Правило цепочки: примеры производных сложных функций по шагам

Найдите производную $(2x+3)^5$. Если применить обычное правило степени так, будто в скобках стоит только $x$, получится $5(2x+3)^4$. Ответ выглядит правильно, но в нём не хватает множителя два. Выражение внутри скобок меняется вдвое быстрее, чем $x$, и производная должна учитывать это изменение.

Ради такого множителя и существует правило цепочки. В этой статье мы подробно разберём оригинальные примеры: от одной внутренней функции до трёх вложенных слоёв. Если хотите сначала вспомнить общий смысл производной, откройте наше руководство по производным. Здесь мы сосредоточимся на том, как распознать слои, найти их производные и проверить результат.

Найдите внутреннюю и внешнюю функции

В композиции выход одной функции становится аргументом другой. Для $y=(2x+3)^5$ сначала вычислите $2x+3$, а затем возведите результат в пятую степень. Обозначим внутреннюю функцию как $g(x)=2x+3$, а внешнюю как $f(u)=u^5$. Тогда $y=f(g(x))$.

Порядок вычисления и порядок дифференцирования противоположны. Значение функции находят изнутри наружу. При дифференцировании начинают с внешней операции, оставляют её аргумент неизменным и затем умножают на производную этого аргумента. Именно так OpenStax формулирует правило для дифференцируемых композиций в главе о правиле цепочки:

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

Производная внешней функции вычисляется при $g(x)$, а не при $g'(x)$. Производная внутренней функции образует отдельный множитель. Если один из слоёв не дифференцируем в рассматриваемой точке, эту формулу нельзя просто применить там.

Попробуйте назвать слои до выбора правила. В $\sin(4x^2-1)$ внешняя операция это синус, а внутреннее выражение $4x^2-1$. В $\sqrt{1+x^4}$ внешняя операция это квадратный корень, а внутри стоит $1+x^4$. В $x^2+3x$ операция верхнего уровня это сложение: найдите производные слагаемых по отдельности. Не каждые скобки означают, что нужно правило цепочки.

Если идея подставить одну функцию в другую пока непривычна, статья о композиции функций объясняет вычисление значений и область определения до перехода к производным. Начните со статьи о функциях, если обозначения входа и выхода ещё вызывают вопросы.

Каждый раз выполняйте четыре одинаковых шага

Метод не зависит от размера выражения:

1. Назовите ближайшее внутреннее выражение. Для $h(x)=(3x^2-2)^4$ возьмите $u=3x^2-2$.
2. Найдите производную снаружи, пока $u$ остаётся на месте. Внешняя функция равна $u^4$, поэтому её производная равна $4u^3$.
3. Найдите производную внутри. Здесь $du/dx=6x$.
4. Перемножьте и верните исходное выражение. Получится $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$.

Не раскрывайте четвёртую степень, если дальнейшие вычисления этого не требуют. В ответе, записанном произведением, видно происхождение каждой части: $4(3x^2-2)^3$ относится к внешней степени, а $6x$ к внутреннему квадратному выражению. При раннем раскрытии скобок пропущенный множитель заметить труднее.

Для трёх слоёв повторяйте то же действие. Найдите производную самого внешнего слоя, умножьте на производную следующего, а затем на производную самого глубокого. OpenStax рассматривает повторное применение правила цепочки в той же главе. Запоминать новое правило не требуется.

Три примера с полным решением

Степень линейного выражения. Вернёмся к $p(x)=(2x+3)^5$. Внешняя производная равна $5(2x+3)^4$, а внутренняя равна $2$. Значит:

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

Проверим ответ при $x=0$, не полагаясь только на символьные преобразования. Для исходной функции $p(0)=3^5=243$. Если раскрыть в $(3+2x)^5$ только член первого порядка, получится $243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$. Значит, наклон при нуле равен $810$. Наша производная даёт $10(3)^4=810$. Вариант без внутреннего множителя даёт $405$ и не проходит проверку.

Тригонометрическая композиция. Пусть $q(x)=\sin(4x^2-1)$, углы измеряются в радианах. Внешняя производная синуса это косинус, вычисленный при том же аргументе, а внутренняя производная $4x^2-1$ равна $8x$:

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

При $x=0$ внутренняя производная равна нулю, поэтому $q'(0)=0$. Это согласуется с локальной проверкой симметрии: $q(x)$ зависит от $x^2$, поэтому принимает одинаковые значения при $x$ и $-x$. При $x=1$ наклон равен $8\cos(3)$, а не $\cos(8)$. Аргумент косинуса это неизменное внутреннее выражение, а не его производная.

Три вложенных слоя. Рассмотрим $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$. Снаружи внутрь идут куб, синус и $2x^2+1$. Найдём их производные в таком порядке:

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

Множителей три, потому что связаны три изменения. Куб даёт $3\sin^2(\cdot)$, синус даёт косинус, а квадратное выражение даёт $4x$. Здесь тоже $r'(0)=0$, что согласуется с чётностью функции $r(x)$. Это не доказывает всю формулу производной, но помогает быстро обнаружить некоторые алгебраические ошибки.

Определите, когда нужно ещё одно правило

Сначала найдите операцию верхнего уровня. В $a(x)=x(2x+3)^5$ перемножаются два выражения с переменной. Начните с правила произведения, а затем примените правило цепочки к множителю со степенью:

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

Напротив, в $b(x)=(2x+3)^5$ на верхнем уровне произведения нет, и одного правила цепочки достаточно для ответа $10(2x+3)^4$. Два выражения различаются множителем $x$ вне степени; он и меняет основное правило.

В дроби выбор может быть таким же неочевидным. Для $c(x)=1/(2x+3)^2$ перепишите выражение как $(2x+3)^{-2}$. Теперь операция верхнего уровня это степень, поэтому:

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

Правило частного тоже сработало бы, но преобразование делает композицию явной. Если и числитель, и знаменатель зависят от $x$, начните с правила частного и проверьте, не нужно ли правило цепочки в каждой части. OpenStax рассматривает эти сочетания в разделе о правиле цепочки.

Исправьте три типичные ошибки

Пропущена внутренняя производная. Для $(5x-1)^4$ ответ $4(5x-1)^3$ не содержит производную $5$. Запишите обе части до умножения: $4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$.

Изменён аргумент внешней функции. Для $\cos(x^2+2)$ ответ $-\sin(2x)\cdot2x$ подставляет внутреннюю производную в синус. Правильный ответ: $-\sin(x^2+2)\cdot2x$. Найдите внешнюю производную при неизменном внутреннем выражении, а потом добавьте его производную как множитель.

Потеряны скобки. Для $(x^2+3)^3$ выражение $3x^2+3^2(2x)$ не является результатом применения правила цепочки. Весь внутренний аргумент остаётся внутри квадратной степени: $3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$. Сохраняйте большие скобки вокруг внутреннего выражения до последней строки.

Полезно подставить простое значение в исходную функцию и её производную. Одно числовое значение не докажет формулу производной для всех $x$, но расхождение быстро опровергнет привлекательный неверный ответ.

Три задачи с полными решениями

Попробуйте решить каждую до чтения решения. Отметьте слои, а затем запишите по одному множителю для каждого.

1. Найдите производную $s(x)=(7-3x)^4$. Внешняя производная равна $4(7-3x)^3$. Внутренняя равна $-3$, значит:

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

Знак минус служит быстрой проверкой: вблизи точки, где $7-3x$ положительно, рост $x$ уменьшает внутреннее выражение, а вместе с ним и его четвёртую степень.

2. Найдите производную $t(x)=\cos(3x^2+x)$. Внешний косинус превращается в отрицательный синус, внутренний многочлен даёт $6x+1$:

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

При $x=0$ результат равен нулю, потому что $\sin(0)=0$. Не делайте вывод, что внутренняя производная там тоже равна нулю: она равна единице. Если множители записаны отдельно, причина нулевого произведения ясна.

3. Найдите производную $v(x)=(1+\sin x)^3$. Внешняя степень даёт $3(1+\sin x)^2$, а внутренняя производная равна $\cos x$:

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

Здесь внутри находится синус, но верхняя операция по-прежнему возведение в куб. Двигайтесь снаружи внутрь. При $x=0$ производная равна $3(1)^2(1)=3$.

Когда эти задачи станут понятными, в практике производных Math Zen найдутся и задания на правило цепочки среди упражнений по математическому анализу. Вернитесь к примеру, в котором ошиблись, и объясните, какого множителя не хватало, прежде чем переходить к следующему. Запомните привычку: назовите внешнюю операцию, сохраните её аргумент и умножьте на производную этого аргумента.

Частые вопросы

Правило цепочки и правило степени это одно и то же?

Нет. Правило степени позволяет находить производную $x^n$. Правило цепочки распространяет его на степень внутреннего выражения: производная $[g(x)]^n$ равна $n[g(x)]^{n-1}g'(x)$. Если $g(x)=x$, его производная равна единице и получается привычное правило степени.

Можно ли применять правило цепочки к квадратному корню?

Да. Запишите $\sqrt{1+x^4}$ как $(1+x^4)^{1/2}$. Внешняя производная равна $\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$, внутренняя равна $4x^3$. Получаем $2x^3/\sqrt{1+x^4}$.

Почему у вложенных функций в производной несколько множителей?

Каждый слой реагирует на изменение вложенного в него слоя. В $[\sin(2x^2+1)]^3$ изменение $x$ меняет квадратное выражение, оно меняет синус, а синус меняет куб. Три множителя производной описывают эти три связанных изменения.