Comprendre les pourcentages intuitivement (pourboires, remises et variation en pourcentage)
Une personne capable de partager une addition en quatre sans broncher sortira son téléphone à la seconde où le serveur évoque un pourboire de 18 %. L'arithmétique qui se cache derrière est exactement la même que celle du partage qu'elle vient de faire. La seule chose qui a changé, c'est qu'un nombre porte désormais un signe pourcentage, et c'est précisément là que la plupart des gens décident, en silence, qu'ils sont nuls dès qu'il s'agit de « la partie maths » de la vie quotidienne.
Le remède est modeste, et ce n'est pas une pile de formules. Les pourcentages reposent sur une seule idée, et une fois cette idée comprise, les pourboires, les remises, la TVA, les intérêts et « le prix a augmenté de 30 % » deviennent tous le même geste, exécuté avec un costume légèrement différent. Cet article est l'image de ce qu'est réellement un pourcentage, de la raison pour laquelle chaque astuce fonctionne, et de la manière d'en faire l'essentiel dans sa tête.
L'idée unique : pourcentage signifie « sur 100 »
Le mot « pourcentage » vient du latin « per centum », c'est-à-dire « pour cent ». Voilà toute la définition. Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur vaut toujours 100, ce 100 restant sous-entendu et remplacé par le signe %.
Ainsi, 40 % n'est rien d'autre que 40/100. C'est la même quantité que 0,40, et la même quantité que deux cinquièmes. Trois costumes différents, un seul nombre. Comme nous l'avons vu dans l'article sur les fractions, une fraction est une division qui n'attend qu'à être faite, et un pourcentage est simplement une fraction qui s'est déjà mise d'accord sur son dénominateur. On n'introduit rien de nouveau. Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est déjà rempli.
Voilà pourquoi « combien fait 40 % de quelque chose » et « combien font 40 centièmes de quelque chose » sont exactement la même question. Le pourcentage n'est pas une opération nouvelle. C'est une unité, au même titre que la « douzaine » est une unité. Dès que vous lisez le signe % comme « divisé par 100 », le mystère se dissipe pour l'essentiel.
« De » signifie multiplier
La deuxième idée tient au mot « de ». Dans les problèmes de pourcentage, « de » signifie presque toujours multiplier.
« 40 % de 250 » se traduit directement par 0,40 × 250. Lisez la phrase de gauche à droite et notez ce que signifie chaque morceau : 40 % devient 0,40, « de » devient ×, 250 reste 250. La phrase en français et la ligne de calcul sont le même énoncé dans deux langues. Il n'y a aucune formule à mémoriser, parce que la phrase est la formule.
Cette seule traduction couvre les pourboires, la TVA, les remises, les commissions et la plupart des pourcentages que l'on croise dans une semaine ordinaire. « 20 % de 60 » vaut 0,20 × 60 = 12. « 7 % de 40 » vaut 0,07 × 40 = 2,80. La difficulté n'a jamais été l'arithmétique. C'était de croire qu'on pouvait faire confiance à la phrase pour vouloir dire exactement ce qu'elle dit.
Le pourcentage est réversible (et c'est là le vrai tour mental)
Voici un fait qui transforme un réflexe de calculatrice en réflexe mental : x % de y est toujours égal à y % de x.
18 % de 50, c'est la même chose que 50 % de 18. La seconde version est triviale : la moitié de 18 fait 9. Le pourboire est donc de 9, sans calculatrice. Cela fonctionne parce que les deux expressions sont la même multiplication, (x/100) × y, simplement lue dans l'autre sens. La multiplication se moque de l'ordre des facteurs.
Cette inversion est l'astuce de pourcentage la plus utile au quotidien, et presque personne ne l'apprend. 4 % de 75 a l'air pénible ; 75 % de 4, c'est trois quarts de 4, soit 3. Même réponse, une seconde de réflexion. Comme nous l'avons vu dans l'article sur le calcul mental, le but de ces gestes est de transformer un problème intimidant en un problème ennuyeux que vous pouvez résoudre avant même d'avoir déverrouillé votre téléphone.
Construire les gros pourcentages à partir de 10 % et 1 %
La plupart des pourcentages du quotidien peuvent s'assembler à partir de deux briques bon marché.
Dix pour cent, c'est simplement le nombre avec la virgule décalée d'un rang vers la gauche. 10 % de 240 font 24. Un pour cent décale la virgule de deux rangs : 1 % de 240 font 2,40. Tous les autres pourcentages sont ces deux morceaux additionnés ou mis à l'échelle.
Vous voulez 30 % ? Ce sont trois fois 10 % : 24 + 24 + 24 = 72. Vous voulez 15 % ? C'est 10 % plus la moitié de 10 % : 24 + 12 = 36, soit exactement le geste du pourboire au restaurant que les gens cafouillent. Vous voulez 7 % ? Ce sont sept fois 1 %, ou bien 5 % (la moitié de 10 %) plus deux fois 1 %. Vous ne calculez jamais un pourcentage à partir de zéro. Vous empilez des briques de 10 % et de 1 % jusqu'à obtenir celui que vous voulez.
La variation en pourcentage est une autre question
C'est ici que niche la véritable confusion, et cela vaut la peine de ralentir. « Combien fait 40 % de 250 » et « le prix a augmenté de 40 % » ne sont pas la même question, et les traiter de la même façon est l'erreur de pourcentage la plus courante chez les adultes.
La variation en pourcentage compare toujours le changement à votre point de départ. La structure est la suivante : prenez la différence, divisez-la par la valeur initiale, puis lisez cette fraction comme un pourcentage. Un prix qui passe de 200 à 250 a varié de 50, et 50 sur les 200 de départ font 25/100, donc il a augmenté de 25 %. Le point de référence n'est pas la valeur d'arrivée. C'est la valeur de départ.
Ce qui déroute les gens, c'est que la même variation en euros correspond à un pourcentage différent selon le point de départ. Passer de 100 à 150 est une augmentation de 50 %. Passer de 100 à 150 puis redescendre à 100 n'est pas une baisse de 50 % : c'est une baisse de 33 %, parce que la seconde fois vous partiez de 150, et non de 100. Le pourcentage répond toujours à la question « par rapport à quoi », et ce « quoi » est ce que vous aviez avant le changement.
Pourquoi une baisse de 20 % suivie d'une hausse de 20 % ne vous ramène pas au départ
Un salaire est réduit de 20 %, puis rétabli par une augmentation de 20 %. La plupart des gens s'attendent à retrouver leur point de départ. Ce n'est pas le cas, et comprendre pourquoi verrouille tout ce qui précède.
La baisse de 20 % est prélevée sur la valeur initiale. La hausse de 20 % est calculée sur le nombre déjà réduit, qui est une base plus petite, et elle rajoute donc moins que ce qui avait été retiré. Partez de 100. Retirez 20 % : il vous reste 80. Ajoutez 20 % de 80, soit 16 : vous atteignez 96, et non 100. Les pourcentages avaient l'air symétriques, mais ils étaient mesurés par rapport à des points de départ différents, donc ils ne se compensent pas.
C'est la même idée de « par rapport à quoi » que dans la section précédente, et c'est la racine de presque toutes les statistiques trompeuses de la publicité et de l'actualité. Une remise de 50 % suivie de 20 % supplémentaires ne fait pas 70 % de remise. Les 20 % sont prélevés sur le prix déjà réduit de moitié, donc la vraie remise est de 60 %. Les pourcentages ne s'additionnent pas lorsqu'ils portent sur des bases différentes. Ils se multiplient, et comme nous l'avons vu dans l'article sur les exposants, des changements multiplicatifs répétés sont exactement ce dont sont faits la croissance composée et les intérêts composés.
Pourcentages inverses : retrouver le prix initial
Une veste affiche 64 euros sur l'étiquette après une remise de 20 %. Quel était le prix initial ? Le réflexe est de rajouter 20 % de 64. C'est faux, et c'est faux pour la raison que les deux sections précédentes ont posée : les 20 % ont été retirés du prix initial, pas de 64.
Raisonnez en termes de ce qui a survécu. Après une remise de 20 %, ce que vous payez réellement correspond à 80 % du prix initial. Donc 64 représente 80 % du prix initial, ce qui signifie que 64 = 0,80 × prix initial. Annulez la multiplication en divisant : prix initial = 64 / 0,80 = 80. La veste coûtait 80 euros. Le geste est le même raisonnement « défaire ce qui a été fait » que dans l'article sur l'algèbre : un pourcentage a été appliqué par une multiplication, donc on l'inverse en divisant, et non en appliquant le pourcentage une seconde fois.
Pourcentage, probabilité, et pourquoi « 100 % sûr » est un signal d'alerte
Les pourcentages et les probabilités sont la même notation pointée vers des choses différentes. Une probabilité de pluie de 30 % est la fraction 30/100 de vraisemblance, exactement comme 30 % de remise est 30/100 du prix. Voilà pourquoi les compétences de pourcentage vues ici se transfèrent directement au raisonnement sur le risque, et comme nous l'avons vu dans l'article sur les probabilités, là où les gens se trompent, c'est rarement dans l'arithmétique. C'est en oubliant le « par rapport à quoi ». Un test « fiable à 95 % » n'est pas la même chose qu'« une probabilité de 95 % d'avoir la maladie », pour la même raison de taux de base qui fait qu'une hausse de 20 % n'annule pas une baisse de 20 %. Le nombre n'a aucun sens tant que vous ne savez pas de quoi il est un pourcentage.
Pourquoi les pourcentages sont souvent mal enseignés
Si les pourcentages sont aussi simples, pourquoi tant d'adultes compétents continuent-ils d'attraper leur téléphone ? Quelques raisons honnêtes.
D'abord, on les enseigne comme trois formules distinctes, une pour le « pourcentage de », une pour la « variation en pourcentage », une pour le « pourcentage inverse », sans le moindre indice que toutes trois sont la même idée de « fraction sur 100 » lue dans des directions différentes. Trois formules mémorisées sont fragiles ; une seule idée comprise ne l'est pas.
Ensuite, la traduction « de signifie multiplier » est rarement rendue explicite, si bien que les problèmes en mots ressemblent à une matière à part, plus difficile, au lieu d'une phrase que l'on peut transcrire.
Enfin, la variation en pourcentage est introduite dans la même foulée que le « pourcentage de », sans prévenir que le point de référence vient de passer du total à la valeur initiale. Ce seul changement non signalé est responsable de la majeure partie de l'angoisse adulte face aux pourcentages, et c'est une correction d'une phrase dès que quelqu'un le nomme.
La bonne nouvelle, c'est que combler ces lacunes à l'âge adulte est rapide, parce qu'il n'y a jamais eu beaucoup d'idées au départ.
S'entraîner jusqu'à l'automatisme
Lire ceci une fois vous donne l'image. Rendre les pourcentages automatiques est une autre tâche, et elle récompense des répétitions courtes et fréquentes plutôt qu'une longue session unique.
Entraînez les briques de 10 % et de 1 %. Prenez n'importe quel nombre que vous voyez, un total de ticket de caisse, une limitation de vitesse, un nombre de pas, et dites son 10 % et son 1 % à voix haute. Le décalage de la virgule doit devenir réflexe, comme finissent par l'être les tables de multiplication à un chiffre.
Utilisez l'inversion à chaque fois. Dès qu'un pourcentage a l'air vilain, échangez les deux nombres avant d'attraper quoi que ce soit. 8 % de 25, c'est 25 % de 8, soit 2. Construire ce réflexe supprime la plupart des recours à la calculatrice dans une journée ordinaire.
Demandez toujours « par rapport à quoi ». Pour chaque énoncé de variation en pourcentage que vous lisez dans l'actualité ou sur une étiquette de prix, nommez la base à voix haute avant de faire confiance au nombre. Cette seule habitude démasque presque toutes les statistiques trompeuses que l'on vous montrera un jour.
Mélangez les trois types de questions. Entraînez-vous au « pourcentage de », à la « variation en pourcentage » et au « pourcentage inverse » dans la même session, plutôt qu'en blocs séparés. Comme nous l'avons vu dans l'article sur la répétition espacée, c'est la pratique mélangée qui construit une mémoire capable de survivre hors de la fiche d'exercices, là où le problème ne vous dit jamais de quel type il est.
La place de Math Zen
La progression par paliers de Math Zen épouse parfaitement la façon dont les pourcentages veulent réellement être appris. Les premiers paliers entraînent la traduction « pourcentage signifie sur 100 » ainsi que les briques de 10 % et de 1 % jusqu'à l'automatisme. Les paliers intermédiaires introduisent l'inversion réversible et le « de signifie multiplier » sur des nombres quelconques, pour que les gestes cessent de dépendre d'un exemple bien propre. Les derniers paliers se concentrent sur la variation en pourcentage, les pourcentages inverses et le piège du « par rapport à quoi », avec une pratique mélangée pour que votre cerveau apprenne à identifier quelle question est posée, au lieu d'appliquer aveuglément une formule.
Parce que la pratique est courte et espacée, vous construisez la reconnaissance de schémas qui transforme les pourcentages d'un réflexe de téléphone en un réflexe mental. La plupart des apprenants n'ont pas besoin d'un manuel plus épais. Ils ont besoin de dix minutes par jour, quelques fois par semaine, sur le bon type de problème.
L'essentiel
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur vaut toujours 100. « De » signifie multiplier, donc « 40 % de 250 » est littéralement 0,40 × 250. L'inversion, x % de y égale y % de x, transforme la plupart des pourcentages vilains en pourcentages faciles, de tête. La variation en pourcentage est une autre question : elle compare toujours le changement à votre point de départ, ce qui explique pourquoi une baisse de 20 % et une hausse de 20 % ne s'annulent pas, et pourquoi un prix remisé se retrouve en divisant, et non en rajoutant le pourcentage.
Voilà toute la fondation. Les formules du manuel ne sont pas des faits séparés ; elles sont cette unique idée lue dans des directions différentes. Si un pourcentage vous bloque un jour, ne cherchez pas la règle en premier. Dites de quoi il est un pourcentage, remplacez « de » par multiplier, et demandez « par rapport à quoi ». La réponse arrive presque toujours avant la calculatrice.
