偏导数练习题：五道例题的完整解法与检验

求 $f(x,y)=x^2y+3y^2$ 的两个偏导数。如果答案是 $2x$ 和 $6y$，就漏掉了一个系数和整个一项。固定一个自变量，是把它当作常数，而不是删去所有含它的项。正确答案是 $f_x=2xy$ 和 $f_y=x^2+6y$。

这组练习从这个错误出发，逐步处理乘积、嵌套函数、混合偏导和数值检验。先自己解题，再看解法。在第一行旁写明固定的是哪个自变量；这条小注记能让很多错误更容易被发现。

若想先理解计算背后的图像，可读偏导数的直观讲解。这里重点是完成代数计算并检验结果，不再重复介绍曲面和梯度。

写在计算上方的规则

求 $f_x$ 时对 $x$ 求导，把 $y$ 视为常数。求 $f_y$ 时交换两者的角色。OpenStax 对偏导数的定义在差商中明确指出了固定的输入。对发生变化的自变量，再应用普通的求导法则。

例如，固定 $y$ 时，$y^2$ 是常数，而 $xy^2$ 是常数乘以 $x$。所以它们对 $x$ 的导数不同：

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

不要在求导前把两个坐标都代进去。代入整个点会把表达式变成一个数，抹掉求导所需的邻近变化。先求导，再代入求值。只代入被固定的坐标则可以，而且能提供独立的检验。

问题 1：有两个独立输入的多项式

求下式的 $f_x$ 和 $f_y$，

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

再计算它们在 $(1,2)$ 的值。

对 x 求导： 固定 $y$。$x^3$ 和 $x$ 的系数分别是 $2y$ 与 $-5y^2$。最后一项不随 x 变化：

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

对 y 求导： 固定 $x$。第一项对 $y$ 是一次项，第二项是二次项，第三项又是一次项：

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

在指定点，

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

两个导数在这里都为负，但仅凭导数的符号无法确定函数值：高度和斜率是不同的量。要独立检验第一个答案，把 $y=2$ 代回原函数，得到 $4x^3-20x+14$。它的普通导数是 $12x^2-20$，在 $x=1$ 时仍为 $-8$。

问题 2：乘积与指数函数

求下面函数的两个偏导数：

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

求 $g_x$ 时，两个因子都依赖 $x$，因此要用乘积法则。指数函数还需要链式法则：固定 $y$ 时，$xy$ 的导数是 $y$。

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

求 $g_y$ 时，因子 $x^2$ 是常数。只有指数函数改变，其指数对 $y$ 的导数为 $x$：

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

在 $(1,0)$，结果为 $g_x=2$ 和 $g_y=1$。常见错答 $g_x=2xe^{xy}$ 只对第一个因子求导，忘了第二个因子也依赖 $x$。另一种错答把两个计算中的内层导数都当作 1，抹掉了 $x$ 与 $y$ 的区别。

如果还需要练习辨认内层函数，链式法则例题会先拆开各层，再把因子组合起来。

问题 3：对数、分式和定义域

设

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

对数要求 $x^2+2y^2>0$，因此原点不在定义域内。在其他位置，先对内部求导，再除以内部表达式：

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

在 $(2,1)$，分母为 6，两个导数都等于 $2/3$。这种相等只发生在这个点，不能据此说两个导函数完全相同。

分母也给出一条重要警示：原函数和这些公式在 $(0,0)$ 都没有值。如果计算在那里得到零，就是把点代入了未定义的分式。求某点的值之前先检查定义域，尤其要注意根式、对数和商同时出现的题目。

问题 4：按两种顺序求混合偏导

考虑

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

在本文中，$p_{xy}$ 表示先对 $x$ 求导，再对 $y$ 求导。写出中间结果，避免顺序含糊：

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

现在对这个式子求 $y$ 的导数。第二项需要乘积法则：

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

把顺序反过来：

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

两个答案相同。这里相关的导数都连续，因此 OpenStax介绍的混合偏导定理也预示这一结果。但不要把相等当成对所有函数无条件成立的规则。在常见的光滑函数题中，这是很好的检验；若某点缺少所需的正则性，定理的前提就很重要。

问题 5：第三个变量也是固定的输入

对

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

求三个一阶偏导数。每次固定另外两个输入，可得

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

在 $(0,2,3)$，它们的值依次为 4、0、1。中间的零不表示函数从不依赖 $y$，只表示在该点沿这一方向的一阶变化率为零。把 $x=0$ 代回原式，可以确认截面就是 $q=3$，此时 $z=3$。

用数值检验找出遗漏的因子

回到问题 1 的 $(1,2)$。固定 $y=2$，选一个较小的正数 $s$，计算中心差分

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

对这个多项式展开分子，精确得到 $-8+4s^2$。检验结果如下：

这是对符号计算结果的检验，而不是导数公式的证明，也只能检验选定的点。如果不小心在分子里同时改变两个坐标，测到的就是另一条路径上的变化。浮点运算中步长过小会造成相近数相减时的消去误差，零越多不一定越准确。

重做前先诊断错答

用表格找到出错的具体步骤，不必把整套代数计算从头写一遍。如果普通求导法则也常出错，请先复习导数入门。

再试两题，然后对照解法

练习 A。 求 $r_x$ 和 $r_y$，其中 $r(x,y)=3x^2y+y^4$，再在 $(2,-1)$ 求值。

导数为 $r_x=6xy$ 与 $r_y=3x^2+4y^3$。在该点分别是 $-12$ 和 $8$。$y^4$ 只在对 x 求导时消失；对 y 求导时，它贡献 $4y^3=-4$。

练习 B。 求 $s(x,y)=\cos(2x-y)$ 的两个一阶偏导数，并在 $(0,0)$ 求值。

链式法则给出 $s_x=-2\sin(2x-y)$ 和 $s_y=\sin(2x-y)$。第二个答案的正号来自两个负号：对余弦求导产生一个，对 $2x-y$ 关于 $y$ 求导又产生一个。两条公式不同，但在原点的值都为零。

熟悉这些计算后，可以继续做偏导数练习。简要记下你修正了哪类错误：固定输入、乘积法则、内层导数，或过早代入。这样就知道下一步该重复哪类题目。