Förstå andragradsekvationer intuitivt (varifrån lösningsformeln kommer)

För många elever är andragradsekvationens lösningsformel det första stycket matte som känns genuint skrämmande. Den är lång, den har en kvadratrot begraven i mitten, och den brukar anlända som något att memorera i stället för att förstå. Du rabblar "minus b plus eller minus kvadratroten ur b-kvadrat minus fyra a c, allt delat med två a" tills det sitter, använder den på ett prov, och får aldrig veta varifrån den kommer eller varför den fungerar.

Det är en missad chans, för andragradsekvationen är en av de mest användbara och visuella idéerna i algebran. Bakom den läskiga formeln finns en enkel form, en tydlig fråga, och en härledning du faktiskt kan följa. När du ser bilden slutar formeln att vara en trollformel och blir det uppenbara svaret på en rimlig fråga.

Vad en andragradsekvation faktiskt är

En andragradsekvation är vilken ekvation som helst där variabelns högsta potens är 2. Skriven i standardform ser den ut som $ax^{2} + bx + c = 0$, där a inte är noll. Det sista villkoret spelar roll: om a vore noll skulle kvadrattermen försvinna och du skulle sitta kvar med en vanlig rätlinjig ekvation, den sort som täcks i vår intuitiva algebraguide.

Kvadrattermen är hela personligheten hos en andragradsekvation. Som vi förklarar i varför x-kvadrat är upprepad multiplikation växer kvadrering mycket snabbare än vanlig multiplikation, och den behandlar positiva och negativa indata på samma sätt. Den symmetrin är precis det som böjer en andragradsekvation till en kurva i stället för en linje, och det är skälet till att en andragradsekvation kan ha två svar där en linjär ekvation bara har ett.

Formen bakom ekvationen: en parabel

Varje andragradsekvation, när du ritar den, ritar samma familj av form: en parabel, ett mjukt symmetriskt U. Den kan öppna uppåt eller nedåt och den kan sträckas eller klämmas, men den är alltid samma balanserade kurva. Att tänka på ekvationen som en funktion, där varje x matas in och ger en höjd, gör det konkret: parabeln är bara bilden av varje utdata på en gång.

Att lösa $ax^{2} + bx + c = 0$ är att ställa en precis geometrisk fråga: var skär den här kurvan den horisontella linjen på höjd noll, x-axeln? Den enda omramningen förklarar hela andragradsekvationernas beteende. En U-formad kurva kan skära en horisontell linje på två ställen, precis nudda den i botten, eller sväva ovanför och aldrig röra. De tre fallen är skälet till att en andragradsekvation har två lösningar, en lösning, eller inga reella lösningar. Ingenting av det är godtyckligt när du kan se kurvan.

Parabelns lägsta eller högsta punkt är dess vertex, och eftersom formen är symmetrisk sitter de två lösningarna alltid på lika avstånd på ömse sidor om den. Håll den symmetrin i minnet; den är nyckeln som låser upp varifrån formeln kommer.

Lösning genom faktorisering (när talen är vänliga)

Det snabbaste sättet att lösa en andragradsekvation, när den samarbetar, är faktorisering. Idén vilar på ett rent faktum: om två saker multiplicerade ger noll måste minst en av dem vara noll. Så om du kan skriva om a x-kvadrat plus b x plus c som en produkt som $(x - 3)(x - 4)$, då är ekvationen $(x - 3)(x - 4) = 0$ löst i samma ögonblick som du sätter varje bit till noll, vilket ger x lika med 3 och x lika med 4.

Faktorisering är snabbt och det får de två lösningarna att poppa ut, vilket är varför det är värt att prova först. Fällan är att det bara fungerar smidigt när talen ramlar in i heltalsfaktorer. Massor av verkliga andragradsekvationer gör det inte, och att jaga en faktorisering som inte finns slösar tid. Det är precis luckan som de nästa två metoderna fyller.

Kvadratkomplettering: idén som driver allt

Kvadratkomplettering är metoden de flesta elever gillar minst, och ändå är det den som är värd att förstå, för den är källan till själva lösningsformeln.

Målet är att skriva om ekvationen så att variabeln dyker upp inuti en enda fullständig kvadrat, något som (x plus p) kvadrat lika med q. När den är i den formen är lösningen lätt: ta kvadratroten av båda sidor, kom ihåg att en kvadratrot kan vara positiv eller negativ, och du är klar. Det "plus eller minus" från kvadratroten är precis varifrån de två symmetriska lösningarna kommer, sittande på lika avstånd på varje sida om vertex.

Geometriskt är "kvadratkomplettering" bokstavligen det. Du har en x-kvadrat-bit och några rektangulära bx-bitar, och du arrangerar om dem så att de nästan bildar en större kvadrat, och lägger sedan till det lilla hörnstycket som behövs för att avsluta den. Mängden du lägger till för att komplettera det hörnet är det som förskjuter ekvationen till fullständig kvadratform. Metoden är inte ett trick draget ur tomma intet; den är att fylla i en bokstavlig geometrisk kvadrat.

Varifrån lösningsformeln kommer

Här är delen läroböcker vanligtvis hoppar över. Lösningsformeln är inte ett separat faktum att memorera. Den är vad du får när du kvadratkompletterar den allmänna ekvationen $ax^{2} + bx + c = 0$ en gång, med bokstäver i stället för tal.

Om du kvadratkompletterar den allmänna formen, och tar a, b och c genom samma steg du skulle använda på vilken specifik andragradsekvation som helst, är resultatet som ramlar ut x lika med minus b, plus eller minus kvadratroten ur b-kvadrat minus fyra a c, allt delat med två a. Det är hela formeln, och varje del av den har nu en betydelse. Delen minus b över två a är x-koordinaten för vertex, symmetrins centrum. Kvadratrotsdelen är hur långt de två lösningarna sitter ut från det centrumet. Plus eller minus är parabelns symmetri gjord till algebra.

Så formeln är bara kvadratkomplettering gjord en gång, i förväg, för varje möjlig andragradsekvation, så att du aldrig behöver göra den för hand igen. Sett så är den inte en trollformel alls. Den är en genväg någon redan räknat ut åt dig.

Att läsa diskriminanten

Inne i formeln sitter ett litet uttryck som gör mycket arbete: b-kvadrat minus fyra a c, delen under kvadratroten. Den kallas diskriminanten, och den svarar "hur många lösningar" innan du är klar med att lösa.

Om b-kvadrat minus fyra a c är positiv är kvadratroten ett reellt tal och plus eller minus ger två skilda lösningar: parabeln skär x-axeln två gånger. Om den är exakt noll lägger plus eller minus till ingenting och du får en enda lösning: parabeln nuddar axeln precis vid vertex. Om den är negativ är kvadratroten ur ett negativt tal inte ett reellt värde, så det finns inga reella lösningar: parabeln svävar helt ovanför eller under axeln. Ekvationen har fortfarande lösningar i det komplexa talsystemet, där den imaginära enheten i kommer in. En snabb beräkning talar om vilket av de tre reella bilderna du tittar på.

Där andragradsekvationer dyker upp i verkliga livet

Andragradsekvationer är inte klassrumsdekoration. De beskriver varje situation där en storhet beror på kvadraten av något, och sådana finns överallt.

Kasta en boll och dess höjd över tid ritar en parabel, vilket är varför "när landar den" löses genom att sätta en andragradsekvation till noll. Ge en bonde en fast längd stängsel och be om den största rektangulära arean, och svaret bor vid vertex hos en andragradsfunktion. Bromssträcka växer med kvadraten på hastigheten, vilket är varför en liten ökning i hastighet är så farlig. Intäkt som stiger, toppar och faller när du ändrar ett pris är också av andra graden, så företag använder vertex för att hitta bästa priset. Samma U-formade kurva fortsätter att dyka upp för att kvadrering är ett så naturligt sätt för världen att bete sig.

Där folk kör fast

Några förutsägbara halkningar orsakar de flesta andragradsfelen. Den största är att glömma plus eller minus när man tar en kvadratrot, vilket tyst kastar bort en av de två lösningarna. När en kvadratrot dyker upp i lösningen ligger båda tecknen på bordet.

En annan är att hantera standardformen fel. Formeln förutsätter att ekvationen är satt lika med noll, så en andragradsekvation som x-kvadrat lika med 2x plus 3 måste arrangeras om till x-kvadrat minus 2x minus 3 lika med 0 innan du läser av a, b och c. Att hoppa över det steget matar in fel tal i formeln. Ett tredje är att tappa ett minustecken på b eller c när man sätter in, vilket formeln är oförlåtande om. Att skriva a, b och c explicit innan du rör formeln förhindrar de flesta av de här.

Där Math Zen kommer in

Andragradsekvationer är ett perfekt exempel på ett ämne som belönar Math Zens förstå-först-automatisera-sedan-ansats. Tidiga buckets förankrar bilden: parabeln, frågan om var den korsar noll, och varför två lösningar dyker upp. Mellersta buckets övar faktorisering på vänliga andragradsekvationer tills mönstren är omedelbara, och blandar sedan in kvadratkomplettering så att formeln har rötter i stället för bara att vara memorerad.

Senare buckets tar in diskriminanten, vertex, och textuppgifter där du måste bygga andragradsekvationen själv innan du löser den. Eftersom övningen är kort och utspridd går stegen från ansträngande till automatiska utan plugga-och-glömma-cykeln, och formeln slutar som något du förstår i stället för något du fruktar.

Sammanfattning

En andragradsekvation är vilken ekvation som helst byggd på en kvadratterm, och dess graf är alltid en parabel, ett symmetriskt U. Att lösa den betyder att hitta var den kurvan korsar noll, vilket är varför det kan finnas två lösningar, en, eller inga. Faktorisering hanterar de vänliga fallen, kvadratkomplettering hanterar resten, och lösningsformeln är helt enkelt kvadratkomplettering gjord en gång för varje andragradsekvation samtidigt. Diskriminanten talar om antalet lösningar i förväg, och plus eller minus är parabelns symmetri skriven i symboler.

Håll bilden av U:et som korsar axeln i huvudet och lösningsformeln slutar vara en sträng symboler att frukta. Den blir det naturliga svaret på en enkel fråga du faktiskt kan se.