Förstå funktioner intuitivt

En funktion är en regel som tar en indata och ger tillbaka exakt en utdata. En varuautomat är en funktion: du trycker på B4, och du får samma snacks varje gång. Tryck B4 igen i morgon, samma snacks. Den förutsägbarheten, en indata avbildad på en utdata, är hela idén. Den här artikeln bygger bilden från grunden och visar sedan varför funktioner tyst sitter under nästan allt annat i matematiken.

Funktioner finns överallt i matematiken, men de introduceras ofta som abstrakt notation (f(x), definitionsmängd, målmängd) innan elever någonsin får en känsla för vad de är. Resultatet är många som kan räkna ut f(3) utan att någonsin se vad en funktion faktiskt gör.

Låt oss rätta till det.

En funktion är en maskin

Det renaste sättet att föreställa sig en funktion är som en maskin med en indataplats och en utdataplats. Du släpper ner något, maskinen bearbetar det enligt en fast regel, och ett resultat kommer ut.

Betrakta regeln "dubbla det." Stoppa in 3, få 6. Stoppa in 10, få 20. Stoppa in -2, få -4. Maskinen bryr sig inte om ditt humör eller klockslaget. Samma indata, samma utdata, varje gång.

Den pålitligheten är det avgörande draget. Regeln "ge mig ett tal mellan 1 och 10" är inte en funktion, för samma indata skulle kunna ge olika utdata. Men "dubbla det" beter sig alltid. En indata, en utdata.

Vi skriver den här maskinen som f(x) = 2x. f är maskinens namn. x är vad du matar den med. 2x är regeln den tillämpar. Så f(3) = 6 är bara kortskrift för "kör dubblermaskinen på indata 3."

Läsa notationen utan rädsla

Notationen f(x) snubblar fler elever än själva begreppet, mest för att den ser ut som multiplikation. Det är den inte. f(x) betyder inte f gånger x. Den betyder "utdata från f när indata är x."

Tänk på parenteserna som indataplatten på maskinen:

• f(2) betyder kör regeln på 2.
• f(a + 1) betyder kör regeln på storheten a + 1.
• f(vad som helst) betyder kör regeln på det som sitter inuti.

Om $f(x) = x^{2} + 1$, då är $f(4) = 4^{2} + 1 = 17$. Du släpper bara in 4 på varje ställe där x syns. Det är hela färdigheten. När notationen slutar se ut som multiplikation och börjar se ut som en märkt indataplats försvinner det mesta av förvirringen.

Definitionsmängd och värdemängd: vad som går in, vad som kommer ut

Varje maskin har gränser för vad den kan ta emot. En varuautomat tar mynt, inte snäckor. Funktioner är likadana.

Definitionsmängden är mängden av alla indata funktionen får ta. Värdemängden är mängden av alla utdata den faktiskt kan producera.

För f(x) = 2x kan du dubbla vilket reellt tal som helst, så definitionsmängden är alla reella tal, och du kan nå vilket reellt tal som helst som utdata, så värdemängden är också alla reella tal.

Men många funktioner har restriktioner, och restriktionerna är aldrig godtyckliga. De kommer från operationer som går sönder:

• $f(x) = 1/x$ kan inte ta emot 0, för division med noll är odefinierad. Definitionsmängden är varje reellt tal utom 0.
• f(x) = kvadratroten av x kan inte ta emot negativa tal (bland de reella talen), så definitionsmängden är $x \ge 0$.

Att hitta en definitionsmängd är egentligen att fråga: vilka indata skulle få den här maskinen att kärva? Uteslut dem, och du har svaret.

Grafen är en bild av maskinen

En graf är bara en visuell uppteckning av varje indata-utdatapar maskinen producerar. Den vågräta axeln håller indata, den lodräta axeln håller utdata, och varje punkt (x, y) säger "när du matar in x får du y."

Det ger oss ett snabbt visuellt test för om något ens är en funktion. Eftersom varje indata måste ge exakt en utdata kan ingen indata sitta ovanför två olika utdatavärden. Alltså:

Det lodräta linjetestet: om någon lodrät linje skär grafen mer än en gång är det inte en funktion.

En rät linje klarar det. En parabel klarar det. En cirkel faller, för de flesta lodräta linjer träffar den två gånger, vilket betyder att ett x-värde skulle avbildas på två y-värden. Maskinen skulle inte veta vilken utdata den ska ge, så en cirkel är inte en funktion.

Ett litet zoo av vanliga funktioner

När du ser funktioner som maskiner slutar de namngivna familjerna vara en lista att memorera och börjar vara karaktärer med personligheter:

• Linjär ($f(x) = mx + b$): ändras med konstant hastighet. Grafen är en rät linje. Det här är funktionen bakom allt som växer stadigt, som sträcka vid konstant fart.
• Andragrads ($f(x) = ax^{2} + bx + c$): stiger, vänder och faller (eller tvärtom). Grafen är en parabel, formen hos en kastad bolls bana.
• Exponentiell ($f(x) = a^{x}$): multiplicerar med samma faktor varje steg, så den växer chockerande fort. Det här är motorn bakom ränta på ränta och befolkningstillväxt. (Se förstå exponenter.)
• Logaritmisk: inversen till exponentiell, växer fort först och kryper sedan. (Se förstå logaritmer.)

Du behöver inte memorera deras formler för att känna igen dem. Du behöver veta formen var och en gör och det slags förändring den beskriver.

Kombinera och vända maskiner

Två idéer gör funktioner från isolerade regler till en verktygslåda.

Sammansättning är att mata en maskins utdata in i en annan. Om g dubblar ett tal och f lägger till 1, då betyder f(g(3)) dubbla 3 till 6, lägg sedan till 1 till 7. Du kedjar maskinerna. Det här dyker ständigt upp i analysen: kedjeregeln är precis regeln för att derivera sammansatta funktioner.

Inversa funktioner kör maskinen baklänges. Om f dubblar, halverar inversen. Om f lägger till 10, subtraherar inversen 10. En invers ångrar vad originalet gjorde, och tar utdata tillbaka till de indata som producerade dem. Inte varje funktion har en invers dock: bara de där varje utdata kom från en enda indata (annars skulle baklängeskörning vara tvetydig).

Varför funktioner sitter under allt

Här är utdelningen. Nästan varje avancerat ämne i matematiken är egentligen en fråga om funktioner:

• Ett gränsvärde frågar vilken utdata en funktion närmar sig när indata närmar sig något värde.
• En derivata mäter hur snabbt en funktions utdata ändras när dess indata ändras.
• En integral summerar en funktions utdata över ett spann av indata.

Om funktioner är vacklande känns hela analysen som dimma. Om funktioner är solida blir analysen en uppsättning naturliga frågor du kan ställa om en maskin: vart är den på väg, hur snabbt ändras den, hur mycket samlar den.

Varför det här spelar roll för lärandet

När du övar funktioner i Math Zen arbetar du genom problem som bygger från att beräkna f(x) och läsa grafer upp till definitionsmängd och värdemängd, sammansättning och inverser, med svårighet som anpassar sig till var du faktiskt är.

Maskinbilden hjälper för att:

• Att beräkna f(a + 1) slutar vara läskigt när du ser parenteserna som en indataplats.
• Frågor om definitionsmängd blir "vad skulle kärva den här maskinen?" i stället för en regel att memorera.
• Samma intuition bär rakt in i den spridda repetition du använder för att hålla idéerna fräscha, och in i varje analysämne som följer.

Sammanfattningen

En funktion är en pålitlig maskin: en indata, en utdata, varje gång. Notationen f(x) är bara en märkt indataplats, definitionsmängden är vad maskinen tar emot, värdemängden är vad den producerar, och grafen är en bild av alla dess indata-utdatapar.

Nästa gång du ser f(x), tänk inte "läskig algebra." Tänk: "vad gör den här maskinen med det jag matar den?" Den enda förskjutningen gör funktioner, och allt som byggs ovanpå dem, långt mer intuitiva.