Gaokao matematik

1. Det finns nio ökningar mellan den första och den tionde termen.

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. Para ihop den första och sista termen. Deras medelvärde är medelvärdet för alla tio termer.

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. Multiplicera medelvärdet med antalet termer.

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

Vanligt misstag: Använd inte tio ökningar för att hitta den tionde termen. Den första termen är redan medräknad.

1. Skalärprodukten av två vinkelräta vektorer som inte är noll är noll.

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. Multiplicera motsvarande koordinater och addera produkterna.

   $$2x+3(-2)=0$$

3. Lös den linjära ekvation som bildas.

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

Vanligt misstag: Skalärprodukten är ett enda tal. Multiplicera inte koordinaterna diagonalt.

1. Använd multiplikationsregeln med den angivna betingade sannolikheten.

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. Sätt in de två bråken.

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. Förenkla resultatet. Du behöver inte anta att händelserna är oberoende.

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

Vanligt misstag: Ersätt inte P(B givet A) med P(B). Dessa sannolikheter behöver inte vara lika.

1. Jämför ekvationen med standardformen för att bestämma parametern p.

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. Fokus har x-koordinaten p/2 och styrlinjen är den lodräta linjen x = -p/2.

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. Subtrahera de två x-koordinaterna för att få avståndet.

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

Vanligt misstag: Avståndet från parabelns spets till fokus är 2. Det sökta avståndet går hela vägen från fokus till styrlinjen.

1. Derivera och faktorisera resultatet.

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. Derivatan är positiv när dess två faktorer har samma tecken.

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. Skriv de två intervallen separat. Derivatan är negativ mellan de kritiska punkterna.

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

Vanligt misstag: En positiv derivata innebär att funktionen växer, inte att funktionsvärdet är positivt.

1. Derivera med produktregeln.

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. Exponentialfaktorn är alltid positiv. Derivatan växlar från positiv till negativ vid x = 1.

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. Funktionen växer före 1 och avtar efter 1. Sätt in 1 för att få det största värdet.

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

Vanligt misstag: Maximum inträffar vid x = 1, men funktionens största värde är 1/e.