Förstå matriser intuitivt (maskiner som omformar resor)

Matriser är ämnet som får duktiga elever att plötsligt känna sig dumma. Fram till den här punkten har varje operation haft en bild. Addition är att kombinera. Multiplikation är att skala. Till och med vektoroperationerna från förra veckans artikel var resor du kunde gå. Sedan skriver någon två rutnät av tal, meddelar att du multiplicerar dem genom att ta "rader gånger kolumner," och bilden försvinner. Regeln fungerar. Ingen kan säga vad den gör.

Resultatet är ett andra dubbelseende, syskonet till det i vektorinlägget. I algebraklassen är en matris en låda med tal. I senare kurser är den en "linjär avbildning," en fras som låter som ett svar och förklarar ingenting. Den här artikeln är bron: en matris är en maskin som tar en resa och ger tillbaka en resa, varje kolumn i rutnätet är en uppteckning av var en axel landade, och multiplikationsregeln är bara bokföringen för att köra två maskiner i följd.

En maskin som omformar resor

Den här serien återvänder ständigt till en idé: tal pekar. Ett negativt tal är ett vanligt tal som pekar bakåt. Ett imaginärt tal är ett tal som pekar i sidled, av linjen och in i ett plan. En vektor är idén släppt fri, en storhet som bär vilken riktning som helst. När du har resor är nästa fråga nästan tvingad. Vad verkar på en resa? Vad tar "3 österut, 4 norrut" och gör den till en annan resa?

Den aktören är en matris.

Tänk på en maskin med en inställning som kan sträcka, krossa, rotera eller vända vad du än matar den. Du ger den en resa, den ger dig en resa tillbaka. En 2-gånger-2-matris är den kompletta instruktionen för en sådan maskin som verkar i planet. En 3-gånger-3-matris är samma idé i rummet. Rutnätet av tal är inte objektet. Rutnätet är specifikationsbladet.

Det är därför en matris inte är en större vektor. En vektor är en resa. En matris är en regel för att ändra resor. Att blanda ihop de två är som att blanda ihop en färd med vädret som blåser dig ur kurs.

Kolumnerna är var axlarna landar

Här är faktumet som gör hela ämnet läsbart. Du behöver inte veta vad en matris gör med varje möjlig resa. Du behöver bara veta vad den gör med två av dem: ett steg österut, och ett steg norrut. Varje annan resa är en kombination av de två, så maskinens effekt på vilken resa som helst är samma kombination av dess effekter på axlarna.

Skriv de två resultaten som kolumner, och du har matrisen.

Anta att maskinen skickar ett steg österut till (2, 1) och ett steg norrut till (0, 3). Matrisen är 2-gånger-2-rutnätet vars första kolumn är 2, 1 och vars andra kolumn är 0, 3. Mata den resan (3, 4), vilket betyder "3 österut sedan 4 norrut," och utdata är 3 kopior av den första kolumnen plus 4 kopior av den andra: $3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \end{pmatrix}$. Det är matris-vektormultiplikation. Rad-gånger-kolumn-ritualen i läroboken är samma summa, skriven så att en dator kan köra den utan att rita pilar.

Läsare som kommer från vektorartikeln känner igen summan: du adderar skalade resor. Matrisen uppfinner inte ett nytt slags räkning. Den återanvänder räkningen för resor, en gång per kolumn.

Identitetsmatrisen är maskinen som inte gör något. ($I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$) Ett steg österut förblir ett steg österut, ett steg norrut förblir ett steg norrut, så dess kolumner är exakt de två axelresorna. Mata den vad som helst och du får samma vad-som-helst tillbaka. Den är kopiatorn inställd på 100 procent, ingen rotation, och den är skälet till att talet 1 har en motpart i det här ämnet.

Multiplikation betyder tillämpa det här, sedan det där

Regeln som känns påhittad, att multiplicera två matriser, är funktionssammansättning i ett rutnät. Att multiplicera A med B är att bygga den enda maskinen som gör B först och A sedan. Du matar en resa till B, tar vad som kommer ut, och matar det till A. Produkten AB är specifikationsbladet för den kombinerade maskinen.

Det är därför ordningen spelar roll, och varför den känns bakvänd. AB är inte BA, av samma skäl som att sätta på sockar sedan skor inte är att sätta på skor sedan sockar. Den högra maskinen verkar först för att det är så vi redan skriver funktioner: f(g(x)) tillämpar g först. Matrismultiplikation ärvde samma konvention.

Det är också varför rad-gånger-kolumn-receptet finns. Kolumnerna i AB är vad den kombinerade maskinen gör med axlarna, vilket betyder att de är A tillämpad på kolumnerna i B. Var och en av dem är en matris-vektorprodukt, och varje matris-vektorprodukt är en hög skalärprodukter. Läroboksritualen är tre lager av samma idé, komprimerade till ett minnesknep.

En nyttig följd: du kan sluta memorera när två matriser får multipliceras. De multipliceras när resorna som kommer ut ur den första maskinen har rätt storlek för att gå in i den andra. En 2-gånger-3-matris äter 3-dimensionella resor och ger tillbaka 2-dimensionella. Den kan sitta till höger om en 2-gånger-2-matris, som äter 2-dimensionella resor, och till vänster om en 3-gånger-4, som ger tillbaka 3-dimensionella. De inre storlekarna måste matcha för att de är samma korridor.

Determinanten är hur mycket area som överlever

Mata maskinen enhetskvadraten vars sidor är de två axelresorna. Bilden är ett parallellogram vars sidor är de två kolumnerna. Determinanten är den orienterade arean av det parallellogrammet.

Om determinanten är 2 dubblar maskinen areor. Om den är 1/2 halverar den dem. Om den är 0 har parallellogrammet kollapsat till ett linjesegment eller en punkt: maskinen har plattat till planet, två olika resor kan landa på samma ställe, och information har slängts bort. Om den är negativ har maskinen vänt orienteringen, och gjort en moturs kvadrat till en medurs, samma omvändning negativa tal utför på linjen.

Beräkningsrecepten, $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ för en 2-gånger-2, kofaktorutvecklingen senare, är sätt att beräkna den arean. De är inte betydelsen. När du ser parallellogrammet slutar "determinanten är noll" vara ett mystiskt fel och blir en bild: de två kolumnerna pekar längs samma linje, så de spänner ingen area, så att maskinen inte kan skiljas från en projektion på den linjen.

Det är också varför en noll-determinant förbjuder en invers, vilket är hela poängen i nästa avsnitt.

Invers betyder ångra

En invers matris är ångraknappen. Om A skickar en resa v till en resa w, skickar inversen av A w tillbaka till v. Att köra maskinen och sedan dess invers är identiteten: du hamnar där du började, som om ingenting hänt.

En maskin kan ångras exakt när den inte har slängt bort information. Det är determinanttestet igen. Om två olika indataresor kan ge samma utdata finns det inget ärligt sätt att säga vilken indata en utdata kom från, och ingen invers existerar. Om varje utdata kom från exakt en indata existerar ångramaskinen och är unik.

I skolan kommer det här som en formel med 1 genom determinanten och ett omstuvat rutnät av poster. Formeln är verklig, och den är värd att öva, men den är en följd. Idén är "kör filmen baklänges," och den fungerar bara när filmen inte plattade till scenen.

System av linjära ekvationer är samma idé i kostym. Algebra lärde dig att lösa två ekvationer i två obekanta med elimination. De två ekvationerna är en matris som verkar på en okänd resa, satt lika med en känd resa. Att lösa systemet är att tillämpa inversen. När systemet saknar lösning, eller har oändligt många, är determinanten noll: maskinen plattade till planet, och högerledet antingen missade den kvarvarande linjen eller landade på den på oändligt många sätt. Fallen du memorerade som "inkonsistenta" och "beroende" är de två sätten en kollapsande maskin kan misslyckas med att ha en enda ångring.

Egenvektorer vägrar att vända

De flesta resor går in i maskinen och kommer ut pekande ett nytt håll. Några särskilda resor kommer ut pekande samma håll de gick in, bara längre eller kortare. De resorna är egenvektorerna, och sträckfaktorn är egenvärdet.

Bilden är en vindtunnel. De flesta pilar knuffas i sidled. Egenvektorerna är pilarna som vinden bara förlänger eller förkortar. Om faktorn är 2 dubblar maskinen den resan. Om faktorn är 1 lämnar den den resan ifred. Om faktorn är 0 krossar den den resan till ingenting, tillplattningen från de två senaste avsnitten sedd längs en enda riktning. Om faktorn är negativ vänder den resan såväl som sträcker den.

Det här är den enda idén i de senare kapitlen som ser avancerad ut och inte är det. Att fråga efter egenvektorer är att fråga: längs vilka riktningar agerar den här maskinen som vanlig multiplikation med ett tal? När du har de riktningarna blir maskinen enkel i det koordinatsystemet, vilket är varför varje ämne som använder matriser, från differentialekvationer till att rangordna webbsidor, börjar jaga dem.

Var misstagen kommer ifrån

Matrisfel samlas på tre ställen, och vart och ett är en bild som aldrig ritades.

Det första är att multiplicera post för post. Elever ser två rutnät av samma storlek och parar av talen, så som du adderar matriser, vilket verkligen är post för post. Multiplikation är inte addition. Det är att köra en maskin och sedan den andra. Två 2-gånger-2-matriser ger en annan 2-gånger-2, men varje utdatakolumn är A tillämpad på en kolumn i B, inte de fyra paren av matchande celler, multiplicerade.

Det andra är att ignorera ordning. AB och BA är olika maskiner när A och B gör olika saker, vilket de nästan alltid gör. Att skriva faktorerna i den ordning du mötte dem, i stället för den ordning de verkar, är sock-och-sko-felet, och det är det vanligaste algebraiska slarvet i hela kapitlet.

Det tredje är att behandla en noll-determinant som en trasig räknare i stället för ett tillplattat parallellogram. Maskinen gör fortfarande något: den skickar varje resa på en linje, eller till origo. Den kan bara inte ångras. "Ingen invers" är inte ett avslag från universum. Det är en beskrivning av en maskin som har förlorat en dimension.

Var Math Zen passar in

Matriser sitter ovanpå vektorvåningen, och vacklingar där syns omedelbart. Att addera kolumner är vektoraddition. Steget "rad gånger kolumn" är en skalärprodukt. Determinanten av en 2-gånger-2 är den orienterade arean av ett parallellogram, samma geometri som vektorartikeln använde för parallellogramlagen. Om de operationerna fortfarande är verbala i stället för visuella blir varje matrisberäkning en ritual.

Math Zens nivåupplägg håller våningarna i ordning. Tidiga nivåer tränar teckenräkning och enhetscirkeln. Vektornivåerna gör sedan addition, skalning och skalärprodukten reflexmässiga. Matrisnivåerna tar dem som givna och tränar de nya operationerna: multiplicera, beräkna determinanter, invertera, lösa system och hitta egenvärden, vilket är exakt listan av bilder i den här artikeln, vända till korta problem du kan göra dagligen. Spridd repetition är vad som gör "kolumnerna är var axlarna landar" från en mening du en gång tyckte var övertygande till en reflex du använder på andra raden av en examensfråga.

Poängen

En matris är en maskin som tar en resa och ger tillbaka en resa. Rutnätet av tal är specifikationsbladet: varje kolumn är var en axel landade, och effekten på varje annan resa är den matchande kombinationen av de kolumnerna. Att multiplicera två matriser bygger maskinen som kör den högra först. Determinanten är hur mycket area som överlever, noll när maskinen plattar till planet. Inversen är ångraknappen, och den existerar exakt när ingenting plattades till. Egenvektorer är de sällsynta resor maskinen sträcker utan att vända.

Hållna ihop på det här viset har ämnet en idé i sig, tillämpad på större och större maskiner. Dubbelseendet från de två klassrummen löses i samma ögonblick som du slutar fråga om en matris egentligen är ett rutnät eller egentligen en avbildning. Den är egentligen en maskin, och rutnätet är bara listan över vart axlarna tog vägen.