正弦定理與餘弦定理：什麼時候用哪一個？

測量員知道一塊地的兩邊與夾角，需要求第三邊。飛行員知道與兩個無線電信標所形成的三角形中的兩個角，以及一段距離。這兩個三角形都沒有直角，所以 SOH CAH TOA 幫不上忙。這些就是正弦定理與餘弦定理的工作，這兩個定理只要你知道三角形的三個部分（只要其中有一個是邊），就能解出任何三角形。

困難的部分很少是公式本身，而是選擇該用哪一個定理，以及注意到計算機會悄悄給出錯誤角度的那個情形。本文先從一張判斷表開始，為每一種情形示範一道例題，然後只改變一個邊長，帶著同一個三角形走過兩解情形的所有結果。如果正弦與餘弦對你來說仍然像是按鈕而不是觀念，三角函數指南會先幫你重建它們。

全文的記號：角 A、B、C 分別位於邊 a、b、c 的對面。

該用哪一個定理：從你拿到的條件開始

每一個可解的三角形問題都會給你三個部分。說出它的型態，定理也就跟著決定了：

已知條件、定理，以及先求的未知數

這個分法依循 OpenStax 的預備微積分教科書：正弦定理涵蓋 ASA、AAS 與 SSA，而餘弦定理是處理正弦定理無法處理的兩種情形，也就是 SAS 與 SSS 的工具（OpenStax，正弦定理；OpenStax，餘弦定理）。

從公式很容易看出原因。正弦定理把每一邊與它的對角相比：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

要使用它，你至少需要一組完整的配對：一個邊與它對面的角。SAS 與 SSS 從來不會給你完整的配對，所以你需要別的規則來起步。

餘弦定理：畢氏定理加上一個修正項

餘弦定理的三種形式是

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

看最後一式，取 $C = 90^{\circ}$。這時 $\cos C = 0$，最後一項消失，剩下 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$。餘弦定理就是畢氏定理，再為不是直角的角加上一個修正項。OpenStax 把它出發的恆等式稱為「廣義畢氏定理」。這個想法很古老：歐幾里得《幾何原本》第二卷的命題 12 與 13，用純幾何的語言證明了鈍角與銳角三角形的情形，遠在餘弦出現之前（歐幾里得 II.12，克拉克大學版）。

這個修正項有明確的意義。當 C 是銳角時，$\cos C$ 為正，所以 c 比畢氏定理的值短。當 C 是鈍角時，$\cos C$ 為負，負號把修正項變成加法，所以 c 比較長。把角張開，對邊就拉長；把角合起來，對邊就縮短。

SAS 例題

兩邊是 $b = 8$ 與 $c = 11$，兩邊的夾角 $A = 40^{\circ}$。求其餘部分。

第三邊。代入含有已知角的那個形式：

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

所以 $a \approx 7.08$。作為比較，如果 A 是直角，會得到 $\sqrt{185} \approx 13.60$；40° 的角把它縮短了將近一半。

其餘的角。現在有了一組完整的配對（a 與 A），所以正弦定理可以用。求另外兩邊中較短的那一邊所對的角，也就是 b 的對角：

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

然後 $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$。

請注意 C 是鈍角。如果你改用正弦定理去求 C，計算機的反正弦會傳回 86.55°，也就是正弦值相同的那個銳角，之後的每一個數字都會是錯的。先求較小的角就能避免這個問題：在任何三角形中，較短邊的對角比較小，而且最多只有一個角可以是 90° 或更大，所以較短邊的對角一定是銳角。

同樣的資料也能直接給出面積，使用兩邊乘積的一半再乘以它們夾角的正弦（這是 OpenStax 正弦定理那一節中的面積公式）：$\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$。

SSS：先求最大的角

給定三邊時，把餘弦定理改寫，讓餘弦獨立出來：

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

取邊長為 5、7 與 9 的三角形。最長的邊是 9，所以從它的對角開始：

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

餘弦值為負，馬上告訴你 C 是鈍角。現在用正弦定理求其他的角就很安全，因為其餘兩個角必定是銳角：

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

而 $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$。用餘弦定理再檢驗 B，會得到同樣的 50.70°。

如果換個順序，陷阱就出現了。先求 A，然後用正弦定理求 C：你會得到 $\sin C \approx 0.9950$，而反正弦說是 84.26°。真正的角是它的補角 95.74°。休士頓大學的課程講義把規則說得很直接：如果可以選擇，「通常最好先求最大的角」（UH Math 1330，第 7.3 節）。

正弦定理：AAS 與 ASA

當你知道兩個角時，第三個角是白送的：它們的和是 180°。之後，正弦定理就是一個單純的比例式。

假設 $A = 40^{\circ}$、$B = 60^{\circ}$ 且 $a = 10$。那麼 $C = 80^{\circ}$，共同的比值是

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

把它乘以各個正弦值：$b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$，$c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$。

這裡沒有任何模稜兩可之處，因為每一個角都是用減法求得的，而不是用反正弦。ASA 的做法相同：用減法得到第三個角，然後你就有了一個邊與它的對角，比例式會完成其餘的工作。

兩解情形（SSA）：一個三角形，三種結果

SSA 是學生丟分的地方。OpenStax 把它描述成 SSA 資料「可能得到一個或兩個解，甚至無解」的情形。要看清楚原因，最清楚的方法是除了一個邊之外，其他全部固定。

固定角 $A = 30^{\circ}$ 與邊 $b = 10$。想像邊 b 沿著地面，從頂點 C 延伸到頂點 A，30° 的角在 A。邊 a 從 C 垂下，像一扇門一樣擺動，直到落在從 A 出發的那條線上。它會不會落下、落在哪裡，只取決於它的長度。

關鍵的長度是從 C 到那條線的高：

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

現在只改變 a。下表每一列都由 $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ 算出，並檢驗到 12 位有效數字：

A = 30°、b = 10 時的 SSA 結果

逐列來看：

• a = 4。這扇門比高度短，所以永遠碰不到地面。代數也說同樣的事：$\sin B = 1.25$，而沒有任何角的正弦值大於 1。沒有三角形。
• a = 5。這扇門剛好碰到地面，垂直向下。一個三角形，B 是直角。
• a = 8。這扇門比高度長，但比 b 短，所以它會在地面上的兩個點著地，分別在高的垂足兩側。兩個都是真正的三角形。反正弦給出 38.68°；另一個答案是它的補角，$180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$，而因為 $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$，還留有空間給第三個角。你會得到一個寬的三角形，c = 14.91，和一個細長的三角形，c = 2.42。
• a = 12。這扇門比 b 長，所以它的第二個落點會落在 A 的後面，在三角形之外。補角 155.38° 加上 30° 已經超過 180°，所以被排除。一個三角形。

這些條件與 OpenStax 該節的四張圖相符：a 比高度短則無三角形，a 等於高度則為直角三角形，a 介於高度與 b 之間則有兩個，a 大於或等於 b 則有一個（當角 A 為銳角時）。

要記住的流程是：任何一次 SSA 的反正弦之後，也要把補角寫下來，並檢驗它與已知角是否放得下。如果放得下，就有兩個答案，而題目通常兩個都要。如果 A 本身是鈍角，情況就簡單多了：a 必須比 b 長，否則根本沒有三角形。

常見錯誤

對 SAS 或 SSS 使用正弦定理。沒有完整的邊與對角的配對，比例式就有兩個未知數。請從餘弦定理開始。

忘了第二個 SSA 三角形。計算機只會傳回銳角的反正弦。一定要檢驗它的補角。

用反正弦求鈍角。在 SAS 與 SSS 中，用餘弦定理求最大的角，或是先用正弦定理求較小的角。

計算機設成弧度模式。弧度模式下的 $\cos 40$ 約為 $-0.667$，而不是 $0.766$。如果某個邊算出來比另外兩邊的和還長，請檢查模式。

太早四捨五入。在用於下一步之前，保留你求出的邊的完整精度；上面的答案都是以完整精度計算，最後才四捨五入。

練習題

每一題都先自己試過，再看答案。

1. SAS。$b = 6$、$c = 9$、$A = 60^{\circ}$。求 a。
2. SSS。一個三角形的三邊是 4、6 與 8。求它最大的角。
3. SSA。$A = 40^{\circ}$、$b = 12$、$a = 9$。有幾個三角形符合，c 的可能值是多少？

答案。

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$，所以 $a = \sqrt{63} \approx 7.94$。
2. 最大的角在 8 的對面：$\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$，所以 $C \approx 104.48^{\circ}$。
3. 高是 $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$，而 9 介於 7.71 與 12 之間，所以有兩個三角形。$\sin B \approx 0.8571$ 給出 $B \approx 58.99^{\circ}$ 或 $121.01^{\circ}$，接著 $C \approx 81.01^{\circ}$ 或 $18.99^{\circ}$，以及 $c \approx 13.83$ 或 $4.56$。

Math Zen 的三角函數練習把正弦定理與餘弦定理，和三角比、恆等式與反函數放在一起，每次作答的數字都不同，讓你在兩個定理之間的選擇變成自動反應。同一個餘弦也會在內積中再次出現，向量指南會把它解釋為自然的下一步。

常見問題

什麼時候用正弦定理，什麼時候用餘弦定理？

AAS、ASA 與 SSA 用正弦定理。SAS 與 SSS 用餘弦定理，因為這兩種情形沒有任何一邊附帶它的對角。

餘弦定理和畢氏定理是同一個東西嗎？

餘弦定理是它的一般化版本。把角設為 90°，$-2ab\cos C$ 這一項就消失，剩下 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$。

正弦定理的兩解情形（模稜兩可的情形）是什麼？

SSA 的資料可能描述零個、一個或兩個三角形。把邊 a 與高 $h = b \sin A$ 及邊 b 比較，就能分辨是哪一種。

為什麼要先求最大的角？

一個角與它的補角有相同的正弦值，所以反正弦無法分辨 84° 與 96°。最大的角是唯一可能為鈍角的角；用餘弦定理求它，其餘的角就安全了。