IB 數學 AA（SL 與 HL）怎麼準備？12 週讀書計畫

IB 數學：分析與方法（analysis and approaches，簡稱 AA）是 IB 文憑課程（DP）兩門數學課中，代數色彩較重的一門。IB 形容這門課特別強調建構、表達並證成正確的數學論證。DP 的數學只能選一門，而 AA 分成兩個級別：標準級別（SL）與高級級別（HL）。

多數關於 IB 數學 AA 的讀書建議都很籠統：多做歷屆試題、熟記公式手冊、儘早開始內部評量。這些都對。本文則從 IB 自己的文件出發：科目簡介、公式手冊與計算機規定。內容涵蓋兩個級別的試卷、HL 專屬內容在哪裡、公式手冊有給與沒給什麼，以及依五大課綱主題安排的 12 週計畫。你可以搭配 Math Zen 的 IB 數學 AA 練習路徑一起練習。

SL 與 HL：三份試卷還是兩份

2021 年首次評量的這門課程，其IB 科目簡介列出了兩個級別的評量方式。

所有題目都是必答題。兩個級別的筆試都佔成績的 80%，探究報告佔最後的 20%。

成績從最高的 7 分到 1 分。HL 與 SL 的成績在文憑中獲得相同的積分，兩個級別也依同一套成績描述標準評定，只是 HL 學生要在更大量的內容上展現這些能力。IB 對 DP 評量的概述說明了各科成績如何合計為文憑總分。

有一個日期對規劃很重要。根據 IB 數學頁面，現行課程最後一次評量在 2028 年 11 月，新課程從 2027 年開始授課，2029 年首次評量。2029 年科目簡介維持相同的試卷長度與配分，但把內容重新分成 A 到 E 的主題。如果你在 2027 或 2028 年應考，以下內容全都適用。如果你從 2027 年才開始修這門課，請向老師確認你使用的是哪一版課程指南。

時數花在哪裡：SL 主題與 HL 增加的內容

科目簡介列出了每個主題的建議授課時數，這是目前最能反映各主題份量、以及 HL 在哪裡加重的公開依據。HL 欄列出的是課綱與公式手冊中，主要的 HL 專屬增加內容。

有兩點特別明顯。微積分在兩個級別都是份量最大的主題，到了 HL 幾乎翻倍。幾何與三角在 HL 也翻倍，其中很大一部分是三維空間的向量。如果你正在選擇級別，這兩列就是多出來那 90 小時最真實的樣貌。

如果向量讓你覺得抽象，向量指南會把箭頭的圖像和你實際要計算的分量連起來，而 Math Zen 的向量主題則練習內積與外積、直線與平面。

Paper 1 是代數見真章的地方

Paper 1 不允許使用科技工具，在 SL 佔 40%，在 HL 佔 30%，和 Paper 2 的比重一樣，而且完全沒有計算機可以幫忙。考的是整份課綱的內容，所以微積分、三角與對數都得靠手算。

Paper 1 的得分主要靠三項能力。第一是精確值：標準角（弧度）的正弦、餘弦與正切，要從單位圓讀出來，而不是死背一張表。三角函數指南把它們建構成圓上的坐標，這樣就很容易重新推導出來。第二是對數律與指數律的雙向運用，不只是化簡，也包括解方程式；對數指南解釋了這些規則為什麼成立。第三是乾淨地運用微分與積分法則，後面的代數運算也不能出錯。

練習這些時請把計算機放到拿不到的地方：複習時每一步都用計算機檢查，只會讓你覺得 Paper 1 比實際上困難得多。

Paper 2 與你的計算機

Paper 2 可以使用科技工具，IB 也明講所有 DP 數學課程都要求學生熟練使用繪圖計算機。預期會有一些題目用計算機是最快的路：求兩條曲線的交點、數值定積分，或是常態分布機率。

IB 計算機清單列出了建議機型，包括 TI-84 Plus 系列、啟用 Press-to-Test 模式的非 CAS TI-Nspire 機型，以及啟用 Examination Mode 的 Casio fx-CG50。清單禁止 TI-89 與 Casio ClassPad 這類 CAS 計算機，也不允許儲存筆記、程式或應用程式，來取代記憶事實或公式。

在你要用的那一款機型上，要學會用合適的視窗範圍畫圖、找交點、零點與轉折點、以數值方式解方程式、計算某點的導數值與定積分，以及計算二項分布和常態分布的機率（包括由機率反推數值的 inverse normal）。作答時請用數學記號寫出你做了什麼：多分的題目只寫一個數字而沒有方法，風險很大。

HL 的 Paper 3 是獨立的一項技巧

HL 的 Paper 3 時間是一小時，要做兩道必答的延伸解題題，佔成績的 20%。一小時兩題，表示每一題都很長，科目簡介把解題定義為把所學應用到非例行、開放式的問題上。它的要求是在陌生的情境中自己找出路，沒有人告訴你該用哪一種技巧。

光做各主題的練習，並不能訓練這種能力。每兩週挑一道歷屆 Paper 3 的題目，給自己三十分鐘，把所有想法都寫下來，包括行不通的情況。然後讀評分標準中閱卷老師預期的做法，和自己的作法比較。

公式手冊沒有給什麼

公式手冊是 SL 與 HL 共用的一份文件，每個主題下另有 HL 專屬的部分，上課與考試都可以使用。它的內容相當豐富：印有一元二次方程式的公式解與判別式、二項式定理、正弦定理與餘弦定理、三角形面積 $\tfrac{1}{2}ab\sin C$、倍角公式，以及連鎖律、乘法法則與除法法則，還有 $\sin x$、$\cos x$、$e^x$ 與 $\ln x$ 的導數。

所以真正有用的是「找不到什麼」的清單。手冊沒有特殊角三角函數值表。手冊給你規則，卻從不告訴你什麼時候該用：哪一個恆等式可以把方程式化成一元二次方程式，或是什麼時候用變數變換才對。請根據自己的錯誤，整理出一頁「手冊沒有」的清單，每週憑記憶自我測驗一次；記憶數學公式指南說明了為什麼理解公式能讓你更容易記住它。手冊從頭到尾讀一次，這樣考試時才能在幾秒內找到需要的公式。

探究報告佔 20%，沒有捷徑

探究報告是針對你自選主題寫的一篇數學文章，兩個級別都必須完成，佔 20%。科目簡介建議約花 15 小時。它由你的老師評分，再由 IB 抽樣審核調整（moderation）。Math Zen 幫不上忙，任何練習題型的 App 也一樣：這是你自己的探究，由老師和評量標準來引導。及早選好題目，範圍收窄，把考試複習留到報告繳交之後。

12 週 IB 數學 AA 讀書計畫

從你第一份數學試卷往回推十二週；考試日期請向你的 IB 協調員確認。在第 1 週之前，先依你的級別限時，做一份 Paper 1 與一份 Paper 2 摸底，對照評分標準批改，並把每個失分歸類：概念不懂、方法不會、代數失誤、計算機操作不熟，或是讀題與時間問題。概念不懂的需要重新聽一次解釋；方法不會的要在隔天從空白紙重現解題過程；失誤則需要更慢、更仔細檢查的手算練習。

計畫依主題順序進行，並像授課時數一樣，給微積分最多時間。每次練習結束，用十分鐘做前幾週內容的混合題；數學練習的間隔重複指南說明了為什麼短時間、分散的複習記得比較牢。

第 1 到 2 週：數與代數、函數。 數列與級數、對數與指數、二項式定理、一元二次方程式、函數、反函數、合成函數與圖形變換。先全部手算，因為 Paper 1 就是手算。

第 3 到 4 週：幾何與三角。 正弦定理與餘弦定理，包括正弦定理會得到兩個三角形的情況（正弦與餘弦定理指南有詳細說明）；弧度、弧長與扇形、恆等式，以及指定區間內的三角方程式。HL：空間中的向量、直線與平面。

第 5 到 7 週：微積分。 極限、微分法則、切線與法線、最佳化問題、運動學、積分與面積。HL：隱函數微分、相關變率、變數變換與分部積分、旋轉體體積和微分方程。Math Zen 的導數主題會練到這些法則變成反射動作。

第 8 週：統計與機率。 描述統計、迴歸、機率、用計算機處理的二項分布與常態分布。HL：貝氏定理與連續型隨機變數。

第 9 週：HL 額外內容，或 SL 鞏固。 HL：直角坐標、極坐標與歐拉形式的複數（極坐標形式指南會有幫助）、數學歸納法證明、反證法與反例，以及麥克勞林級數。SL：把微積分與三角再做一遍。

第 10 週：手冊與計算機。 完成你那一頁「手冊沒有」的清單，並在你考試用的機型上演練 Paper 2 的每一種計算機操作。

第 11 到 12 週：完整試卷。 限時做 Paper 1 與 Paper 2 的完整試卷，HL 再加做 Paper 3。每一題失分的題目都從空白紙重做，然後就不要再加新主題。

Math Zen 涵蓋什麼，不涵蓋什麼

Math Zen 的 IB 數學 AA 路徑把 SL 內容與 HL 專屬內容放在同一條路徑裡，一次一題，難度會依你的表現調整。SL 學生可以跳過 HL 專屬的子主題，例如複數、空間向量與微分方程。這條路徑涵蓋了課程指南中大部分的內容條目，但不是全部，在依賴它之前，最好先知道有哪些缺口：

• 書面證明。 App 無法批改證明。它會練習數學歸納法證明中的歸納步驟，但不包括 SL 的演繹證明，也不包括反證法與反例。
• 部分 HL 內容。 連續型隨機變數、複數的歐拉形式與共軛根定理、奇函數與偶函數、模函數與函數倒數的圖形、斜漸近線、歐拉法、繞 y 軸的面積與體積，以及分數或負冪次的二項式定理，目前都還沒有練習。
• 部分 SL 細節。 正弦定理的歧義情況、x 對 y 的迴歸直線，以及畫圖（App 訓練的是讀圖）都沒有涵蓋。
• 計算機、Paper 3 與探究報告。 App 不會訓練你的繪圖計算機，不會出 Paper 3 風格的探究題，也無法協助你的探究報告。

App 適合每天練習各種技巧，而以上清單中的內容，請用歷屆試題與評分標準來補。

重點整理

IB 數學 AA 在 SL 是兩份試卷，在 HL 是三份，再加上佔 20% 的探究報告。Paper 1 與 Paper 2 分數一樣多，卻完全不能用計算機，所以手算代數與精確值往往決定成績。HL 增加約 90 小時的授課時數，主要是微積分與向量，還有一份解題導向的 Paper 3。用真正的試卷來診斷，依各主題的比重安排進度，清楚知道手冊沒有給什麼，最後用限時的完整試卷收尾。