二项分布例题：恰好、至少与至多的概率怎么算

假设抛一枚硬币五次，想得到恰好三次正面。计算某一种特定顺序，例如正正反正反，并不难。但这只是出现三次正面的多种顺序之一。二项分布的计算要完成两件事：求出某一种顺序的概率，并数清所有符合条件的顺序。

下面的二项分布例题分别求恰好某个次数、至少一次成功、至多两次成功的概率。套公式之前，先确认情境确实符合模型条件。如果想先熟悉概率的基本说法，可以阅读概率直观讲解。

先核对二项模型的四个条件

二项模型统计重复试验中的成功次数。OpenStax的二项分布章节所描述的模型，可以按四项核对：

1. 试验次数固定： 看到结果之前就确定$n$。
2. 每次只有两类结果： 根据当前问题，把结果标为成功或失败。
3. 各次试验独立： 知道一次的结果，不会改变另一次的成功概率。
4. 成功概率恒定： 每次试验都使用相同的$p$。

四项都成立时，令$X$表示成功次数，那么$X$可以取从零到$n$的任意整数。成功只是数学标签，不表示结果值得高兴。如果你数的是次品，那么次品就是你要统计的事件，因此可以把它标为成功。

考虑五道相互独立的题目，每题答对的概率为$p=0.4$。题目数固定为五，把答对标为成功，假设各题独立，并且每题答对概率都保持0.4。这就构成一个二项情境。

从单一顺序写出概率公式

要在$n$次试验中得到恰好$k$次成功，先看其中一种顺序。成功概率是$p$，失败概率是$1-p$。由于各次独立，含有$k$次成功和$n-k$次失败的某一种顺序，其概率为$p^k(1-p)^{n-k}$。

接着数这样的顺序有多少种。从$n$个试验位置中选出$k$个放成功，共有$\binom{n}{k}$种选法。每一种顺序概率相同，因此：

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

例如，五次试验中有三次成功，共有$\binom{5}{3}=10$种位置安排，无须逐个列出。如果组合数这一项还不熟悉，可以看排列与组合讲解：这里选的是位置组合，而不是给所选位置重新排序。

快速检查数量级时，也可以看这个模型的成功次数均值$np$和方差$np(1-p)$，OpenStax也给出了这两个量。它们概括整个分布，不能代替某个具体次数的概率。方差与标准差的区别见这篇说明。

例题一：恰好三次成功

回到那五道相互独立的题目，每题答对概率为$p=0.4$。求恰好答对三题的概率。试验次数是$n=5$，要求的成功次数是$k=3$。先代入，再使用计算器：

$$\begin{aligned} P(X=3)&=\binom{5}{3}(0.4)^3(0.6)^2\\ &=10(0.064)(0.36)\\ &=0.2304. \end{aligned}$$

所以概率为$23.04\%$。其中的$10$统计三个正确答案出现在哪些位置。如果省略它，$0.02304$只是一种特定顺序的概率，例如“对、对、错、对、错”。求恰好某个次数时，漏掉组合数是最常见的缺项。

指数也能帮你检查设定：三次成功加两次失败，正好是五次试验。如果两个指数之和不是$n$，先停下来核对。后续计算尽量保留$0.2304$这个准确小数，到写最终答案时再四舍五入。

例题二：至少一次成功

假设四次相互独立的尝试，每次成功的概率是$0.3$。求至少一次成功的概率。这包括成功一次、两次、三次和四次。可以把四项二项概率相加，但求补集更短：零次成功。

$$\begin{aligned} P(X\geq1)&=1-P(X=0)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.3)^0(0.7)^4\\ &=1-0.2401=0.7599. \end{aligned}$$

答案是$75.99\%$。选补集之前，用文字读一遍：“至少一次”不成立，只可能是一次都没有。而“至少两次”的补集包括零次和一次。如果在后一种问题中只减去$P(X=0)$，答案就错了。

注意$P(X=0)=(1-p)^n$。组合数在这里等于一，因为没有成功的顺序只有一种。这个简写成立，靠的是每次概率相同且试验独立。

例题三：至多两次成功

现在设想六次相互独立的试验，每次成功的概率为$p=0.25$。“至多两次”表示零次、一次或两次。恰好把这三个互不相容的情况相加：

$$\begin{aligned} P(X\leq2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=\binom{6}{0}(0.25)^0(0.75)^6 +\binom{6}{1}(0.25)^1(0.75)^5 +\binom{6}{2}(0.25)^2(0.75)^4\\ &=0.177978515625+0.35595703125+0.296630859375\\ &=0.83056640625\approx0.8306. \end{aligned}$$

约为$83.06\%$。直接相加只需要三项；补集$1-P(X\geq3)$需要四项，所以这里不太方便。遇到较大的阈值，可以比较两边各有多少项，选择较短的计算。计算器的二项累积概率功能也能帮忙，但不等号仍要设对：$P(X\leq2)$包含两次，$P(X<2)$则不包含。

如果中间小数过早四舍五入，最终和可能在末位发生几个单位的偏差。相加时保留完整精度，最后再按要求精度取近似值。所得概率应在零与一之间。

一个不适用二项分布的情境

从一副标准扑克牌中不放回地抽三张，统计抽到几张A。抽牌次数固定，每次也能标成“A”或“非A”。但抽出第一张后，牌堆已经改变。如果第一张是A，下一张抽到A的概率是$3/51$；如果第一张不是A，下一张的概率是$4/51$。成功概率不再恒定，各次抽取也不独立。因此，用$n=3$、$p=4/52$的二项公式并不是精确模型。

如果每次抽牌后都放回并重新洗牌，在这个简化例子中，成功概率恒定和独立性就会恢复。弄清这一点比死记公式更重要：先判断从什么集合抽取，以及一次试验是否改变下一次。

先做三道题，再核对解答

1. 恰好两次。 某游戏有五个相互独立的回合，每回合获胜概率为$0.2$。恰好赢两次的概率是多少？

解答： $n=5$、$k=2$、$p=0.2$。两次获胜的位置有$\binom{5}{2}=10$种安排。因此

$$P(X=2)=10(0.2)^2(0.8)^3=10(0.04)(0.512)=0.2048.$$

概率为$20.48\%$。若只算一种安排，会得到$0.02048$，只有正确答案的十分之一。

2. 至少两次。 四次相互独立的尝试中，每次成功的概率为$0.5$。至少成功两次的概率是多少？

解答： “至少两次”排除零次和一次。$p=0.5$时，求补集很方便：

$$\begin{aligned} P(X\geq2)&=1-P(X=0)-P(X=1)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.5)^4-\binom{4}{1}(0.5)^4\\ &=1-\frac{1}{16}-\frac{4}{16}=\frac{11}{16}=0.6875. \end{aligned}$$

答案为$68.75\%$。如果只减去零次成功，求出的其实是“至少一次”。

3. 至多一次。 三次相互独立的检查，每次得到阳性结果的概率为$0.1$。至多出现一次阳性结果的概率是多少？

解答： 包含零次和一次，再相加：

$$\begin{aligned} P(X\leq1)&=\binom{3}{0}(0.1)^0(0.9)^3 +\binom{3}{1}(0.1)^1(0.9)^2\\ &=0.729+0.243=0.972. \end{aligned}$$

答案是$97.2\%$。

想继续练习概率基础，可以进入Math Zen的概率练习。每一道题最有价值的第一步仍是核对那四个条件。