 아닌 복소수에는 서로 다른 n제곱근이 여러 개 있다는 점입니다. 고른 각 하나를 n으로 나누는 것만으로는 모든 근을 나열할 수 없습니다.

이 특별한 경우들을 구분하기

한 바퀴를 돌면 각은 바뀌지만 수는 바뀌지 않습니다. 각 $\theta$와 $\theta+2\pi k$는 모든 정수 $k$에 대해 같은 방향을 설명합니다. 문제가 주편각을 요구한다면 제시된 구간, 흔히 $(-\pi,\pi]$를 사용하세요. 수업에 따라 다른 구간을 쓰기도 하므로 자신의 약속을 밝히세요.

0에는 정의된 방향이 없습니다. 절댓값은 0입니다. 어떤 각이든 같은 0 성분을 내므로 0에 하나뿐인 편각을 정하는 것은 의미가 없습니다.

라디안과 도를 섞으면 안 됩니다. 일관되게 쓰기만 하면 삼각형식에서는 둘 다 사용할 수 있습니다. 지수형식 $re^{i\theta}$는 라디안을 사용합니다. 오일러 항등식 안내에서 이 연결을 설명합니다.

덧셈에는 곱셈 규칙을 쓰지 않습니다. 절댓값과 편각을 더해도 복소수의 합이 되지 않습니다. 직교형식으로 바꾸고 성분끼리 더한 뒤, 필요하면 다시 변환하세요.

한 번에 한 가지 판단을 연습하기

Math Zen의 복소수 연습에는 극형식과 드무아브르 정리가 포함됩니다. 배울 때는 기능을 나누세요. 먼저 사분면을 확인하고, 절댓값을 구하고, 변환한 뒤에야 곱이나 거듭제곱을 시도하세요.

답을 제출하기 전에 세 가지를 물어보세요. 0에서 떨어진 거리가 타당한가? 방향이 연산과 맞는가? 직교형식의 성분이 출발한 값을 되살리는가? 이런 확인을 거치면 극형식은 외울 공식 하나가 아니라 계산을 보는 방법이 됩니다.