排列与组合：为什么顺序会改变数量

五个人报名参加项目。你需要一名队长和一名副队长。队长有五种选法，随后副队长有四种，共二十种分配。

现在只改一句：你需要一个没有不同角色的两人委员会。同样五人产生十个委员会。人没有变，变的是一个结果的定义。

排列与组合无需列出所有可能性就能计数。只要先决定结果保留什么信息，公式便有意义。本文先建立这个判断，再推出记号。

从位置开始，而不是从公式开始

想象两个标为队长和副队长的空格。第一个有五名候选人；填好后，第二个剩四人。每个首次选择都有四种后续：

$$5 \times 4 = 20$$

这就是乘法原理。若某阶段每个选项都有相同数量的后续，就把各阶段数量相乘。也可想成五条树枝，每条再分四条。

标签很重要。亚历克斯任队长、贝娅任副队长，不同于两人角色互换。同样的人占据不同位置，这是有序选择，即排列。

委员会没有带标签的位置。亚历克斯、贝娅与贝娅、亚历克斯是同一组。用二十种分配来数委员会会把每组算两遍。

交换测试判断顺序是否重要

问：交换两个已选元素，会得到不同结果吗？

比赛领奖台会。金牌和银牌是不同结果。披萨配料通常不会，蘑菇加橄榄与橄榄加蘑菇是同一选择。

问题取决于模型，而非名词。选三本书购买时忽略顺序；把三本书排上书架时记录顺序。“书”不能决定公式。

计算前写一个结果样例。“队长亚历克斯、副队长贝娅”包含角色；“包含亚历克斯和贝娅的小组”不包含。这个小步骤比背更长的公式表更能防错。

情境	结果记录什么	模型
颁发金银铜牌	每个名次的人	有序，不重复
选三名委员	只有成员身份	无序，不重复
制作四位代码	每个位置的数字	有序，可能允许重复
选择几球冰淇淋	各口味数量	无序，可能允许重复

最后两行还要询问是否允许重复，不能只看顺序。

阶乘计算完整排列

把四本不同的书排成一行。第一位四种，第二位三种，第三位两种，最后一位一种：

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

感叹号表示阶乘，是递减乘积的缩写。对非负整数$n$，阶乘计算全部$n$个不同元素的排列数。

为什么$0! = 1$？空排列恰有一个：什么也不做。这个值也使$1! = 1 \times 0!$保持一致。

阶乘不是重复加法或乘方。四的阶乘是二十四，四的四次方是二百五十六。阶乘因元素不能重用而逐步减少选择，乘方的选择数不变。

排列让乘积提前停止

七名赛跑者中只看前三名，且没有并列。第一名七种，第二名六种，第三名五种：

$$P(7,3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$$

其余四人的名次无关。一直乘到一是在回答另一问题。

对于$r$个有序位置，从$n$个不同元素中无重复地填入时：

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

分母约去阶乘中未用的尾部。跑者例中，七的阶乘除以四的阶乘，只剩七乘六乘五。

公式假设$0 \le r \le n$且元素各不相同。条件改变时应回到空格模型，不要强行套式。

组合去掉重复排列

从七人中选三人组成委员会。有序计数是210，却把同一三人组的不同顺序当成不同答案。

亚历克斯、贝娅和陈可列成六种顺序：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。因为$3! = 6$，每个三人组在有序计数中出现六次。

除以重复排列数：

$$\binom{7}{3} = \frac{210}{6} = 35$$

一般形式：

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

读作“n选r”。第一次除法去掉未用元素，第二次去掉不再区分的顺序。

还有对称性：$\binom{7}{3} = \binom{7}{4}$。选出加入的三人也确定了不加入的四人，两种描述对应同一组决定。

重复会再次改变问题

四位代码每个位置都可用0到9，包括开头，并允许数字重复。每格十种选择：

$$10^4 = 10000$$

若数字不可重复：

$$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$

若题目说“四位数”而非“代码”，通常排除开头的零。允许重复时：

$$9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$$

三个相似句子有三个数量。不是公式不可靠，而是限制变了。

允许重复的无序选择，如可重复口味的冰淇淋球，需要另一种方法。普通组合假设每个元素最多选一次。认出熟悉公式不适用，本身就是正确的第一步。

按这个顺序完成判断

计算前写出一个完整结果，再问顺序或角色是否区分结果、元素能否重复，以及某个位置是否有特殊限制。

先别看答案，试做三题：

1. 从六人中选主席和秘书，不能一人兼任。
2. 从同样六人中选两名地位相同的代表。
3. 用四种符号制作三字符代码，允许重复。

第一题有$6 \times 5 = 30$种分配。第二题除以$2!$，得十五对。第三题有$4^3 = 64$个代码，因为每个位置始终有四种符号。

解释比数字重要。若能说明为何一个答案除以二而另一个不除，你就理解了区别。

计数是概率的基础

正确计算等可能结果后，可用有利结果与全部结果之比求概率。我们的概率直觉指南继续这一步。生日悖论展示了恰当计数如何化解惊人结果。

目前只需掌握小技能：定义结果，有位置就画出来，并解释每个因子。用Math Zen概率练习继续应用；若记号开始掩盖推理，就回到小例子。

排列保留次序，组合保留成员。除以阶乘，就是在不重复计算同一组的前提下忘掉次序。