Förstå algebra intuitivt (varför x inte är läskigt)
Vuxna som kan dela en nota, dubbla ett recept eller uppskatta bensinförbrukningen i huvudet fryser i samma stund någon skriver på tavlan. Räkningen är samma räkning de redan gör varje dag. Det enda som ändrades är att en av talen fick en bokstav tejpade över sig. Den enda förändringen är där de flesta först beslutar att de är dåliga på matte.
Lösningen är liten, och den är inte en lista regler. Algebra vilar på en idé, och när den idén klickar blir varje regel i läroboken en konsekvens snarare än något nytt att memorera. Den här artikeln är bilden av vad algebra faktiskt är, varför varje operation ser ut som den gör, och hur ämnet kopplar till resten av matematiken du någonsin kommer att möta.
Den enda idén: en bokstav är ett tal du inte har hittat än
Algebras centrala trick är att ge ett namn åt ett tal du inte känner än, och sedan jaga det namnet genom samma räkning du skulle göra om talet låg rakt framför dig.
När ett recept säger "använd hälften av sockret i paketet" behandlar du "sockret i paketet" som en kvantitet du kan manipulera även om du inte har mätt den. Det är algebra. Den enda skillnaden mellan köket och är att köket aldrig ber dig skriva ner ditt resonemang.
En variabel som x är inte en mystisk symbol. Den är en platshållare. Vilket tal den än står för beter sig det talet som ett tal: du kan addera till det, multiplicera det, dela det, ta dess kvadrat. Bokstaven är stenografi så du inte behöver fortsätta säga "det obekanta talet" resten av sidan.
Den här förskjutningen i inramning är liten, men den tar bort merparten av rädslan. Algebra är inte en ny sorts matematik. Det är räkningen du redan gör, med platshållare i några av facken.
Ekvationer är påståenden om balans
Nästa idé är likhetstecknet. Skolan lär ofta "=" som tecknet som kommer före svaret, som en knapp på en räknare. I algebra betyder "=" något annat. Det betyder att de två sidorna är samma sak, skrivet på två olika sätt.
säger: vad 3x + 5 än är lika med, kallas det talet också 14. De två sidorna är en enda kvantitet i två kostymer.
Det är därför "gör samma sak på båda sidor" fungerar. Föreställ dig en balanserad våg med 3x + 5 gram till vänster och 14 gram till höger. Tar du bort 5 gram från den ena sidan måste du ta bort 5 från den andra för att hålla vågen i balans. Algebra är precis den vågen, och "lös för x" är frågan "vilket tal till vänster får vågen att balansera med 14 till höger."
Subtrahera 5 från båda sidor: . Dela båda sidor med 3: . Resonemanget är mekaniskt, men det är också konkret. Varje steg är ett drag du skulle göra på en riktig våg.
Varför bokstäver? Varför inte bara ord?
Elever frågar ibland varför matematiker använder bokstäver i stället för att säga "det obekanta talet." Det är en rimlig fråga, och svaret är rent praktiskt.
Bokstäver är korta. När ett problem har mer än en obekant ("antalet äpplen plus två gånger antalet apelsiner är lika med tolv") blir det snabbt tröttsamt att stava ut dem. Algebras notation låter dig skriva i stället för en mening, och den kompakta formen är lättare att läsa och att manipulera.
Bokstäver är också återanvändbara. Samma ekvation , med olika tal inplugade för a, b och c, beskriver tusentals verkliga situationer. Algebra är språket för att tala om alla de situationerna på en gång. Som vi noterade i inlägget om bråk är algebra till stor del "bråk med bokstäver i", och bokstäverna är det som gör att reglerna gäller varje problem i stället för bara det framför dig.
Att lösa är att göra ogjort
När du accepterar att algebra är balans reduceras handlingen att lösa en ekvation till ett drag: gör ogjort vad som gjordes med x.
Om har multiplikation gjorts med x, så dela. Om har addition gjorts med x, så subtrahera. Om har division gjorts med x, så multiplicera. Varje operation har en invers, och att lösa är praktiken att tillämpa inversen på båda sidor tills x står ensam.
Ordningen spelar också roll. I en ekvation som har x multiplicerats med 3 och sedan adderades 5. För att göra ogjort, vänd ordningen: subtrahera först, dela sedan. Det är samma logik som att ta av skor och strumpor: strumporna gick på först, så de kommer av sist.
Om meningen är på plats följer proceduren. Om bara proceduren är memorerad glömmer elever ordningen, panikar, och sträcker sig efter ett flödesschema som de bara halvt minns.
Distributiva lagen är bara att fördela
Raden är en berömd källa till elevfrustration. Varför multiplicerar du 3 med båda termerna inne i parenteserna? Varför "fördelar" 3:an sig?
För att 3(x + 4) bokstavligen betyder tre grupper av (x + 4). Tre grupper av "x och 4" är tre x och tre 4:or, vilket är 3x + 12. Det är inte en regel att memorera. Det är vad "tre av något" betyder när något är en summa.
Samma bild förklarar varför inte är . Sa du "tre grupper av x och 4" och bara multiplicerade x, skulle du ha tre x och en enda 4, vilket inte alls är vad "tre grupper" betyder.
När elever felapplicerar distributiva lagen är den snabbaste lösningen inte en ny förklaring av regeln. Det är en snabb översättning tillbaka till "grupper av." Misstaget rättar oftast sig självt inom en mening.
Variabler på båda sidor
Första gången en elev ser en ekvation med x på båda sidor, som 3x + 5 = x + 13, är impulsen att panika. Det finns inget att panika över. Du kan flytta x över likhetstecknet på samma sätt som du flyttar tal, för x är bara tal i förklädnad.
Subtrahera x från båda sidor: 2x + 5 = 13. Nu finns bara ett x. Subtrahera 5: 2x = 8. Dela med 2: x = 4. Proceduren är samma balansresonemang. Den enda justeringen är insikten att du kan subtrahera en variabel lika lätt som du kan subtrahera ett tal, för båda är kvantiteter.
Det här är ögonblicket många slutar lita på algebra, för symbolmanipulationen motsvarar inte längre en uppenbar bild. Tricket är att minnas att x fortfarande bara är ett tal, även när det dyker upp på två ställen. Vilket tal det än står för, att ta bort ett x från varje sida håller vågen i balans.
Textuppgifter: översättning, inte matematik
Merparten av algebran folk minns att de hatade låg begravd i textuppgifter. "Om ett tåg lämnar Chicago i sextio miles i timmen..." Räkningen i de här problemen är sällan svår. Översättningen från svenska (eller engelska) till algebra är det som får folk att snubbla.
Det finns en liten uppsättning fraser som nästan alltid betyder samma sak. "Är" eller "lika med" motsvarar "=". "Av" betyder vanligtvis multiplikation. "Mindre än" eller "färre än" betyder subtraktion, med ordningen omvänd: "fem mindre än x" är x minus 5, inte 5 minus x. "Summa" betyder addition. "Produkt" betyder multiplikation. "Per" betyder division. Att bygga den här ordboken är halva striden.
En textuppgift löses i tre steg:
- Namnge den obekanta. ("Låt x vara antalet äpplen.")
- Översätt den svenska meningen till en ekvation, en fras i taget.
- Lös ekvationen. (Räkningen, som är den lätta delen när ekvationen är skriven.)
Det svåraste steget är nästan alltid översättningen, och sättet att bli bättre på den är övning blandad med tålamod. Läs meningen högt. Identifiera vad som är obekant. Skriv ner vad varje fras representerar innan du skriver den fulla ekvationen. När ekvationen ligger på sidan är resten mekanisk.
Var algebra dyker upp efter åttan
Många elever antar att algebra är ett ettårsämne som tar slut när läroboken stängs. Motsatsen är sann. Algebra blir viktigare, inte mindre, när matematiken blir svårare.
Geometri är full av algebra. Att räkna ut den saknade sidan i en triangel, hitta arean av en oregelbunden form, eller bevisa ett resultat om parallella linjer reduceras nästan alltid till att lösa en ekvation.
Analys är i grunden avancerad algebra. Lutningen på en kurva, arean under den, förändringstakten hos en kvantitet, definieras alla genom algebraisk manipulation. Som vi täckte i inlägget om derivator från grunden är derivataformeln en omskrivning av bråk med gränsvärden fästa. En elev som aldrig slöt fred med att skriva om ekvationer kommer att kämpa med symbolskuffandet som analysen kräver.
Standardiserade prov. SAT, ACT, GRE och de flesta högskoleprov är till stor del algebraprov i förklädnad. Som vi skrev i SAT-förberedelseguiden är starkt algebraiskt flyt, inte avancerade ämnen, det som höjer poängen snabbast.
Statistik, finans, fysik, datavetenskap. Alla är skrivna i algebraisk notation. En formel i fysik är bara en ekvation. En modell i finans är bara ett ekvationssystem. En funktion i kod är algebran av indata och utdata. Notationen är samma notation, använd om och om igen.
Elever som kämpar i någon av de här senare kurserna kämpar vanligtvis med algebra från åttan som de aldrig befäste. Att täppa till det hålet lönar sig resten av utbildningen.
Varför algebra ofta undervisas dåligt
Om algebra är så grundläggande, varför lämnar så många elever högstadiet fortfarande rädda för den? Några ärliga skäl.
För det första hoppar introduktionen ofta över mening. Elever får en procedur ("isolera variabeln") innan de förstår varför isolering fungerar, eller vad ett likhetstecken faktiskt påstår. En procedur utan mening är bräcklig: glöm ett steg och alltihop rasar.
För det andra görs kopplingen till räkning inte explicit. Elever tror att de lär ett nytt ämne, när de i själva verket gör samma räkning de alltid gjort, med platshållare i några av facken. Hade samma lärare sagt "i dag gör vi räkning utom att några av talen inte avslöjas än" skulle hälften av rädslan dunsta.
För det tredje introduceras textuppgifter i volym innan översättningsfärdigheten är byggd. En elev som ännu inte är trygg med att läsa en enda mening som algebra begravs under tjugo flermeningarsproblem och drar slutsatsen att hen inte kan "riktig" matte. Hen kan. Hen fick helt enkelt inte tillräckligt med övning på översättningssteget ensamt.
Den goda nyheten är att att laga de här luckorna som tonåring eller vuxen går genuint fort. Algebra vilar på ett litet antal idéer, och när de idéerna kopplas känns reglerna uppenbara i stället för godtyckliga.
Öva tills det är automatiskt
Att läsa det här en gång ger dig bilden. Att göra algebra flytande är en separat uppgift, och den gynnas av kort, medveten övning snarare än långa pluggsessioner.
Drilla grunderna. Lös femtio enstegsekvationer i veckan i några veckor. x + 7 = 12. 4x = 24. x/3 = 9. Variationen är liten, och målet är att dragen ska bli automatiska, på samma sätt som ensiffrig multiplikation till slut blir. Som vi täckte i inlägget om huvudräkning är automatik på grunderna det som frigör hjärnan att arbeta på svårare steg senare.
Blanda operationerna. När enstegsekvationer känns tråkiga, blanda dem med tvåstegs-, sedan trestegsproblem. Blandad övning tvingar dig att identifiera vilket drag du ska göra, vilket är färdigheten som faktiskt spelar roll i verkliga problem. Som vi täckte i inlägget om spridd repetition är blandad övning det som bygger långtidsminne.
Kolla genom substitution. Efter att ha löst och fått , stoppa in 3: 3(3) + 5 = 14, sant. Den här vanan fångar nästan varje algebraiskt misstag på sekunder, och den dubblar som förstärkning av att likhetstecknet betyder "samma tal, två sätt." Substitution är den billigaste rimlighetskollen i matematik, och de flesta elever använder den aldrig.
Översätt meningar dagligen. Ta vilken mening som helst med ett tal i ("mötet är om femton minuter" eller "receptet dubblas för sex personer") och skriv om den som en liten ekvation. Översättning är en muskel. Fem meningar om dagen i några veckor gör textuppgifter från en vägg till en rutin.
Var Math Zen passar in
Math Zens bucket-progression följer rent hur algebra faktiskt vill läras. De tidigaste buckets täcker innebörden av variabler och enstegsekvationer, där uppsättningen drag är liten och målet är att göra operationerna automatiska. De mellersta buckets drillar flerstegsekvationer och distributiva lagen, med blandad övning så hjärnan lär sig identifiera rätt drag snarare än blint tillämpa ett flödesschema. De senare buckets arbetar på ekvationer med variabler på båda sidor, översättning av textuppgifter och små ekvationssystem.
Eftersom övningen är kort och spridd bygger du mönsterigenkänningen som gör algebra från ett ämne du överlever till ett verktyg du sträcker dig efter. De flesta behöver inte en handledare eller en tjockare lärobok. De behöver femton minuter om dagen, tre eller fyra gånger i veckan, på rätt sorts uppgift.
Slutsatsen
En variabel är ett tal du inte har hittat än. Likhetstecknet betyder "samma tal, skrivet på två sätt." Att lösa är att göra ogjort vad som gjordes med variabeln, tillämpat lika på båda sidor så vågen hålls i balans. Distributiva lagen är vad "grupper av" betyder när något är en summa. Textuppgifter är översättningar, och översättningen är den svåra delen, inte räkningen.
Det är hela grunden. Reglerna i din lärobok är inte separata fakta; de är hur meningen ser ut i stenografi. Om ett algebraproblem någonsin gör dig ställd, sträck dig inte efter regeln först. Läs vad ekvationen säger på vanligt språk, avgör vad som gjordes med x, och gör det ogjort. Svaret dyker vanligtvis upp innan proceduren gör det.
