Förstå negativa tal intuitivt (varför minus gånger minus blir plus)
Nästan alla kan säga att minus gånger minus blir plus. Betydligt färre kan säga varför, och de flesta som försöker faller tillbaka på "det är bara så regeln är" eller ett halvt ihågkommet talesätt om att två fel inte gör ett rätt, vilket är motsatsen till vad regeln faktiskt säger. Den ärliga bilden är att negativa tal oftast lärs ut som en lista med teckenregler att memorera, utan någon bild under. Reglerna känns då godtyckliga, och godtyckliga regler är precis de som tyst ramlar ihop på ett prov.
Lösningen är densamma som för varje annat ämne i den här serien. Under alla teckenregler ligger en enda idé, och när du ser den slutar du memorera "minus gånger minus är plus" och kan helt enkelt inte längre föreställa dig att det skulle fungera på något annat sätt. Den här artikeln är bilden: vad ett negativt tal faktiskt är, varför varje teckenregel måste vara sann, och hur du slutar tvivla på dem.
Ett negativt tal är en riktning, inte en mindre sorts tal
Den första reparationen är begreppslig. Många tänker i hemlighet på negativa tal som trasiga eller sämre tal, en slags skadad version av de riktiga. Det är de inte. Ett negativt tal är ett vanligt tal som också bär en riktning.
Föreställ dig tallinjen, med noll i mitten. Positiva tal är positioner till höger om noll. Negativa tal är positioner till vänster. Talet 5 och talet -5 ligger lika långt från noll. De är inte olika stora. De pekar åt motsatta håll. Minustecknet är inte en skada. Det är en pil.
Därför dyker negativa tal upp i samma ögonblick som en storhet kan gå åt två håll från en naturlig nolla. Temperatur över och under fryspunkten. Pengar du har och pengar du är skyldig. Steg framåt och steg bakåt. Höjd över och under havsytan. I varje fall är noll bara den överenskomna startpunkten, och tecknet registrerar vilken sida du befinner dig på. Som vi visade i artikeln om bråk kommer den mesta matteångesten från att behandla en notation som ett nytt slags objekt i stället för en ny etikett på något bekant. Ett negativt tal är ett bekant tal som bär en riktning.
Addition är att gå, och tecknet säger åt vilket håll
När tallinjen är bilden slutar addition att vara en regel och blir en promenad.
För att addera ett positivt tal går du åt höger. För att addera ett negativt tal går du åt vänster. Det är hela operationen. Börja på 3 och addera -5: starta på 3, gå 5 steg åt vänster, landa på -2. Du tillämpade ingen regel om "när tecknen är olika subtraherar du och behåller tecknet hos det större." Du gick bara, och svaret är där du stannade.
Därför ger 3 + (-5) och 3 - 5 samma svar. De är samma instruktion skriven två gånger: från 3, gå 5 steg åt vänster. Att addera ett negativt tal och subtrahera ett positivt är inte två fakta att memorera. De är en rörelse beskriven i två grammatiker. Läroboksregeln om lika och olika tecken är bara en verbal sammanfattning av "åt vilket håll går jag, och hur långt," och promenaden är alltid lättare att lita på än sammanfattningen.
Subtraktion är steget som alla snubblar på
Att addera negativa tal känns hanterbart. Att subtrahera dem är där självförtroendet kollapsar, nästan alltid vid en viss fras: att subtrahera ett negativt tal är samma sak som att addera ett positivt. Formulerad som regel låter det som ett trick. Det är det inte. Det följer av vad subtraktion betyder.
Subtraktion ställer en fråga om avstånd och riktning: "för att komma från det andra talet till det första, hur långt rör jag mig, och åt vilket håll?" 7 - 2 frågar hur man kommer från 2 till 7, vilket är 5 steg åt höger, så svaret är +5. Tillämpa nu samma fråga på 7 - (-2): hur kommer jag från -2 till 7? Det är 9 steg åt höger. Svaret är +9, vilket är exakt 7 + 2.
Ingenting vändes genom dekret. Att ta bort något vänstervänt knuffar dig åt höger, på samma sätt som att stryka en skuld på 50 kronor från dina böcker gör dig 50 kronor rikare även om inga kontanter kom in. Regeln "minus ett minus blir plus" är inte en egenhet i notationen. Den är vad borttagandet av en negativ storhet måste betyda, och skuldbilden gör det konkret: stryk det du är skyldig och du står bättre, med precis det belopp du var skyldig.
Varför minus gånger plus blir minus
Multiplikation med ett heltal börjar sitt liv som upprepad addition, ett samband vi lutade oss mot i artikeln om exponenter. 3 gånger 4 är 4 + 4 + 4. Behåll den betydelsen och den första teckenregeln för multiplikation skriver sig själv.
Vad är 3 gånger -4? Det är -4 adderat tre gånger: (-4) + (-4) + (-4). På tallinjen är det tre hopp på 4 åt vänster, med landning på -12. Alltså är plus gånger minus minus, inte för att en regel säger det, utan för att upprepad addition av en vänstervänd storhet fortsätter att flytta dig åt vänster. Multiplikationen har inte förändrats. Den är fortfarande upprepad addition. Den enda nya ingrediensen är att det som upprepas pekar åt andra hållet.
Varför minus gånger minus måste bli plus
Nu den berömda, regeln alla kan recitera och nästan ingen kan motivera. Det finns två rena sätt att se den, och att se båda är det som gör den permanent.
Det första är mönsterargumentet. Titta på vad som händer när du multiplicerar -3 med en kolumn krympande tal:
Varje gång den högra faktorn sjunker med 1 går resultatet upp med 3. Mönstret är stelt och självpålagt. Fortsätt det ärligt och du kan inte stanna: -3 × -1 måste vara +3, sedan måste -3 × -2 vara +6. Att göra minus gånger minus positivt är det enda sättet mönstret förblir konsekvent. Vilket annat val som helst skulle tvinga multiplikationen att hoppa oförutsägbart just när en faktor passerar noll, och en operation som beter sig så är oanvändbar för allt annat matematiken behöver den till.
Det andra är omvändningsargumentet, och det är det som tenderar att fastna. Multiplikation med ett negativt tal gör två jobb på en gång: den skalar med talets storlek, och den vänder dig till andra sidan noll, som en 180-graderssväng vänder riktningen du tittar åt. Multiplikation med -1 är precis den vändningen. Så att multiplicera med -1 två gånger är att vända och sedan vända tillbaka, vilket lämnar dig vänd åt ursprungligt håll. -1 gånger -1 är +1 av samma skäl som att vända sig om två gånger pekar dig dit du började. Minus gånger minus är plus för att två omvändningar tar ut varandra. Som vi visade i artikeln om algebra är de djupaste mattelreglerna nästan aldrig dekret. De är det enda alternativet som hindrar allt annat från att motsäga sig självt, och det här är det renaste exemplet på det i hela kursplanen.
Tecknet hos en produkt är bara en omvändningsräkning
Båda argumenten rinner samman i en vana du kan använda för alltid. Varje negativ faktor i en multiplikation är en omvändning. För att hitta tecknet hos en produkt sjunger du inte en regel. Du räknar minustecknen.
Ett jämnt antal negativa faktorer betyder ett jämnt antal vändningar, och du tittar framåt till slut, så produkten är positiv. Ett udda antal betyder att en vändning blir över, så produkten är negativ. (-2) × (-3) × (-4) har tre minustecken, ett udda antal, så resultatet är negativt, oavsett vilka siffror som står där. Storleken på svaret kommer från siffrorna. Tecknet kommer bara från omvändningsräkningen. Att skilja de två frågorna tar bort de flesta teckenfel folk gör under provtryck, för du jonglerar inte längre en kedja parvisa regler i huvudet. Du frågar bara: hur många vändningar, udda eller jämnt.
Division bär identisk logik, eftersom att dividera är att multiplicera med inversen, och att ta en invers rör aldrig tecknet. Räkna minustecknen där också. Det fanns aldrig en separat divisionsregel att memorera.
Varifrån misstagen egentligen kommer
Om negativa tal är så ordnade, varför orsakar de så mycket lidande långt upp i vuxen ålder? Felen samlas på några ärliga ställen, och att namnge dem är merparten av botemedlet.
Det första är det saknade minustecknet i en kedja steg, särskilt när man utvecklar över en subtraktion. Minuset är inte begreppsligt svårt där. Det är bara lätt att tappa, som en minnessiffra som tappas vid uppställning. Det är ett bokföringsslarv, inte ett förståelsegap, och vanorna kring räkneregler att sakta ner vid det riskabla steget är det som fångar det.
Det andra är att blanda ihop "negativ" med "subtrahera" för att de delar en symbol. I -5 är minuset en del av talet. I 8 - 5 är det en instruktion. Uttrycket -3 - (-7) innehåller båda betydelserna av samma symbol på en kort rad, och det är precis därför det ser skrämmande ut tills du läser varje minus som antingen en riktning eller en rörelse och går det på tallinjen.
Det tredje är att under press lita mer på den memorerade teckenregeln än på bilden. Bilden, promenaden, omvändningsräkningen överger dig aldrig. Regeln, framplockad i hast, kommer ofta lite fel, och så blir "två minus ger ett plus" felaktigt tillämpad på addition, där den helt enkelt är falsk. -3 + (-4) är -7, för att addera två vänstervända rörelser skickar dig längre åt vänster. Bilden skulle aldrig låta dig göra det misstaget. Det halvt ihågkomna slagordet bjuder in till det.
Där Math Zen kommer in
Math Zens bucket-progression är byggd för precis det ämne där en enda svag idé förgiftar allt nedströms, och negativa tal är det tydligaste fallet. De tidiga buckets övar tallinjen tills "negativ betyder andra hållet" är reflex i stället för uppläst, och tills att addera och subtrahera negativa tal är en promenad du inte behöver berätta. De mellersta buckets går över till multiplikation och division av tal med tecken, och blandar medvetet fallen så att du övar att räkna omvändningar i stället för att mönstermatcha ett enda prydligt exempel. De senare buckets viker tillbaka tal med tecken i algebra och aritmetik, där det verkliga testet av förståelse är om tecknet överlever ett flerstegsproblem, inte om du kan recitera regeln isolerat.
Eftersom övningen är kort och utspridd blir vanan att räkna omvändningar automatisk på samma sätt som entalig multiplikation till slut blev, och det är hela poängen med att öva i korta utspridda sessioner i stället för en lång pluggning. De flesta som lär sig har inte ett gap i negativa tal som behöver en tjockare lärobok. De har en saknad bild och några oövade repetitioner.
Sammanfattning
Ett negativt tal är ett vanligt tal som pekar åt andra hållet från noll. Addition är en promenad: addera ett positivt och kliv åt höger, addera ett negativt och kliv åt vänster, vilket är varför att addera ett negativt och subtrahera ett positivt är samma instruktion. Att subtrahera ett negativt är att addera ett positivt för att ta bort en vänstervänd storhet, som att stryka en skuld, knuffar dig åt höger. Minus gånger minus är plus för att multiplikation med ett negativt vänder riktning, och två omvändningar tar ut varandra, på samma sätt som att vända sig om två gånger lämnar dig vänd framåt.
Det är hela grunden. Listan med teckenregler i läroboken är inte en lista med separata fakta. Den är den här enda idén, riktning och omvändning, läst i olika situationer. När en teckenfråga stämmer dig, grip inte efter regeln. Lägg den på tallinjen, avgör åt vilket håll varje del pekar, och räkna omvändningarna. Tecknet blir rätt innan regeln skulle ha hunnit ladda.
