方差与标准差有什么区别？用完整算例一步步讲清

两组人拼拼图的平均时间都是4分钟。第一组每个人都用4分钟，第二组一半用2分钟，另一半用6分钟。平均数相同，第二组的完成时间却更分散。方差和标准差可以把这种差别量化。

它们测量的是同一件事：数据围绕均值的离散程度，但表示的尺度不同。方差使用原单位的平方，标准差再取平方根，回到原单位。如果数据单位是分钟，方差单位就是平方分钟，标准差仍是分钟。数据代表完整总体还是只代表一个样本，也会影响计算方法。

下面用同一组数据从头算到尾。如果想先了解均值、中位数与分布的整体概念，可以阅读统计学入门文章。

从每个数与均值的偏差开始

假设8次拼图尝试分别用了以下分钟数：

$$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$$

总时间是$40$分钟，所以均值为$40/8=5$分钟。接下来从每个时间中减去5，得到偏差：

$$-3,\ -1,\ -1,\ -1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4$$

负数表示比均值快，正数表示比均值慢。相对于算术均值的偏差总和必然是零。因此直接平均这些偏差，即使数据差距很大，也会得出零离散程度，毫无用处。将每个偏差平方后，结果不会为负，距离均值越远的值影响也越大。NIST关于离散程度指标的说明解释了这一点。

8个偏差的平方如下：

时间，分钟	与5分钟的偏差，分钟	偏差平方，分钟²
2	-3	9
4	-1	1
4	-1	1
4	-1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16

最后一列相加为$32$平方分钟。方差和标准差都从这个和出发。观察到的时间不会再变，接下来用什么数作分母，取决于这8次尝试代表什么。

如果它们是完整总体

假设这8次就是你关心的小比赛里的所有尝试。你描述的是这整个群体，而不是用它估计更大、没有观察到的群体。将平方偏差之和除以数据个数$N=8$：

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}=\frac{32}{8}=4\ \text{分钟}^2$$

这就是总体方差，记作$\sigma^2$。然后开平方：

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{4}=2\ \text{分钟}$$

这就是总体标准差。开平方并没有把前面的计算变成绝对距离的平均数。它是在偏差已经平方并合并之后，恢复数值尺度和单位。OpenStax关于离散程度的章节使用相同的总体符号和分母。

这里的2分钟是什么意思？它以分钟为单位衡量完成时间围绕5分钟均值的分散程度。它不代表每个结果都在5分钟上下2分钟之内，因为列表里就有2分钟和9分钟。它也不意味着一定有某个固定比例的数据落在这个区间内。这样的百分比规则需要对分布作额外假设，光算出标准差还不够。

如果它们只是样本

现在假设同样的8个时间是从更大量的尝试中选出来的，你想估计那个更大总体的离散程度。观察到的均值5分钟也是从这份样本算出来的。通常的样本方差以$n-1$为分母：

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{32}{7}\approx4.5714\ \text{分钟}^2$$

样本标准差为：

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{32}{7}}\approx2.1381\ \text{分钟}$$

这个结果比总体算法稍大，因为同一个和$32$除以7，而不是8。不是要在“宽松”和“严格”的公式之间选一个。两种算法回答的是不同问题：把这8个值当作完整群体来描述，还是用观察到的8个值估计更大群体的离散程度。OpenStax的数据科学教材列出了两种公式和单位的差别。

为什么是7？样本均值由这组观察值本身算出，会使样本内偏差看起来比相对于未知总体均值的偏差更小。在通常的抽样条件下，用$n-1$可以校正估计方差时倾向于偏小的问题。一个记忆方法是：样本均值确定后，7个偏差可以自由变化，第8个必须让总和等于零。更深层的统计解释涉及反复抽样时样本方差的表现。这里最重要的实用规则是：先确认自己面对的是总体还是样本，然后再除。

应该报告哪个数字？

如果后续计算需要平方形式的离散程度，或者要代入以方差为定义的统计公式，就用方差。要让读者把离散程度与原始测量值比较，标准差更直观。“标准差约2.14分钟”可以直接与5分钟的均值相比；“方差约4.57平方分钟”虽然数学上正确，却不容易想象。

始终说明所用的是哪一种计算。“SD = 2”和“SD = 2.14”都来自同样的8个时间。若不标明总体或样本，读者无法知道结果为什么不同。如果计算器上有$\sigma$和$s$，它们并不是可以互换的按钮。描述完整总体时选$\sigma$，计算样本时选$s$。

单位也很重要。数据若以厘米为单位，方差用$\mathrm{cm}^2$，标准差用厘米。数据若是没有单位的分数，两者也都没有单位。把两个数都叫作“分”或都叫作“平方分”，会掩盖开平方带来的变化。

为什么不用极差就好？

这组时间的极差是$9-2=7$分钟。它只说明最大值与最小值相距多远，对中间6个数一无所知。保持2和9不变，只改一个中间值，极差仍是7，但整体形态已改变。方差与标准差使用每个观察值，所以中间值的变化也会影响结果。

这一优点也带来局限：平方会让远离均值的值产生相当大的影响。在例子里，仅9分钟那一次就贡献了$16$平方分钟，而总和是$32$平方分钟。如果大幅偏离确实重要，这很有用；但解释单个离散指标之前，你也应看看原始数据。NIST比较不同离散指标时，也指出大偏差影响更强。一个标准差数字不能代替你注意异常值或偏斜的分布。

为了建立直觉，比较两组各有4个值且均值都为4的数据：$[4,4,4,4]$与$[2,2,6,6]$。第一组每个平方偏差都是零，标准差也为零。第二组每个值距4都为2，所以每个平方偏差都是4。把两组分别视为完整总体，第二组方差为4、标准差为2。仅看相同的均值，完全看不出这个差别。

常见计算错误

还没确定数据代表什么就开始除。 在计算旁写下“总体”或“样本”。完整总体用$N$；用样本估计总体方差的通常样本方差用$n-1$。把两者混用，是两个看似正确的答案不一致的常见原因。

忘了开平方。 平方偏差之和除以分母，得到的是方差。标准差是该数的平方根。如果题目要求两者，就分别报告。

漏掉单位。 平方偏差之和与方差用平方单位，标准差用原始单位。这也是快速检查答案的方法。

把标准差叫作绝对距离的平均数。 那是另一个指标，平均绝对偏差。标准差先平方，再根据总体或样本选择分母，最后开平方。两种运算通常得出不同数字。

每一行都立即四舍五入。 尽可能保留精确的平方偏差和分数。对这组数据，直接从$32/7$求样本标准差，比先把方差四舍五入后再开平方更准确。

不照抄表格，再练一遍

试试$[1,3,3,5]$，先把这4个值当作完整总体。均值是$3$，偏差为$[-2,0,0,2]$，平方偏差之和为$8$。总体方差为$8/4=2$平方单位，总体标准差为$\sqrt{2}\approx1.4142$原始单位。如果这4个值改作样本，就除以3：样本方差为$8/3\approx2.6667$，样本标准差为$\sqrt{8/3}\approx1.6330$。

只把最后一个值从5改成9。动手计算前，先预测离散程度会不会增加。答案是会，但仍要重新算一遍，因为均值也变了，不能只更新旧偏差表的一行。这是理解为什么均值与离散程度必须一起计算的练习。

能自己完成一张表后，可以去Math Zen的统计练习继续练习。尝试找出均值、选对分母，并检查答案的单位是否合理。如果样本与总体的区别仍很抽象，概率入门指南解释了为何可以利用样本思考更广的结果集合。

常见问题

方差总是比标准差大吗？

不是。两者单位不同，直接比较大小通常没有意义。只看数字时，如果在所选单位下方差小于1，它的平方根会比方差大；如果方差大于1，平方根反而更小。换一个单位就可能改变数字大小的比较，而数据本身没有变。

标准差会是负数吗？

不会。平方偏差非负，其和也非负，标准差所取的平方根同样非负。只有所有观察值相等时，标准差才是零。

什么时候用n-1？

用这组数据本身计算样本均值时，通常的样本方差与样本标准差使用$n-1$。如果数据就是你要描述的完整总体，则用$N$。使用计算器前先读清题目。

怎样最容易记住两者的区别？

方差通过偏差的平方衡量离散程度。标准差是这个方差的平方根，单位回到原数据。上面的例子从平方偏差总和$32$平方分钟，得到总体方差$4$平方分钟，再得到总体标准差$2$分钟。