複數的極式：轉換、乘法與除法

數字 $3+3i$ 給出了一個地址：向右三個單位，向上三個單位。它同時也給出了一個方向與一段距離：東北方，距離零點 $3\sqrt{2}$。直角形式與極式描述的是完全相同的數。它們讓不同的計算變得容易。

直角形式方便做加法。極式則讓乘法看起來像兩個普通的動作：伸縮與旋轉。這就是為什麼，一旦換了描述方式，看起來複雜的次方可以變成一個簡短的計算。

如果虛數單位對你還不熟悉，請先看我們的虛數說明。這裡的重點是務實的下一步：轉換、計算，以及檢查你的答案。

絕對值與輻角描述同一支箭頭

從原點畫一支箭頭指向 $z=a+bi$。它的水平分量是 $a$，鉛直分量是 $b$。箭頭的長度稱為絕對值（也叫模），可由直角三角形得出：

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

輻角是從正實軸起，逆時針量到的角 $\theta$。正的旋轉是逆時針；負的旋轉是順時針。轉滿一圈會回到同一支箭頭，所以輻角不是唯一的。

長度為 $r$ 的箭頭，水平與鉛直分量分別是 $r\cos\theta$ 與 $r\sin\theta$。把這些分量代入，就得到極式：

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

有些書把它寫成 $r\operatorname{cis}\theta$。這個縮寫的意思恰好就是括號裡的式子。它是比較短的寫法，不是新的運算。

這裡用到了極坐標的幾何，但這裡的目標是複數的運算，而不是描繪極坐標曲線。

轉換時不要弄丟象限

考慮 $z=-3+3i$。先從絕對值開始：

$$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

實部是負的，虛部是正的，所以箭頭指向第二象限。因為水平與鉛直的距離大小相等，參考角是 $\pi/4$。因此所需的輻角是 $3\pi/4$，也就是 135 度：

$$-3+3i=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

為什麼不直接輸入 $\arctan(b/a)$ 呢？這裡的比值是 -1，一般的反正切計算會得到 $-\pi/4$。那個角指向第四象限，方向正好相反。單靠一個比值，會失去能辨識象限的正負號。

每一次都用這個順序：

1. 求出絕對值。
2. 在草圖上標出實部與虛部的正負號。
3. 求出參考角，並把它放進那個象限。
4. 代回去檢查兩個分量。

名為 $\operatorname{atan2}(b,a)$ 的計算機或程式函式，會處理象限與軸上的情況。要檢查它的引數順序，以及輸出是不是弧度。如果你改用單一輸入的反正切，草圖仍然是必要的。

轉回去當作檢查

從極式轉到直角形式，意思是分別計算兩個分量。對上面的例子：

$$a=3\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3$$ $$b=3\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3$$

結果是 $-3+3i$，與要求相符。這能立刻抓出象限的錯誤：就算絕對值是對的，錯誤的角度也會產生錯誤的正負號。

對於沒有簡單精確值的角度，在最後一步之前，輻角都不要四捨五入。太早四捨五入，會在你把數轉回分量時引入不必要的誤差。

乘法是伸縮加旋轉

假設一個數的絕對值是 $r_1$，輻角是 $\theta_1$，另一個數的絕對值是 $r_2$，輻角是 $\theta_2$。乘法是把長度相乘，把旋轉的角相加：

$$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$$

取兩個絕對值為 2、輻角分別為 $\pi/6$ 與 $\pi/3$ 的數。乘積的絕對值是 4，輻角是 $\pi/2$：

$$z_1z_2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

你可以用直角形式獨立檢查。這兩個起始的數是 $\sqrt{3}+i$ 與 $1+\sqrt{3}i$：

$$(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)=\sqrt{3}+3i+i+\sqrt{3}i^2=4i$$

實部互相抵消，因為 $i^2=-1$。兩種描述得到相同的答案，但極式的計算讓直角旋轉在任何展開之前就看得見。

除法是把伸縮與旋轉反過來

要除以一個非零的複數，把絕對值相除，並把輻角相減：

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$$

例如，把一個絕對值為 6、輻角為 $5\pi/6$ 的數，除以一個絕對值為 2、輻角為 $\pi/3$ 的數。結果的絕對值是 3，輻角是 $\pi/2$，所以商是 $3i$。

分母的絕對值必須不為零。極式的記法不會讓除以零變得合法。此外，相減的順序要保持正確：把第二個數除以第一個數，會把縮放倍數與角度差都顛倒過來。

次方就是重複同樣的運算

把複數取正整數次方，意思是重複同樣的乘法。絕對值取那個次方，輻角則乘以那個次數：

$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

這就是棣美弗公式。對於 $z=\sqrt{3}+i$，絕對值是 2，一個輻角是 $\pi/6$。取三次方得到：

$$(\sqrt{3}+i)^3=2^3\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=8i$$

三次 30 度的旋轉就是一次 90 度的旋轉。三個縮放倍數 2 相乘得 8。你仍然可以把立方展開，但極式說明了為什麼結果會落在虛軸上。

OpenStax 的極式章節也介紹了對應的開根計算。重要的區別是，當 n ≥ 2 時，非零複數有多個不同的 n 次方根；光是把選定的某一個角除以 n，並不能把它們全部列出來。

弄清楚這些特殊情況

轉滿一圈改變的是角度，不是數。 對每個整數 $k$，角 $\theta$ 與 $\theta+2\pi k$ 描述同一個方向。如果題目要求主輻角，就使用題目所述的區間，通常是 $(-\pi,\pi]$。其他課程使用不同的區間，所以要說明你採用的慣例。

零沒有定義的方向。 它的絕對值是零。任何角度得到的分量都同樣是零，所以替零指定唯一的輻角沒有意義。

弧度與角度不能混用。 只要一致地使用，兩者都可以用在三角形式。指數形式 $re^{i\theta}$ 使用弧度。我們的歐拉恆等式指南說明了這個關聯。

加法不能用乘法的規則。 把絕對值與角度相加，並不是把複數相加。要先轉成直角形式，把分量相加，需要的話再轉回來。

一次練習一個決定

Math Zen 的複數練習包含極式與棣美弗定理。學習時要把技能分開：先判斷象限，再求絕對值，再轉換，最後才嘗試乘積或次方。

提交答案之前，問自己三個問題。它到零的距離合理嗎？它的方向符合運算嗎？它的直角分量能還原你一開始的數嗎？這些檢查，把極式從另一條要背的公式，變成一種看見計算過程的方式。