Matematiken du behöver för fysik: vad du bör öva före AP Physics 1 och A-Level

En elev kan förklara Newtons andra lag tydligt, rita ett korrekt fritt kropp-diagram, ställa upp rätt ekvation och ändå förlora poängen. Misslyckandet sker två rader senare: en formel skrivs om fel, sinus används där kosinus hör hemma, eller en hastighet i kilometer per timme multipliceras med en tid i sekunder.

Fråga en fysiklärare var poängen försvinner, och svaret är sällan att de inte förstod fysiken. Det är algebra, trigonometri och enheter. Det är matematiska färdigheter, och de kan övas separat från fysiken som använder dem.

Den här artikeln kartlägger matematiken bakom det första året i fysik, ämne för ämne, så att du kan öva just den färdighet som brister i stället för att läsa om ett kapitel du redan förstår. Den är skriven för elever som förbereder sig för AP Physics 1 eller A-Level Physics, och för alla som börjar med vår systerapp Physics Zen och undrar varför algebran fortsätter att bita.

Att skriva om formler är färdigheten du använder i varje ämne

Fysikformler ges nästan aldrig i den form de är tryckta i. Formelbladet ger dig $v = u + at$; frågan efterfrågar tiden. Det ger dig $F = ma$; frågan ger kraften och accelerationen och vill ha massan.

Att skriva om en formel är vanlig algebra: gör samma operation på båda sidor tills den okända står ensam. Felen är också vanliga. Att bara subtrahera en term från ena sidan. Att dividera en term i en summa i stället för hela summan. Att flytta en kvadrerad storhet och glömma kvadratroten på andra sidan.

Ett användbart exempel är centripetalaccelerationen $a = \frac{v^2}{r}$. Att lösa ut radien innebär att multiplicera båda sidor med $r$ och dividera med $a$, vilket ger $r = \frac{v^2}{a}$. Att lösa ut hastigheten kräver en kvadratrot på slutet, $v = \sqrt{ar}$. Elever som når fram till $v = \frac{ar}{1}$ har inte gjort ett fysikfel, de har hoppat över ett algebrasteg.

Om något av detta känns långsamt övar Math Zens algebraämne förenkling, lösning och omskrivning med nya tal varje gång, och algebraguiden förklarar varför stegen är tillåtna. I Physics Zen dyker samma färdighet upp direkt i det gratis kinematikämnet, där varje uppgift ger dig en ekvation att vända på.

Andragradsekvationer dyker upp så fort gravitationen gör det

Likformig acceleration ger ekvationen

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Så fort den okända är tiden är detta en andragradsekvation. En boll som kastas uppåt med $15\ \text{m/s}$ från en avsats $20\ \text{m}$ ovanför marken når marken när

$$0 = 20 + 15t - 4.9t^2$$

Andragradsformeln ger två rötter, ungefär $t = 4.07\ \text{s}$ och $t = -1.00\ \text{s}$. Bara den positiva roten beskriver en tid efter kastet. Fysiken talar om vilken rot du ska behålla, algebran talar om vilka rötterna är. Båda stegen måste vara rätt.

De vanliga matematiska felen här är teckenfel inuti formeln, att använda $b$ i stället för $-b$, och räknefel under kvadratroten. Vart och ett övas i Att lösa ekvationer på Math Zen, och guiden om andragradsekvationer visar varför formeln fungerar. Kaströrelse- och fritt fall-problem i Physics Zens kinematik använder den sedan med nya utgångshastigheter varje gång.

Trigonometri gör om en lutning till två tal

Krafter på ett lutande plan, spänning i ett vinklat rep, utskjutningshastigheten för en kaströrelse: allt detta måste delas upp i komponenter. Det är trigonometri för rätvinkliga trianglar, inget mer avancerat.

Regeln som förhindrar de flesta felen: komponenten närliggande den kända vinkeln använder kosinus; komponenten motstående den använder sinus. På en lutning med vinkeln $\theta$ är tyngdens komponent längs lutningen $mg\sin\theta$, och komponenten in i lutningen är $mg\cos\theta$.

Kontrollera med ett gränsfall. Vid $\theta = 0$ är ytan platt och ingenting ska dra klossen längs den. Eftersom $\sin 0 = 0$ klarar sinusversionen testet. Om du i stället hade skrivit $mg\cos\theta$ för kraften längs lutningen skulle det platta fallet ge en full $mg$ som drar i sidled, vilket uppenbart är fel. Den trettio sekunder långa kontrollen fångar det vanligaste trigonometrifelet inom mekaniken.

Math Zen har ett eget trigonometriämne för just detta, och vektorämnet tar upp att sätta ihop komponenter igen. Läs trigonometriguiden först om sinus och kosinus fortfarande känns som en tabell med värden snarare än koordinater på en cirkel. På fysiksidan är det lutande planet den sista färdigheten i Physics Zens dynamik.

Potenser, rötter och den omvända kvadraten

Rörelseenergin är $\tfrac{1}{2}mv^2$. Centripetalaccelerationen är $\frac{v^2}{r}$. Gravitationsfältets styrka är $\frac{GM}{r^2}$. Fysiken är full av kvadrater i täljare och nämnare, och var och en av dem skapar en fråga om proportionellt resonemang.

Dubblera hastigheten och rörelseenergin blir fyra gånger större. Dubblera omloppsradien och tyngdaccelerationen vid ytan sjunker till en fjärdedel. Trippla hastigheten på samma kurva och kraften som krävs för centripetalrörelsen växer nio gånger. Examinatorer älskar dessa frågor eftersom räkningen är trivial men resonemanget inte är det.

Två matematiska vanor är viktiga här. För det första, veta hur en potens svarar på att basen skalas: om $v$ multipliceras med $k$, multipliceras $v^2$ med $k^2$. För det andra, vara bekväm med grundpotensform, eftersom $G = 6.67 \times 10^{-11}$ och jordens massa $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$ kommer att multipliceras med varandra i samma uppgift.

Färdigheten potenser och rötter på Math Zen övar båda delarna, och exponentguiden förklarar vad en negativ exponent faktiskt betyder. Gravitation finns under cirkelrörelse och gravitation på Physics Zen.

Förhållanden, proportioner och enhetsomvandlingar

En bil som kör i $72\ \text{km/h}$ bromsar under $4\ \text{s}$. Innan någon fysik kan ske måste den hastigheten bli $20\ \text{m/s}$. Att dividera med $3.6$ är inget fysikfaktum, det är $1000$ meter per kilometer delat med $3600$ sekunder per timme.

Enhetsomvandling är proportionellt resonemang. Det är också densitetsfrågor, frågor om "hur många gånger mer", och alla problem som ger två storheter i ett fast förhållande. Felmönstret är alltid detsamma: att multiplicera där du borde dividera, eller att bara omvandla en av två enheter i en sammansatt storhet som $\text{km/h}$.

Färdigheten förhållanden och proportioner på Math Zen tar upp detta direkt, med en fylligare förklaring i guiden om förhållanden. Likformig rörelse i Physics Zen, den allra första färdigheten i det gratis kinematikämnet, kräver samma omvandling i nästan varje uppgift.

Att läsa grafer: lutning och area

Hastighet-tid-grafer är den enskilt mest examinerade representationen under det första fysikåret. Lutningen är accelerationen. Arean mellan linjen och tidsaxeln är förflyttningen. Position-tid-grafer ger hastigheten som lutning. Fysiken ligger i att veta vilken storhet som hör hemma var; matematiken ligger i att läsa en lutning och beräkna en area korrekt.

De vanliga felen är att läsa av grafens höjd när frågan gäller dess lutning, och att glömma att arean under axeln räknas som negativ förflyttning. Båda är fel i att läsa matematik snarare än fysikfel.

Math Zens ämne för grafanalys övar skärningspunkter, lutningar och grafers beteende utan någon fysik kopplad till det. Om du senare går vidare till en kalkylbaserad kurs visar derivataguiden och integralguiden att "lutning" och "area" är samma idéer gjorda exakta.

Två okända behöver två ekvationer

Vissa problem kan inte lösas en ekvation i taget. En elastisk stöt bevarar både rörelsemängd och rörelseenergi, vilket ger två ekvationer i två sluthastigheter. En krets med två batterier behöver Kirchhoffs slingregel skriven för två slingor. En kaströrelsefråga kan kombinera en horisontell och en vertikal ekvation som delar flygtiden.

Det här är ekvationssystem, och felmönstret är att sätta in i fel ekvation eller tappa bort vilken variabel som eliminerades. Färdigheten linjära system på Math Zen övar mekaniken i substitution och eliminering. På Physics Zen dyker samma struktur upp inom rörelsemängd och stötar och inom kretsar.

En övningsplan som använder båda apparna

Tabellen nedan parar ihop varje fysikämne med den matematiska färdighet som oftast brister inuti det.

Fysikämne (Physics Zen)	Matematisk färdighet som brister mest (Math Zen)
Likformig rörelse	Förhållanden och enhetsomvandling
Likformig acceleration, fritt fall	Omskrivning av formler, andragradsekvationer
Kaströrelse	Trigonometri, andragradsekvationer, ekvationssystem
Newtons lagar, friktion, lutande plan	Trigonometri, lösning av linjära ekvationer
Arbete, energi, effekt	Potenser och rötter, proportionellt resonemang
Rörelsemängd och stötar	Linjära system
Cirkelrörelse och gravitation	Kvadrater i bråk, grundpotensform
Graffrågor inom vilket ämne som helst	Lutning, area, grafers beteende

En hanterbar rutin är kort. Lägg tio minuter på den matematiska färdigheten i högerkolumnen med nygenererade uppgifter, gå sedan vidare till fysikämnet till vänster och lös uppgifter tills algebran slutar vara det du lägger märke till. Båda apparna genererar nya tal varje gång, så du kan inte memorera svar, bara metoder.

Physics Zen byggs av samma team som Math Zen och följer samma slinga: en genererad uppgift, en omedelbar kontroll, en genomarbetad lösning och teorin bredvid uppgiften. Kinematik är gratis rakt igenom. Appen finns för iPhone och Android. För den omvända vyn listar Physics Zens blogg fysikmisstag som egentligen är matematikmisstag och vad du bör öva för varje ett.

Du behöver inte mer fysik för att fixa ett tappat tecken. Du behöver fem minuter rätt algebra, och sedan får den fysik du redan förstår den poäng den förtjänar.