Композиция функций: порядок, значения и область определения

Представьте службу доставки, которая берёт 3 доллара за километр, а затем добавляет фиксированный сбор 5 долларов. Для поездки в 4 километра сначала умножьте 4 на 3, затем прибавьте 5. Вы пропустили результат одного правила через другое правило. Это и есть композиция функций.

Обозначение выглядит сложнее самого действия. Если $g(x)=3x$ вычисляет стоимость расстояния, а $f(x)=x+5$ добавляет сбор, итог равен $f(g(4))=f(12)=17$ долларам. Внутреннее правило выполняется первым. Нельзя прибавить сбор к расстоянию до умножения, если тариф в действительности не устроен именно так.

Читайте порядок изнутри наружу

Композиция помещает одну функцию внутрь другой:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

Читайте это как «$f$ после $g$». Сначала найдите $g(x)$, затем используйте результат как вход для $f$. Кружок означает композицию, а не умножение. Раздел OpenStax о композиции определяет операцию и прямо указывает порядок.

Пусть заданы $f(x)=2x+1$ и $g(x)=x^2-3$. Чтобы получить $f(g(x))$, замените место аргумента в $f$ целым выражением $x^2-3$:

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

При $x=4$ внутреннее правило даёт $g(4)=16-3=13$, а внешнее затем даёт $f(13)=27$. Общее выражение подтверждает результат: $2(4)^2-5=27$. Сверка двух шагов с итоговой формулой помогает заметить неверно поставленную скобку.

Запись функции показывает место аргумента. Если $f(t)=2t+1$, то $f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$. Буква, выбранная для этого места, не меняет правило. Наш материал о функциях объясняет входы, выходы и область определения до их объединения.

Поменяйте порядок и сравните

Для тех же функций $g(f(x))$ сначала применяет $f$:

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

При $x=4$ получаем $f(4)=9$, а затем $g(9)=78$. Это не 27 из $f(g(4))$. Обе композиции допустимы, но отвечают на разные вопросы. Разницу видно ещё до преобразований: в одной цепочке число возводят в квадрат перед удвоением, в другой сначала удваивают и прибавляют единицу, а потом возводят в квадрат.

Случайное совпадение при одном значении аргумента не делает две композиции тождественными. Чтобы установить равенство функций, сравните правила на общей области и убедитесь, что области определения совпадают. В обычных задачах вычислите оба выражения и упростите. Помните, что $f(g(x))$ не равно ни $g(f(x))$, ни произведению $f(x)g(x)$.

Удобная схема: $x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$. Запишите первую стрелку до подстановки. Она особенно полезна, когда внутреннее правило содержит дроби, корни или таблицу значений.

Вычисляйте по таблице или графику

Для композиции формулы не обязательны. Допустим, дана таблица:

$x$	1	2	3	4
$g(x)$	3	4	1	2
$f(x)$	8	6	9	7

Для $f(g(2))$ сначала прочитайте $g(2)=4$ в первой строке. Теперь подайте 4 на вход $f$: $f(4)=7$. Ответ равен 7. В обратном порядке получаем $f(2)=6$, но в таблице нет значения $g(6)$. Вы не можете прочитать из неё $g(f(2))$. Оно могло бы существовать, если полная функция определена в другом месте; показанных значений недостаточно для вывода.

С графиком порядок тот же. При входе 2 сначала найдите высоту графика $g$, допустим 4. Затем начните заново при входе 4 на графике $f$ и прочитайте его высоту, допустим 7. Первая высота становится второй горизонтальной координатой. Не считывайте обе высоты при $x=2$ и не объединяйте их. Если у любого из графиков нет точки при необходимом входе, композиция там не определена.

Отличайте «нет в этой неполной таблице» от «вне области определения». Короткая таблица может не показывать существующее значение. Открытая точка или указанная граница на графике, напротив, может означать исключение значения. Называйте именно те данные, которыми располагаете, а не выдумывайте отсутствующий результат.

Проверьте область определения до упрощения

Область определения $f(g(x))$ задают два условия. Во-первых, $x$ должно входить в область определения $g$. Во-вторых, полученное $g(x)$ должно быть допустимым аргументом для $f$. OpenStax формулирует правило именно как такую передачу выхода на вход.

Не все значения $g$ обязаны входить в область определения $f$, чтобы композиция существовала хотя бы для некоторых аргументов. Оставьте только те, где работают оба шага. Например, возведение в квадрат принимает любые вещественные числа, а следующий квадратный корень принимает только неотрицательные результаты. Квадраты неотрицательны, поэтому именно такая пара работает для любого вещественного входа. Замените внутреннее правило вычитанием, и допустимое множество может сузиться. Проверяйте передаваемый результат, а не две формулы по отдельности.

Пусть заданы $g(x)=x-1$ и $f(t)=\sqrt{t}$ с вещественными результатами. Внутреннее правило принимает любое вещественное число, но внешний квадратный корень допускает только неотрицательные входы. Следовательно:

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

Поменяйте порядок. Теперь сначала действует $f(x)=\sqrt{x}$, а затем $g$ вычитает единицу:

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

Выражения различаются, как и их области определения. При $x=0$ вторая композиция равна $-1$, а первая не определена над вещественными числами. Это более сильное сравнение, чем просто найти одно значение, при котором результаты не совпадут.

Знаменатель добавляет ещё одно условие. Пусть $g(x)=1/(x-2)$ и $f(t)=t+3$. Тогда $f(g(x))=1/(x-2)+3$, но $x=2$ остаётся запрещённым, поскольку там не определено внутреннее правило.

Сокращение не возвращает изначально запрещённый аргумент. Пусть $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$, определена только при $x\ne1$, и пусть $f(t)=t^2$. На допустимых входах можно упростить $g(x)$ до $x+1$. Итоговое выражение выглядит как $(x+1)^2$, однако область определения всё ещё задаётся $x\ne1$. При $x=1$ исходная внутренняя функция требует деления на ноль. Полином, совпадающий в остальных точках, не может заполнить этот пробел без определения новой функции.

Разбейте длинное правило на этапы

Композицию можно читать и в обратном направлении, чтобы понять, как построена формула. Возьмите $h(x)=\sqrt{3x+2}$. Один вариант: сначала $g(x)=3x+2$, затем $f(t)=\sqrt{t}$. Значит, $h=f\circ g$. Такое разложение сразу показывает область определения: нужно $3x+2\geq0$, откуда $x\geq-2/3$.

Возможны разные правильные разложения. Внутреннее линейное правило можно разделить на «умножить на 3» и «прибавить 2», а затем третьим шагом извлечь квадратный корень. Главное, чтобы заявленный порядок воспроизводил исходное правило для каждого допустимого аргумента.

Для преобразования графика сравните $f(x)=x^2$ и $f(x-2)=(x-2)^2$. Изменение происходит внутри аргумента, поэтому парабола сдвигается на 2 вправо. В $f(x)+2=x^2+2$ сложение выполняется после $f$, поэтому график сдвигается на 2 вверх. Это композиция на практике: «вычесть 2 до возведения в квадрат» не то же самое, что «возвести в квадрат и затем прибавить 2». Наш материал по алгебре поможет, если подстановка ещё непривычна.

Отработайте три разные проверки

1. Два порядка. Пусть $f(x)=x+4$ и $g(x)=2x$. Найдите обе композиции. Ответы: $f(g(x))=2x+4$ и $g(f(x))=2x+8$. При $x=3$ они равны 10 и 14. Порядок определяет, когда прибавляется 4.

2. Условие области определения. Пусть $f(t)=1/t$ и $g(x)=x^2-9$. Тогда $f(g(x))=1/(x^2-9)$. Исключите $x=3$ и $x=-3$, поскольку оба значения обращают внешний знаменатель в ноль. Внутренний полином сам по себе допускает любые вещественные числа.

3. Чтение таблицы. По таблице выше вычислите $g(f(3))$. Сначала $f(3)=9$. В таблице нет $g(9)$, поэтому данных недостаточно. Это законченный ответ, а не неудачная попытка вычисления.

После каждой задачи называйте правило, которое выполнилось первым, полученное значение и условие, при котором следующее правило принимает его. Затем проверьте один числовой вход по своему алгебраическому ответу. В упражнениях Math Zen по функциям композиция идёт рядом с заданиями на область определения и множество значений, так что передачу выхода можно отработать отдельно.

Обратная функция представляет особый случай, когда одна функция отменяет действие другой на подходящих областях определения. Для обычных композиций обратные функции знать необязательно. Здесь достаточно надёжного порядка: внутренний выход, внешний вход, затем проверка области определения.