Qu'est-ce qu'une fonction, en termes simples ?

Une fonction est une règle qui prend une entrée et produit exactement une sortie. Donnez-lui la même entrée et vous obtenez toujours la même sortie en retour. Un distributeur automatique est une fonction : appuyez sur B4 et vous obtenez toujours la même friandise. Le mot "fonction" ne fait que nommer cette relation fiable entre entrée et sortie.

Quelle est la différence entre l'ensemble de définition et l'image ?

L'ensemble de définition (ou domaine) est l'ensemble de toutes les entrées que la fonction est autorisée à accepter, et l'image (ou ensemble des valeurs) est l'ensemble de toutes les sorties qu'elle peut réellement produire. Pour f(x) = la racine carrée de x, l'ensemble de définition est l'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à zéro, car on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif, et l'image est également l'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à zéro.

Que signifie réellement f(x) ?

Cela signifie "la sortie de la fonction f lorsque l'entrée est x". Le f est le nom de la règle, et tout ce qui se trouve entre les parenthèses est l'entrée. f(2) signifie appliquer la règle à l'entrée 2. Cette notation n'est pas une multiplication : f(x) ne veut pas dire f fois x.

Comment savoir si un graphe représente une fonction ?

Utilisez le test de la droite verticale. Si une droite verticale quelconque coupe le graphe plus d'une fois, le graphe ne représente pas une fonction, car cette unique entrée aurait deux sorties différentes. Un cercle échoue au test, une droite le réussit.

Quelle est la différence entre une fonction et une équation ?

Une équation affirme que deux choses sont égales et peut n'être vraie que pour certaines valeurs précises. Une fonction est une règle qui associe une seule sortie à chaque entrée de son ensemble de définition. On peut écrire une fonction à l'aide d'une équation, comme y = 2x + 1, mais la fonction est la machine qui transforme chaque x en son y, et non l'affirmation d'égalité elle-même.

Comprendre les fonctions de façon intuitive

Une fonction est une règle qui prend une entrée et renvoie exactement une sortie. Un distributeur automatique est une fonction : vous appuyez sur B4, et vous obtenez la même friandise à chaque fois. Appuyez de nouveau sur B4 demain, même friandise. Cette prévisibilité, une entrée qui correspond à une sortie, c'est toute l'idée. Cet article construit l'image de fond en comble, puis montre pourquoi les fonctions se nichent discrètement sous presque tout le reste des mathématiques.

Les fonctions sont partout en mathématiques, mais on les introduit souvent par une notation abstraite (f(x), ensemble de définition, ensemble d'arrivée) avant même que les étudiants aient une intuition de ce qu'elles sont. Le résultat : beaucoup de gens savent calculer f(3) sans jamais s'être représenté ce qu'une fonction fait réellement.

Réparons cela.

Une fonction est une machine

La façon la plus nette de se représenter une fonction est de l'imaginer comme une machine dotée d'une fente d'entrée et d'une fente de sortie. Vous y déposez quelque chose, la machine le traite selon une règle fixe, et un seul résultat en ressort.

Considérons la règle « doubler ». Mettez 3, obtenez 6. Mettez 10, obtenez 20. Mettez -2, obtenez -4. La machine se moque de votre humeur ou de l'heure qu'il est. Même entrée, même sortie, à chaque fois.

Cette fiabilité est la propriété qui définit tout. La règle « donne-moi un nombre entre 1 et 10 » n'est pas une fonction, car la même entrée pourrait produire des sorties différentes. Mais « doubler » se comporte toujours de la même manière. Une entrée, une sortie.

On écrit cette machine f(x) = 2x. Le f est le nom de la machine. Le x est ce que vous lui donnez. Le 2x est la règle qu'elle applique. Ainsi f(3) = 6 n'est qu'une abréviation pour « appliquer la machine à doubler à l'entrée 3 ».

Lire la notation sans crainte

La notation f(x) déroute plus d'étudiants que le concept lui-même, surtout parce qu'elle ressemble à une multiplication. Elle n'en est pas une. f(x) ne veut pas dire f fois x. Cela signifie « la sortie de f lorsque l'entrée est x ».

Voyez les parenthèses comme la fente d'entrée de la machine :

f(2) signifie appliquer la règle à 2.
f(a + 1) signifie appliquer la règle à la quantité a + 1.
f(n'importe quoi) signifie appliquer la règle à ce qui se trouve à l'intérieur.

Si f(x) = x² + 1, alors f(4) = 4² + 1 = 17. Vous déposez simplement 4 à chaque endroit où apparaît x. C'est toute la compétence requise. Une fois que la notation cesse de ressembler à une multiplication et commence à ressembler à une fente d'entrée étiquetée, l'essentiel de la confusion disparaît.

Ensemble de définition et image : ce qui entre, ce qui sort

Toute machine a des limites quant à ce qu'elle peut accepter. Un distributeur automatique prend des pièces, pas des coquillages. Les fonctions, c'est pareil.

L'ensemble de définition (ou domaine) est l'ensemble de toutes les entrées que la fonction est autorisée à prendre. L'image (ou ensemble des valeurs) est l'ensemble de toutes les sorties qu'elle peut réellement produire.

Pour f(x) = 2x, vous pouvez doubler n'importe quel nombre réel, donc l'ensemble de définition est l'ensemble des nombres réels, et vous pouvez atteindre n'importe quel nombre réel en sortie, donc l'image est également l'ensemble des nombres réels.

Mais beaucoup de fonctions ont des restrictions, et ces restrictions ne sont jamais arbitraires. Elles viennent d'opérations qui se brisent :

f(x) = 1/x ne peut pas accepter 0, car la division par zéro n'est pas définie. Son ensemble de définition est l'ensemble des nombres réels sauf 0.
f(x) = la racine carrée de x ne peut pas accepter de nombres négatifs (dans les réels), donc son ensemble de définition est x ≥ 0.

Trouver un ensemble de définition revient simplement à se demander : quelles entrées feraient se gripper cette machine ? Excluez-les, et vous avez votre réponse.

Le graphe est une image de la machine

Un graphe n'est qu'un relevé visuel de chaque couple entrée-sortie que produit la machine. L'axe horizontal porte les entrées, l'axe vertical porte les sorties, et chaque point (x, y) dit « quand vous donnez x, vous obtenez y ».

Cela nous offre un test visuel rapide pour savoir si quelque chose est même une fonction. Puisque chaque entrée doit produire exactement une sortie, aucune entrée ne peut se trouver au-dessus de deux valeurs de sortie différentes. Donc :

Le test de la droite verticale : si une droite verticale quelconque coupe le graphe plus d'une fois, ce n'est pas une fonction.

Une droite réussit. Une parabole réussit. Un cercle échoue, car la plupart des droites verticales le coupent deux fois, ce qui voudrait dire qu'une même valeur de x correspondrait à deux valeurs de y. La machine ne saurait pas quelle sortie donner, donc un cercle n'est pas une fonction.

Un petit bestiaire de fonctions usuelles

Une fois que vous voyez les fonctions comme des machines, les familles nommées cessent d'être une liste à mémoriser et deviennent des personnages dotés d'une personnalité :

Linéaire (f(x) = mx + b) : varie à un taux constant. Son graphe est une droite. C'est la fonction qui se cache derrière tout ce qui croît régulièrement, comme la distance à vitesse constante.
Quadratique (f(x) = ax² + bx + c) : monte, tourne, puis descend (ou l'inverse). Son graphe est une parabole, la forme de la trajectoire d'une balle lancée.
Exponentielle (f(x) = aˣ) : multiplie par le même facteur à chaque étape, donc elle croît à une vitesse stupéfiante. C'est le moteur derrière les intérêts composés et la croissance d'une population. (Voir comprendre les exposants.)
Logarithmique : l'inverse de l'exponentielle, qui croît vite au début puis avance au ralenti. (Voir comprendre les logarithmes.)

Vous n'avez pas besoin de mémoriser leurs formules pour les reconnaître. Vous devez connaître la forme que chacune dessine et le type de variation qu'elle décrit.

Combiner et inverser les machines

Deux idées transforment les fonctions, de règles isolées en une véritable boîte à outils.

La composition consiste à injecter la sortie d'une machine dans une autre. Si g double un nombre et f ajoute 1, alors f(g(3)) signifie doubler 3 pour obtenir 6, puis ajouter 1 pour obtenir 7. Vous enchaînez les machines. Cela revient sans cesse en analyse : la règle de dérivation des fonctions composées est précisément la règle pour dériver des fonctions composées.

Les fonctions réciproques font tourner la machine à l'envers. Si f double, sa réciproque divise par deux. Si f ajoute 10, sa réciproque soustrait 10. Une réciproque défait ce que l'original a fait, ramenant les sorties vers les entrées qui les ont produites. Toutes les fonctions n'ont pas de réciproque, cependant : seules celles où chaque sortie provient d'une unique entrée (sinon, faire tourner la machine à l'envers serait ambigu).

Pourquoi les fonctions sont à la base de tout

Voici la récompense. Presque tous les sujets avancés en mathématiques sont en réalité une question portant sur les fonctions :

Une limite demande vers quelle sortie une fonction tend lorsque l'entrée s'approche d'une certaine valeur.
Une dérivée mesure à quelle vitesse la sortie d'une fonction varie lorsque son entrée varie.
Une intégrale additionne la sortie d'une fonction sur une plage d'entrées.

Si les fonctions sont fragiles, toute l'analyse ressemble à du brouillard. Si les fonctions sont solides, l'analyse devient un ensemble de questions naturelles que l'on peut poser à propos d'une machine : vers quoi se dirige-t-elle, à quelle vitesse varie-t-elle, quelle quantité accumule-t-elle.

Pourquoi cela compte pour l'apprentissage

Quand vous vous entraînez aux fonctions dans Math Zen, vous travaillez des problèmes qui progressent depuis l'évaluation de f(x) et la lecture de graphes jusqu'à l'ensemble de définition et l'image, la composition et les réciproques, avec une difficulté qui s'adapte à votre niveau réel.

Comprendre l'image de la machine aide, parce que :

Évaluer f(a + 1) cesse d'être effrayant dès que vous voyez les parenthèses comme une fente d'entrée.
Les questions d'ensemble de définition deviennent « qu'est-ce qui gripperait cette machine ? » au lieu d'une règle à mémoriser.
La même intuition se transpose directement dans la répétition espacée que vous utiliserez pour garder ces idées fraîches, et dans chaque sujet d'analyse qui suit.

En résumé

Une fonction est une machine fiable : une entrée, une sortie, à chaque fois. La notation f(x) n'est qu'une fente d'entrée étiquetée, l'ensemble de définition est ce que la machine accepte, l'image est ce qu'elle produit, et le graphe est une image de tous ses couples entrée-sortie.

La prochaine fois que vous verrez f(x), ne pensez pas « algèbre effrayante ». Pensez : « que fait cette machine à ce que je lui donne ? » Ce seul changement de regard rend les fonctions, et tout ce qui se construit par-dessus, bien plus intuitives.