Интегрирование по частям: примеры, выбор u и проверка ответа

Рассмотрим $\int x e^{2x}\,dx$. Правило интегрирования степенной функции не охватывает всё произведение, а если проинтегрировать только $e^{2x}$, множитель $x$ останется. Интегрирование по частям помогает выбрать направление работы с произведением: продифференцировать упрощающийся множитель, проинтегрировать тот, с которым удобно работать, а затем вычислить оставшийся более простой интеграл.

В этом уроке мы подробно решим примеры интегрирования по частям: от одного произведения до повторного применения и определённых интегралов. Если хотите сначала разобраться в смысле интеграла, прочитайте наше руководство по интегралам. Полезно также руководство по производным, потому что лучший способ проверить ответ здесь состоит в его дифференцировании.

Откуда берётся формула

Правило дифференцирования произведения даёт $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$. Проинтегрируйте обе части и перенесите одно слагаемое. Получится формула интегрирования по частям, приведённая в OpenStax Calculus, Volume 2:

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Здесь $u$ является выражением, которое вы решили дифференцировать, а $dv$ тем, которое решили интегрировать. После нахождения $du$ и $v$ новый интеграл $\int v\,du$ должен быть проще исходного. Если он стал сложнее, пересмотрите разбиение. Формула следует из алгебраического преобразования правила произведения, но не гарантирует, что любое разбиение поможет.

Для неопределённого интеграла не забудьте в конце константу $C$. При выборе первообразной для $v$ к ней можно прибавить константу, но проще взять одно удобное $v$, а $C$ добавить к окончательному ответу.

Выбирайте u и dv с определённой целью

Полезный вопрос: «Какой множитель упрощается при дифференцировании?» Например, многочлен $x^2$ превращается в $2x$, затем в $2$, а потом в ноль. Логарифм превращается в $1/x$, что часто удобно сочетается с остальной частью выражения. При этом экспонента, синус и косинус остаются несложными для многократного интегрирования.

Известная мнемоника LIATE расставляет логарифмические, обратные тригонометрические, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные множители по приоритету при выборе $u$. OpenStax представляет её как эвристическое правило, а не теорему. Вместо того чтобы слепо доверять первой букве, оцените получившийся $\int v\,du$. Другое разбиение может быть короче, а некоторые произведения лучше решать заменой переменной.

Например, в $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ есть внутренняя функция $x^2$ и её производная $2x$. Положите $t=x^2$. Тогда $dt=2x\,dx$ и интеграл равен $\sin(x^2)+C$. Интегрирование по частям лишь усложнило бы простую композицию. Напротив, у $x e^{2x}$ нет столь прямого сочетания внутренней функции с её производной, а дифференцирование $x$ убирает этот множитель.

Перед вычислением составьте небольшую таблицу из двух столбцов: $u$ и $du$ в одном, $dv$ и $v$ в другом. Затем спросите себя, даёт ли произведение $v$ и $du$ более простой интеграл. Такая проверка помогает избежать частой ошибки: брать за $u$ легко интегрируемый множитель только потому, что он выглядит знакомым.

Пример 1: линейный множитель и экспонента

Найдём $\int x e^{2x}\,dx$. Возьмём $u=x$, тогда $du=dx$. Возьмём $dv=e^{2x}\,dx$, откуда $v=\frac12e^{2x}$. Множитель $\frac12$ важен: при дифференцировании $e^{2x}$ появляется дополнительная двойка.

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

Продифференцируйте ответ в вынесенной за скобки форме. По правилу произведения получаем $\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$, что упрощается до $x e^{2x}$. Мы в точности восстановили подынтегральное выражение. Если бы проверка дала $2x e^{2x}$, вероятной причиной было бы отсутствие $\frac12$ при интегрировании $e^{2x}$.

Здесь виден и момент, когда метод заканчивается: производная $x$ постоянна, поэтому в оставшемся интеграле есть только экспонента. Именно это и означает «проще» в данном примере.

Пример 2: интегрируем логарифм

Найдём $\int\ln x\,dx$ при $x>0$. Явного произведения нет, но можно добавить множитель единицу: $\ln x=1\cdot\ln x$. Выберите $u=\ln x$ и $dv=dx$. Тогда $du=\frac1x\,dx$ и $v=x$.

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

Проверка короткая: $\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$. Область $x>0$ позволяет писать $\ln x$ и $1/x$, не переходя через ноль. Более общая первообразная $x\ln|x|-x+C$ подходит на промежутках, не содержащих ноль, но в поставленной задаче остаёмся на положительной полуоси.

Если выбрать $u=1$ и $dv=\ln x\,dx$, для нахождения $v$ уже пришлось бы знать исходный интеграл. Такое круговое разбиение показывает, почему здесь логарифм следует брать за $u$.

Пример 3: повторяем метод, пока многочлен не исчезнет

Найдём $I=\int x^2\sin x\,dx$. Дифференцирование $x^2$ понижает его степень, а синус интегрировать несложно. Сначала возьмём $u=x^2$ и $dv=\sin x\,dx$, так что $du=2x\,dx$ и $v=-\cos x$:

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

В оставшемся интеграле по-прежнему есть произведение. Обозначим $J=\int x\cos x\,dx$ и ещё раз применим интегрирование по частям: $u=x$, $du=dx$, $dv=\cos x\,dx$, $v=\sin x$. Тогда

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

Подставьте этот результат в $I$:

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

Теперь дифференцируйте по слагаемым. Производная $-x^2\cos x$ равна $-2x\cos x+x^2\sin x$. Производная $2x\sin x$ равна $2\sin x+2x\cos x$, а производная $2\cos x$ равна $-2\sin x$. Все лишние слагаемые сокращаются, и остаётся $x^2\sin x$. Это сокращение хорошо проверяет и знак при интегрировании синуса, и двойку, полученную при дифференцировании $x^2$.

Повторное интегрирование по частям полезно, когда каждый шаг уменьшает один из множителей. Если новый интеграл похож на исходный, его иногда можно решить, перенеся исходный интеграл в одну сторону уравнения. Но не применяйте формулу снова и снова без ясного пути к завершению.

Пример 4: сохраняем пределы определённого интеграла

Вычислим $\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$. Множитель $x$ легко интегрировать, а дифференцирование $\ln(1+x)$ даёт $1/(1+x)$. Выберите $u=\ln(1+x)$ и $dv=x\,dx$. Тогда $du=\frac{1}{1+x}\,dx$ и $v=x^2/2$. Для определённого интеграла формула имеет вид $\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$.

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

Деление многочленов даёт $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$. Интеграл от этого выражения от нуля до единицы равен $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$. Следовательно,

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

Положительный результат правдоподобен, поскольку $x\ln(1+x)$ неотрицательно на $[0,1]$. Независимую алгебраическую проверку даёт первообразная $\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$: подстановка единицы и нуля также даёт $1/4$. В определённых интегралах переносите те же пределы в новый интеграл. В окончательном числовом ответе $+C$ не пишут.

Три задачи для тренировки с решениями

1. Многочлен и экспонента. Найдите $\int 3x e^x\,dx$.

Возьмите $u=3x$ и $dv=e^x\,dx$. Тогда $du=3\,dx$ и $v=e^x$, поэтому

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

Продифференцируйте $3e^x(x-1)$: получится $3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$. Результат совпадает с исходным подынтегральным выражением.

2. Логарифм с множителем. Найдите $\int x\ln x\,dx$ при $x>0$.

Выберите $u=\ln x$ и $dv=x\,dx$. Тогда $du=dx/x$ и $v=x^2/2$:

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

Дифференцирование даёт $x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$. Если оставить оба слагаемых $x/2$ видимыми, ход проверки легче проследить.

3. Определённый интеграл. Вычислите $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$.

Возьмите $u=x$ и $dv=\cos x\,dx$, тогда $du=dx$ и $v=\sin x$. Подставьте пределы после шага интегрирования по частям:

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

И $x$, и $\cos x$ на этом промежутке неотрицательны, а $\pi/2-1$ положительно. Дифференцирование $x\sin x+\cos x$ даёт $x\cos x$ и подтверждает первообразную, использованную при подстановке пределов.

Для тренировки в выборе первообразных откройте тему интегралов в Math Zen. Пример более позднего применения повторных методов интегрирования вы найдёте в руководстве по преобразованиям Лапласа.