Vad är i i matematiken? Imaginära tal förklarade intuitivt

Vad är i i matematiken?

I matematiken är i den imaginära enheten, talet definierat av $i^{2} = -1$. Den ger matematiken ett sätt att arbeta med kvadratrötter av negativa tal. Ett tal som 2i är imaginärt för att det är ett reellt tal multiplicerat med i, medan 3 + 4i är komplext för att det kombinerar en reell del med en imaginär del. Den användbara bilden är rotation: multiplikation med i vrider ett tal 90 grader i det komplexa planet.

Fråga någon vad ett imaginärt tal är och du får vanligtvis någon version av "kvadratroten ur minus ett" levererad i tonen av en bekännelse. Fråga varför kvadratroten ur minus ett ens skulle existera, och svaret är nästan alltid "matematiker definierade det bara så," vilket låter mindre som matematik och mer som en regel i ett brädspel. Av alla ämnen i skolans kursplan är imaginära tal det som oftast undervisas som ett rent dekret: det finns en symbol, den heter i, dess kvadrat är -1, var snäll och fråga inte vad den betyder.

Den undervisningen är precis bakvänd, och den här artikeln är bilden som vanligtvis lämnas utanför. Den imaginära enheten är inte ett trick eller en formalitet. Den är en riktning, på precis samma sätt som ett negativt tal är en riktning, och när du ser vilken riktning omorganiserar hela ämnet sig. Den definierande ekvationen $i^{2} = -1$ slutar vara en godtycklig regel och blir något du kan kolla med egna händer genom att vända dig om två gånger.

Det sämsta namnet i matematiken

Börja med namnet, för namnet gör verklig skada. "Imaginär" myntades som ett hån. René Descartes använde det 1637 för att avfärda de här talen som fiktioner du tvingades skriva ner medan du löste ekvationer men som omöjligen kunde betyda något. Förolämpningen fastnade, talen visade sig oumbärliga, och nu möter varje elev ett av de mest användbara objekten i matematiken iförd en etikett som säger att det är falskt.

Här är det historiska faktum som bör desarmera skräcken: negativa tal fick samma behandling. I århundraden avvisade seriösa matematiker negativa som absurda, för du kan inte hålla minus tre äpplen. Det som gjorde negativa legitima var inte en upptäckt att de fysiskt existerar. Det var en bild, tallinjen, där ett negativt är ett vanligt tal som pekar åt andra hållet, en idé vi byggde om från grunden i inlägget om negativa tal. Imaginära tal är exakt samma historia ett kapitel senare. De känns falska så länge du saknar bilden, och bilden, när du har den, är lika enkel: negativa pekar bakåt, imaginära pekar i sidled. Carl Friedrich Gauss såg problemet klart och föreslog att döpa om dem till laterala tal. Han hade rätt, namnet fastnade aldrig, och "lateral" är ordet att behålla i huvudet resten av artikeln.

Frågan som tvingade fram saken

Imaginära tal uppfanns inte på skoj. De trängde sig in genom en ärlig fråga: vilket tal, i kvadrat, ger -1?

På tallinjen har frågan inget svar, och det lönar sig att vara precis om varför. Kvadrering betyder att multiplicera ett tal med sig självt, så de två faktorerna har alltid samma tecken. Ett positivt gånger ett positivt är positivt. Ett negativt gånger ett negativt, som vändningsargumentet visade, är också positivt, för två vändningar tar ut varandra. Hur som helst landar resultatet på den positiva sidan. Ekvationen $x^{2} = -1$ ber om ett tal som hela tallinjen inte kan leverera, vilket är varför pq-formeln, behandlad i inlägget om andragradsekvationer, artigt rapporterar "inga reella lösningar" när diskriminanten blir negativ.

Länge lämnade matematiker det där. Det som ändrade deras sinne var inte filosofi utan räkning som vägrade stanna trasig. På 1500-talet fann italienska matematiker som löste tredjegradsekvationer att deras formler ibland gick rakt genom kvadratrötter av negativa tal på vägen till svar som uppenbart var korrekta, vanliga heltal du kunde verifiera för hand. Rafael Bombelli tog det avgörande steget: han behandlade de omöjliga rötterna som saker du kunde räkna med, följde reglerna och såg de imaginära delarna ta ut varandra, så att det rätta reella svaret blev kvar. Lärdomen var obekväm men omisskännlig. De här talen gjorde verkligt arbete, vare sig någon kunde säga vad de var eller inte.

Multiplikation med -1 är ett halvt varv

För att se vad i faktiskt är, börja med något du redan litar på. Multiplikation med -1 vänder ett tal till motsatt sida av noll: 5 blir -5, och -5 blir 5. På tallinjen är den vändningen en rotation. Multiplikation med -1 snurrar ett tal 180 grader runt noll, ett perfekt halvt varv, vilket är exakt varför multiplikation med -1 två gånger tar dig hem. Två halva varv blir ett helt varv, så -1 gånger -1 är 1. Det här var vändningsbilden från inlägget om negativa tal, och den är på väg att löna sig en andra gång.

Ställ nu den centrala frågan på rotationsspråk. Mysterietalet i måste uppfylla $i^{2} = -1$, vilket betyder: att tillämpa i två gånger gör samma sak som ett halvt varv. Alltså är i en operation som, gjord två gånger i rad, vrider dig 180 grader.

Säg det högt och svaret namnger sig självt. Vad gör du två gånger för att vända ryggen åt? Du tar ett kvartsvarv, två gånger. i är en 90-gradersrotation.

i är ett kvartsvarv, och den behöver ett plan

Ett kvartsvarv har en omedelbar konsekvens: det knuffar dig av linjen. Rotera talet 1 med 90 grader runt noll och du landar i en punkt en enhet rakt ovanför noll, en plats som tallinjen helt enkelt inte innehåller. Det här är den verkliga upptäckten som gömmer sig i imaginära tal, och det är steget de flesta förklaringar hoppar över. Problemet var aldrig att √-1 är omöjligt. Problemet är att tallinjen är för liten. Tal behöver inte leva på en endimensionell linje. De kan fylla ett tvådimensionellt plan.

Det planet kallas det komplexa planet, och det är inget mer exotiskt än en karta. Den bekanta tallinjen går vågrätt: positiva åt höger, negativa åt vänster. En ny axel går lodrätt, och i bor i punkten en enhet upp. Multipler av i fyller ut resten av den lodräta axeln, med 2i ovanför i och -i under noll. Den vågräta axeln kallas reell och den lodräta imaginär, men efter allt ovan, läs de etiketterna som öst-väst och nord-syd. Ingenting i den lodräta riktningen är mindre legitimt än den vågräta. Den är bara nyare.

Exempel på imaginära tal

Varje rent imaginärt tal är en reell multipel av i. Koefficienten talar om hur långt du ska röra dig längs den lodräta axeln i det komplexa planet.

Tal	Vad det betyder
i	En enhet ovanför noll
2i	Två enheter ovanför noll
-3i	Tre enheter under noll
3 + 4i	Ett komplext tal: tre enheter höger och fyra enheter upp

Det sista exemplet är komplext i stället för rent imaginärt för att det har både en reell del och en imaginär del. Reella tal, imaginära tal och kombinationer som 3 + 4i tillhör alla samma komplexa talsystem.

Varför $i^{2}$ måste vara -1

Med planet på plats bevisar den definierande ekvationen sig själv. Ta talet 1, sittande en enhet öster om noll. Multiplicera med i: rotera ett kvartsvarv moturs, och 1 flyttar till toppen av cirkeln och landar på i. Det är varför 1 × i = i, som det ska vara. Multiplicera med i igen: ytterligare ett kvartsvarv bär dig från norr till väster och landar en enhet till vänster om noll, på -1.

Två multiplikationer med i vände 1 till -1. I symboler, $i^{2} = -1$. Det finns inget dekret någonstans i det stycket. Ekvationen alla blir tillsagda att memorera är ett påstående om geometri: ett kvartsvarv, taget två gånger, är ett halvt varv.

Potenser av i upprepar sig var fjärde steg

Fortsätt multiplicera med i och punkten fortsätter ta kvartsvarv runt det komplexa planet:

Potens	Värde	Rotation från 1
i⁰	1	Ingen vridning
i¹	i	Ett kvartsvarv
i²	-1	Ett halvt varv
i³	-i	Tre kvartsvarv
i⁴	1	Ett helt varv

Den femte potensen startar samma cykel igen, så i⁵ = i. För att förenkla en större potens, dividera exponenten med fyra och använd resten för att hitta dess plats i cykeln. Det som ser ut som ett excentriskt algebrafaktum i en lärobok är ett hjul som går runt.

Komplexa tal är bara koordinater

När tal lever i ett plan behöver ett allmänt tal två koordinater, och det är allt ett komplext tal är. Uttrycket 3 + 4i är inte ett oavslutat additionsproblem, lika lite som koordinaterna för en stad är en oavslutad beräkning. Det är en adress: gå 3 österut, sedan 4 norrut. Den reella delen och den imaginära delen är longitud och latitud.

Räkningen behåller smakerna den har haft genom hela den här serien. Att addera komplexa tal är att gå: för att addera 3 + 4i och 1 - 2i, kombinera de östliga delarna, kombinera de nordliga delarna, och landa på 4 + 2i. Det är promenaden längs tallinjen från inlägget om negativa tal, uppgraderad till en karta. Multiplikation är där planet förtjänar sin plats: att multiplicera med ett komplext tal roterar och skalar på en gång, med talets vinkel och med dess avstånd från noll. Multiplikation med i är det rena kvartsvarvs-specialfallet av den allmänna regeln, och multiplikation med -1 är det rena halva-varvsfallet. Teckningsreglerna du redan kände var rotationsregler hela tiden, begränsade till en linje där de enda möjliga vridningarna var ingen och helt om.

Var imaginära tal gör verkligt arbete

En rimlig fråga återstår: visst är bilden elegant, men vem behöver tal som roterar? Svaret är alla vars problem roterar, oscillerar eller bildar vågor, vilket visar sig vara en stor del av vetenskap och teknik.

Växelström är det klassiska fallet. Spänning och ström i ett vägguttag oscillerar som snurrande hjul, komplett med fasskiftningar, och elektroingenjörer beskriver dem med komplexa tal för att multiplikation med ett komplext tal är exakt en rotera-och-skala, vilket är exakt vad kretsar gör med signaler. Signalbehandling går ännu djupare: Fouriertransformen, den matematiska motorn inuti musikkomprimering, medicinsk avbildning och trådlös kommunikation, bryter ner signaler i roterande komponenter skrivna som komplexa tal. Kvantmekaniken går längst av alla, med i orubbligt inuti Schrödingerekvationen. Och bron mellan tillväxt och rotation, formeln som gjorde all den här bokföringen mödolös, är ämnet för vårt inlägg om Eulers identitet, där exponentialfunktionen matas med en imaginär indata och, i stället för att växa, reser i en cirkel. Ingenting av det här maskineriet fungerar utan sidledsriktingen. "Imaginära" tal är bärande.

Var misstagen faktiskt kommer ifrån

Felen folk gör med i samlas på tre ställen, och alla tre löses upp under rotationsbilden.

Det första är att behandla i som en variabel, ett okänt x som kan vara vad som helst. i är inte okänt. Det är en specifik punkt i planet och en specifik rotation, lika konkret som -1. När du förenklar ett uttryck som i gånger i gånger i manipulerar du inte ett mysterium. Du räknar kvartsvarv: tre av dem pekar dig söderut, på -i.

Det andra är att missbruka kvadratrotsregeln. Elever lär sig att roten av en produkt är produkten av rötterna, och skriver sedan √-1 × √-1 = $\sqrt{1}$ = 1, vilket motsäger $i^{2} = -1$ och verkar ha sönder matematiken. Upplösningen är att den här regeln bevisades för ickenegativa tal och helt enkelt inte överlever resan till planet. Det pålitliga steget är att konvertera till i först, sedan räkna rotationer. Regeln misslyckades inte mystiskt; den användes utanför garantin.

Det tredje misstaget är det äldsta: att tro på namnet. Elever håller imaginära tal på armslängds avstånd, memorerar i stället för att förstå, för etiketten insisterar på att de här talen är fiktion. Laterala, inte imaginära. I sidled, inte falska. Ordförrådet är den svåraste delen av ämnet, och det är inte matematik.

Var Math Zen passar in

Imaginära tal sitter högst upp i ett torn, och varje vackling i tornet syns här. Att arbeta med a + bi lutar sig mot teckenräkning från lagret med negativa tal, mot att kombinera likartade termer från algebra, och mot andragradsekvationens diskriminant, där de flesta elever först ser en kvadratrot bli negativ. Math Zens nivåupplägg är byggd för att hålla de lägre våningarna solida: tidiga nivåer tränar teckenräkning och vändningsräkningen tills de är reflexer, mellanspannet sätter algebraisk manipulation och andragradsekvationer under tidspress, och senare nivåer blandar problemtyper så att ett tecken begravt tre steg djupt i en beräkning fortfarande kommer ut rätt.

Den sortens flyt är vad som gör språnget till i litet i stället för skrämmande, för språnget är genuint litet: en ny bild, sedan räkning du redan äger. Korta dagliga sessioner, i stil med spridd repetition, är hur de lägre våningarna hålls underhållna medan den nya våningen läggs på.

Poängen

Ett imaginärt tal är ett reellt tal som pekar i en ny riktning, rätvinkligt mot tallinjen, och i är kvartsvarvet som pekar det dit. Ekvationen $i^{2} = -1$ är inte en definition lämnad av en auktoritet. Den är observationen att två kvartsvarv blir ett halvt varv, och ett halvt varv är multiplikation med -1. Komplexa tal är koordinater i planet det här låser upp, addition går, multiplikation roterar och skalar, och hela apparaten driver den elektriska, signalbehandlande och kvantmekaniska maskineriet i den moderna världen.

Det enda genuint olyckliga med imaginära tal är namnet, en avfärdning från 1600-talet som överlevde sin författares skepsis med fyra århundraden. När ämnet kommer upp, översätt tyst: laterala tal, sidledstal, talen som klev av linjen. Då svarar frågan "hur kan kvadratroten ur minus ett existera" sig själv så som den svarade för Gauss. Den existerar en enhet norr om noll, ett kvartsvarv från där du redan stod.