直观理解偏导数（沿一个方向的斜率）

普通导数是曲线的斜率。一个输入、一个输出，每一点上一个数字，告诉你输出变得多快。函数一旦有两个输入，这幅画面就垮了。三维图像是曲面，不是曲线，曲面没有单一斜率。从同一点向东走，可能是缓坡；向北走，可能是下坡。

偏导数是诚实的替代。它回答更窄的问题：如果其余输入都按住不动，只沿这个方向走，斜率是多少？本章其余部分，混合偏导、梯度、多元链式法则，都是同一个问题沿着不止一条路去问。

曲面没有单一斜率

一个自变量的函数在平面上画出曲线。两个自变量的函数 f(x, y) 在空间里画出曲面。每一对 (x, y) 是地板上的一点，f(x, y) 是那一点上方屋顶的高度。

看这只碗

$$f(x, y) = x^{2} + y^{2}$$

原点高度是 0。(1, 0) 是 1。(0, 2) 是 4。(1, 2) 是 5。站在 (1, 2)，没有任何一个数字配得上「斜率」这个名字。沿 x 走，屋顶继续升高。沿 y 走，升得更快。沿对角线走，得到两者的混合。

这就是已经掌握一元微积分的人会觉得地面在动的原因。他们信赖的导数曾是局部变化的完整描述。在曲面上，它只描述一次选定的行走。

天气图和等高线图早就用这个想法。等高线是同一高度的点的集合。线挤在一起，曲面陡。线散开，曲面缓。偏导数就是：你沿着图上的一条格线走、不理另一条时，测到的斜率。

按住一个输入

让曲面可读的动作是切片。

把 y 固定成常数，比如 y = 2，只看高度怎样随 x 变。函数塌成

$$g(x) = f(x, 2) = x^{2} + 4$$

一条普通抛物线，坐在 x 轴上方四个单位。它的导数是 2x。这个数就是 f 对 x 的偏导数，沿直线 y = 2 取值。在 x = 1 处等于 2：你站在 (1, 2)，沿 x 走一小步，屋顶大约每单位步长升高 2 个高度单位。

改为固定 x，比如 x = 1，切片是

$$h(y) = 1 + y^{2}$$

导数是 2y。在 y = 2 这个斜率是 4。同一点，不同走法，不同斜率。没有矛盾。你问了两个不同的问题。

计算规则就是一元微积分里的那条。求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，把 y 当成常数，对 x 求导。求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时，把 x 当成常数，对 y 求导。对这只碗，$\frac{\partial f}{\partial x}$ = 2x，$\frac{\partial f}{\partial y}$ = 2y。另一个变量甚至不出现，因为 $x^{2} + y^{2}$ 里每一项只依赖一个输入。乘积如 $3x^{2}$y 里两个输入都在：$\frac{\partial}{\partial x}$ 给出 6xy，因为 3y 是 $x^{2}$ 的固定系数；$\frac{\partial}{\partial y}$ 给出 $3x^{2}$，因为 $3x^{2}$ 是 y 的固定系数。

「把另一个变量当成常数」不是应试口诀。它就是切片。你站在一条格线上，问屋顶沿这条线的斜率。

曲 d 是警告标签

符号 ∂，弯曲的 d，存在是为了让这条切片不要和另外两种导数搞混。

$\frac{df}{dx}$ 里的普通 d 属于一个自变量的函数。如果有人对 f(x, y) 写 $\frac{df}{dx}$，就没有说明 y 在干什么。也许 y 独立且冻结，那就是偏导。也许 y 暗地里是 x 的函数，那么 x 可以同时通过两条通道改变输出，这时需要全导数。曲 d 宣布第一种读法：这个输入在动，其余不动。

记号随后分成两种习惯，意思相同：

• 莱布尼茨写法：$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$
• 下标写法：$f_x$ 和 $f_y$

两者都是一条切片的斜率。高阶偏导把下标或分母叠起来。$f_xx$ 是「沿 x 切片，再沿 x 切这个斜率」，也就是沿这条格线的普通二阶导数。$f_xy$ 是「沿 x 切片，再问这个 x 斜率在你沿 y 走时怎么变」。

曲 d 不是新算法。幂法则、乘法法则、链式法则仍然适用。新信息是哪些变量被冻结。忘掉这一点，就是把整个题目误读成新题目。

混合偏导测量扭转

有了 $f_x$，可以再求导。对 x 求导得到 $f_xx$，东西向切片的凹凸。对 y 求导得到混合偏导 $f_xy$：东西向斜率本身在你向北走时如何变化。

在碗 $x^{2} + y^{2}$ 上，$f_x$ = 2x，所以 $f_xy$ = 0。东西向斜率只依赖 x。向北走不改变它。曲面是圆碗，旋转对称，没有扭转。

在鞍面

$$f(x, y) = x^{2} - y^{2}$$

上一阶偏导是 $f_x$ = 2x 和 $f_y$ = -2y。混合偏导又都是零。有意思的混合例子是乘积

$$f(x, y) = x^{2} y$$

这里 $f_x$ = 2xy，然后 $f_xy$ = 2x。从另一边，$f_y$ = $x^{2}$，然后 $f_yx$ = 2x。两个混合偏导一致。

这种一致是常态，不是巧合。对多元微积分入门课里的光滑函数，混合偏导相等：先东后北感到的扭转，就是先北后东感到的扭转。定理有技术条件（混合偏导需要连续），画面没有。没有折痕的曲面上，两个小步的次序无关紧要。

课本让你「验证 $f_xy$ = $f_yx$」时，是让你检查曲面没有在一种次序里扭转、在另一种里没有。入门课里你会碰到的每个函数都过关，计算是切片规则的练习，不是新想法。

梯度收齐斜率

一点上的两个一阶偏导是两个数。写成一对，它们变成输入平面上的向量：

$$\nabla f = (f_x, f_y)$$

这个向量就是梯度。每个分量是一条切片的斜率，所以整个对象是一次旅行：「向东这么远，向北这么远」，用的是地板坐标，不是高度。这次旅行指向最陡的上坡。长度是这段上坡有多陡。相反的旅行 -$\nabla f$ 指向下坡，所以梯度下降沿梯度的反方向走。

在碗 $x^{2} + y^{2}$ 的 (1, 2) 处，梯度是 (2, 4)。从这一点的地板出发，上屋顶最快的路是向量 (2, 4) 的方向，也就是 (1, 2) 自身的方向。圆碗上最陡的路径向朝外，画面已经暗示，梯度加以确认。

两个偏导都为零的点是驻点。梯度这次旅行长度为0：一阶上，没有任何方向上坡或下坡。它可以是极小（碗底，在原点）、极大（山丘顶）或鞍点（山口：一条切片上是极小，另一条上是极大）。鞍面 $x^{2} - y^{2}$ 在原点有驻点。x 切片是谷，y 切片是脊，梯度为零，因为这两个一阶斜率抵成一个平坦瞬间，而不是平坦邻域。

多元优化就是这次搜寻。找到梯度为零旅行的地方，再读二阶偏导，或附近的切片，看你面前是碗、丘还是山口。二阶判别式 D = $f_xx$ $f_yy$ - ($f_xy$)² 是这种读法的打包版。D 本身不是想法。想法是两条切片以及它们之间的扭转给点分类。

多元链式法则是同一配对的运动版。若路径 (x(t), y(t)) 在地板上走，沿路径的高度变化率是

$$\frac{df}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$$

也就是梯度与路径速度的点积。曲面提供斜率的旅行。路径提供运动的旅行。它们的一致，就是真正在走的人高度变化的速率。路径与梯度平行时，高度变得尽可能快。路径与它垂直时，高度瞬时不变，这就是等高线的几何含义。

错误从哪来

偏导数的错误几乎全是没冻住该冻的变量。

第一：见到什么就对什么求导。问 $3x^{2}$y 的 $\frac{\partial}{\partial x}$，学生写成 6xy + $3x^{2}$，两个偏导的和，或写成 6x，把 y 当成 x。切片规则更严：这次求导里 y 是一个数。它只作为系数留在答案里。

第二：相信曲面有一个斜率。按高度上色的作图软件会藏住这一点，因为眼睛读到单一陡度。问一点的斜率，必须回答「朝哪个方向？」。偏导数是其中一个答案。梯度是沿坐标轴那些答案的集合。两者都不是屋顶的「那个」斜率。

第三：把 ∂ 和 d 混在一起。若 y 真的依赖 x，冻住 y 就是对局面的错误模型。相关变化率和某些微分方程需要全导数，让每条依赖通道都贡献。当其余输入真正独立，或你有意只研究一条通道时，偏导数才正确。

第四：把零梯度当成保证的极小。$x^{2} - y^{2}$ 的原点是驻点，既不是极小也不是极大。一阶平坦不是二阶平坦。仍然要看切片。

第五：把 $\nabla f$ 读成 f 的值。梯度不是高度。它是输入平面上由斜率建成的旅行。把两者搞混，就是向量那篇文章警告过的同一错误：把方向当成地点。

Math Zen 放在哪

偏导数叠在普通导数之上，就像矩阵叠在向量之上。若一元规则还停留在口头，每条切片都变成仪式。若已经熟练，偏导数只是多一个决定：哪个输入在动。

Math Zen 的偏导数练习按这个次序。早期篮子钻切片本身：给定 f(x, y)，把另一个变量当成常数，写出 $f_x$ 和 $f_y$。后面的篮子叠导数（$f_xx$、$f_xy$、$f_yx$），组装梯度，沿路径用链式法则，给驻点分类。这篇文章的画面正好是这份清单。

一个有用的循环：选一个二元函数，在一点画出两条切片，算出两个一阶偏导，组成梯度，大声说出哪边上坡。隔一段时间再回来，用和其余微积分序列相同的间隔重复。目标不是背「y 是常数」。目标是看见曲面，并知道自己在走哪一次。

收束

偏导数是曲面沿一个方向的斜率，其余输入按住不动。曲 d 标出这次冻结。混合偏导问一条切片的斜率在你沿另一轴走时如何变，光滑曲面上两种次序一致。梯度把一阶偏导收成指向上坡的旅行。驻点是这次旅行消失的地方，它们可以是碗、丘或鞍。

这样串起来，多元微分不是新的微积分。它是普通微积分，一次对准一条格线，再重新拼好。曲面有许多斜率。偏导数就是你终于说出自己指哪一条时，得到的东西。