Как выбрать u при замене переменной?

Ищите внутреннюю функцию, производная которой тоже есть в подынтегральном выражении, хотя бы с точностью до постоянного множителя. В 2x(x² + 1)^5 внутренняя функция x² + 1, а её производная 2x стоит снаружи, поэтому u = x² + 1 напрашивается сама.

А если производная совпадает только с точностью до константы?

Постоянный множитель не мешает. Если u = x², то du = 2x dx, значит x dx = du/2, и 1/2 выносится за знак интеграла. Так можно поступать только с константами; недостающий множитель x делением не исправить.

Нужно ли менять пределы в определённом интеграле?

Либо пересчитайте пределы в значения u и больше не возвращайтесь к x, либо сначала найдите первообразную по x и подставьте исходные пределы. Смешивать подходы, новое подынтегральное выражение со старыми пределами, это самая частая ошибка.

Как проверить ответ, полученный заменой переменной?

Продифференцируйте результат по правилу цепочки. Должно получиться ровно исходное подынтегральное выражение. Для определённого интеграла быстрая численная прикидка тоже ловит неверный знак или потерянный множитель.

Замена переменной в интеграле: примеры, выбор u и проверка

Рассмотрим $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ . Ни одно базовое правило не интегрирует такое произведение напрямую, а ответ при этом короткий: $\sin(x^2)+C$ . Продифференцируйте $\sin(x^2)$ по правилу цепочки, и получится $\cos(x^2)\cdot2x$ , то есть подынтегральное выражение. Замена переменной позволяет находить такие ответы целенаправленно. Это правило цепочки, применённое в обратную сторону: найти внутреннюю функцию, обозначить её $u$ и дать её производной поглотить оставшийся множитель.

Ниже разобраны шесть примеров замены переменной: от простого случая до постоянных множителей, логарифмов, определённых интегралов с новыми пределами и замены, при которой приходится выражать $x$ через новую переменную. Если правило цепочки пока даётся неуверенно, сначала разомнитесь на примерах на правило цепочки: каждая проверка ниже опирается на него.

Правило в одной строке

OpenStax Calculus, том 1, §5.5 формулирует замену переменной для неопределённых интегралов так: если $u=g(x)$ и $F$ первообразная для $f$ , то

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.

На практике пишут $u=g(x)$ и $du=g'(x)\,dx$ , переписывают весь интеграл через $u$ , интегрируют и возвращаются к исходной переменной. Проверка удачного выбора простая: после замены не должно остаться ни одного $x$ . Если остался, выразите его через $u$ или выберите другое $u$ .

Как выбрать u

Ищите функцию, вложенную в другую: в степень, под корень, в показатель или внутрь тригонометрической либо логарифмической функции. Затем спросите себя, умножается ли остальное на её производную, возможно с постоянным множителем.

Подынтегральное выражение	Внутренняя функция	Её производная	Есть?
$2x(x^2+1)^5$	$x^2+1$	$2x$	Да
$xe^{x^2}$	$x^2$	$2x$	С точностью до множителя 2
$\frac{\ln x}{x}$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$	Да
$e^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Нет, замена не работает

Последняя строка важна. $\int e^{x^2}\,dx$ похож на вторую строку, но без множителя $x$ у $du$ нечего поглощать, и у этого интеграла вообще нет элементарной первообразной. Замена переменной не фокус, который срабатывает всегда; она срабатывает, когда производная на месте.

Пример 1: производная уже есть

Найдите $\int 2x(x^2+1)^5\,dx$ . Пусть $u=x^2+1$ , тогда $du=2x\,dx$ . Множитель $2x\,dx$ в точности равен $du$ :

\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.

Проверка: производная от $\frac{(x^2+1)^6}{6}$ равна $(x^2+1)^5\cdot2x$ . Можно было бы раскрыть $(x^2+1)^5$ и проинтегрировать почленно, но это гораздо дольше и чревато арифметическими ошибками.

Пример 2: не хватает постоянного множителя

Найдите $\int xe^{x^2}\,dx$ . При $u=x^2$ получаем $du=2x\,dx$ , но в подынтегральном выражении есть только $x\,dx$ . Разделим на два: $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ .

\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.

Вынести $\frac{1}{2}$ за знак интеграла можно, потому что это константа. С недостающим множителем-переменной так поступать нельзя: $\int e^{x^2}\,dx$ не спасти записью $dx=\frac{du}{2x}$ , потому что тогда $x$ останется внутри интеграла по $u$ .

Пример 3: логарифм как внутренняя функция

Найдите $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ при $x>0$ . Пусть $u=\ln x$ , тогда $du=\frac{1}{x}\,dx$ :

\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.

Родственный стандартный результат получается из $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ . Пусть $u=\cos x$ , тогда $du=-\sin x\,dx$ , и интеграл превращается в $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$ . Следите за минусом: он приходит из производной косинуса, и потерять его здесь самая обычная ошибка.

Пример 4: определённый интеграл с новыми пределами

Вычислите $\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$ . Пусть $u=1+x^2$ , тогда $du=2x\,dx$ и $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ . Теперь пересчитаем пределы: при $x=0$ получаем $u=1$ ; при $x=1$ получаем $u=2$ .

\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.

Когда пределы уже выражены через $u$ , возвращаться к x не нужно. OpenStax приводит именно такую форму правила для определённых интегралов: пределы становятся $g(a)$ и $g(b)$ . Классическая ошибка состоит в том, чтобы взять новое подынтегральное выражение со старыми пределами 0 и 1; здесь это дало бы $\frac{1}{8}$ , ответ, ошибочный в 15 раз.

Проверка здравым смыслом: подынтегральная функция растёт от 0 при $x=0$ до 8 при $x=1$ , значит, площадь должна лежать между 0 и 8, скорее ближе к нижней границе, потому что кривая круто поднимается только у правого края. $\frac{15}{8}=1.875$ подходит.

Пример 5: выразить оставшийся x

Найдите $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ . Возьмём $u=x+1$ , тогда $du=dx$ . Вне корня остаётся один $x$ . Выразим его из замены: $x=u-1$ .

\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.

Такое обратное выражение законно, потому что $u=x+1$ легко обратить. Если оставшийся $x$ не удаётся аккуратно выразить через $u$ , скорее всего, замена выбрана неудачно.

Пример 6: когда замена не тот инструмент

Попробуйте $\int xe^{x}\,dx$ . Очевидный кандидат $u=x$ ничего не меняет, а $u=e^x$ оставляет внутри $x=\ln u$ и превращает задачу в $\int\ln u\,du$ , для которой всё равно нужен другой метод. В этом произведении нет внутренней функции, рядом с которой стоит её производная. Это случай для интегрирования по частям, где один из множителей при дифференцировании упрощается.

Полезная привычка: тратьте не больше минуты на один-два варианта $u$ . Если ни один не убирает $x$ , смените инструмент, а не продавливайте замену.

Ошибки, которых стоит избегать

Забытый du. Если написать $u=x^2$ и заменить только внутреннюю функцию, то $dx$ останется в интеграле по $u$ . Каждый $dx$ должен превратиться в кратное $du$ .
Деление на переменную. За знак интеграла выносятся только постоянные множители.
Старые пределы у нового интеграла. Пересчитайте оба предела или вернитесь к $x$ до подстановки.
Ответ, оставленный через u. В неопределённом интеграле сделайте обратную замену, чтобы ответ был функцией от $x$ , и не забудьте $+C$ .
Пропущенная проверка. Продифференцировать ответ можно за секунды, и это ловит почти любую ошибку со знаками и константами.

Задачи для тренировки с ответами

$\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$ . Пусть $u=x^3-4$ . Ответ: $\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$ .
$\int\sin^2x\cos x\,dx$ . Пусть $u=\sin x$ . Ответ: $\frac{\sin^3x}{3}+C$ .
$\int e^{3x}\,dx$ . Пусть $u=3x$ , тогда $dx=\frac{1}{3}\,du$ . Ответ: $\frac{e^{3x}}{3}+C$ .
$\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$ . Пусть $u=\ln x$ , пределы 0 и 1. Ответ: $\frac{1}{2}$ .

Замену переменной стоит пробовать первой почти для любого интеграла; поэтому в нашем руководстве по интегралам она названа рабочей лошадкой всей главы. Назовите внутреннюю функцию, проверьте, есть ли её производная, переведите всё, включая пределы, и продифференцируйте результат, прежде чем идти дальше.