Обратные функции интуитивно: как вернуться от результата к исходному числу

Мастерская берёт 8 долларов за бронирование и ещё 5 долларов за каждый час работы за верстаком. Три часа стоят 23 доллара. Если в чеке указано 23 доллара, сколько часов вы забронировали?

В прямом направлении нужно умножить число часов на 5 и прибавить 8. В обратном направлении нужно вычесть 8 из суммы чека и разделить на 5. Это обратное правило и есть обратная функция. Оно отвечает на другой вопрос при той же зависимости.

Сами алгебраические действия обычно несложны. Важно понять, даёт ли обратное правило единственный ответ и какие числа ему разрешено принимать.

Сначала отмените последнее действие

Стоимость работы в мастерской запишем так:

$$f(x) = 5x + 8$$

Обратная функция должна сначала убрать плату за бронирование и только потом отменить почасовую оплату:

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

Проверим чек: $f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$. Если сначала разделить на 5, плата за бронирование ошибочно распределится по почасовой ставке и ответ будет неверным.

На вход $f$ подаются часы, а на вход $f^{-1}$ доллары. Одна и та же буква $x$ не означает, что речь об одной и той же величине. Это обозначение того, что принимает каждая из функций.

В этой модели отрицательное число часов не имеет смысла. Область определения исходной функции: $x \geq 0$, а область значений: $f(x) \geq 8$. Поэтому обратная функция принимает суммы не меньше 8 долларов. Алгебра позволяет подставить 3 доллара, но полученное отрицательное число часов выходит за рамки модели.

Обратная функция и обратное число: разные вещи

Верхний индекс у $f^{-1}$ похож на отрицательную степень. В обозначении функций он указывает на обратную функцию. Он не требует делить 1 на $f(x)$.

Для той же формулы стоимости:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

Первое выражение восстанавливает часы по стоимости. Второе даёт число, обратное стоимости, то есть другую величину с другим смыслом. Раздел OpenStax об обратных функциях прямо поясняет разницу между этими обозначениями.

Обратную функцию можно назвать и $g$. Запись $g(f(x))=x$ выражает нужную мысль без верхнего индекса: сначала примените правило стоимости, затем вернитесь к исходному числу часов.

Найдите обратную функцию алгебраически

Обычный способ: запишите $y=f(x)$, поменяйте местами $x$ и $y$ и выразите $y$. Перестановка показывает смену ролей: прежний результат становится новым входом.

Рассмотрим ещё один пример:

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

Поменяйте переменные местами:

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

Умножьте на 3, прибавьте 7 и разделите на 2:

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

Итак, обратная функция: $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$. Каждый шаг отменяет действие исходного правила, начиная с последнего деления на 3.

В конспекте Пола по математике приведены тот же общий способ и подробные примеры с корнями и рациональными функциями. Как бы ни выглядело выражение, при преобразованиях учитывайте запрещённые входы. Умножение на знаменатель не делает запрещённое значение допустимым.

Проверьте оба направления

Подстановка одного числа может выявить арифметическую ошибку, но не доказывает, что два правила отменяют друг друга везде. Проверяйте композиции на указанных областях определения.

В предыдущем примере подставьте исходную функцию в обратную:

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

Затем подставьте обратную функцию в исходную:

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

Здесь области определения обеих функций охватывают все действительные числа. Для корня, логарифма или дроби записывайте область определения рядом с проверкой. Упрощённое выражение может скрывать ограничение, существовавшее до сокращения.

Если композиция пока непривычна, начните с нашей статьи о функциях: результат внутреннего правила становится входом внешнего. Читайте скобки изнутри наружу.

Почему для квадратичной функции нужна ограниченная область определения

Пусть $f(x)=(x-2)^2$. И $f(1)$, и $f(3)$ равны 1. Если вам известен только результат 1, по правилу нельзя определить, какое число было на входе.

На всех действительных числах эта функция не является инъективной. Обратное отношение давало бы два ответа для большинства входов, а значит, не было бы функцией.

Выберите правую ветвь, ограничив исходную область определения условием $x \geq 2$. Теперь обратное вычисление однозначно:

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

Поскольку $x-2$ неотрицательно, извлечение арифметического квадратного корня даёт $\sqrt{y}=x-2$. Поменяйте названия переменных местами и запишите:

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

Обратная функция принимает неотрицательные числа и возвращает числа не меньше 2. Проверьте $f^{-1}(9)=5$, а затем $f(5)=9$.

Если вместо этого ограничить исходную область определения условием $x \leq 2$, обратной функцией будет $2-\sqrt{x}$. Это обратные функции двух разных функций с ограниченными областями определения. Нельзя приписать знак плюс-минус и назвать полученное выражение одной обратной функцией.

То же различие важно для квадратных уравнений: у уравнения может быть два решения, а функция должна сопоставлять каждому допустимому входу ровно один результат.

Прочитайте обратную функцию по графику

Если $f(4)=9$, график исходной функции содержит точку $(4,9)$, а график обратной содержит $(9,4)$. При перестановке координат точки отражаются относительно диагонали $y=x$.

Это также объясняет проверку горизонтальной прямой. Если горизонтальная прямая пересекает исходный график дважды, одному результату соответствуют два входа. После перестановки координат обе точки оказались бы на одной вертикальной прямой: одному входу соответствовали бы два результата.

Проверьте это на параболе выше. Горизонтальная прямая на высоте 1 пересекает её при $x=1$ и $x=3$. Уберите левую ветвь, и останется одно пересечение. Теперь график содержит достаточно информации, чтобы идти в обратном направлении.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, поэтому сначала посмотрите, каких высот достигает исходный график. Если все результаты лежат выше определённой высоты, обратная функция не может принимать числа ниже неё.

Три коротких задания для проверки

Линейная функция: найдите обратную к $f(x)=7-2x$. Вычтите значение из 7, затем разделите на 2: $f^{-1}(x)=(7-x)/2$. Здесь выражение для обратной функции отличается от исходного. Проверьте $f(2)=3$ и $f^{-1}(3)=2$.

Куб: найдите обратную к $g(x)=x^3+6$. При возведении в куб отрицательные и положительные входы остаются различимыми, поэтому ограничивать ветвь не нужно. Для любого действительного входа $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$.

Квадрат: найдите обратную к $h(x)=x^2+6$ при $x \geq 0$. Она равна $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$, а её область определения задаётся условием $x \geq 6$. Без последнего условия ответ неполон.

Записывайте область определения до проверки каждого ответа. Затем проверьте путь туда и обратно на одном числе и обе алгебраические композиции. Так получится короткая полезная тренировка в Math Zen: упражнения на функции позволят одновременно отработать прямое правило, обратное правило и ограничения.

Та же идея связывает показательные функции и логарифмы. Показательная функция берёт показатель степени и выдаёт число; логарифм восстанавливает показатель. Когда понятно, что означает вход и какие результаты возможны, обратную функцию можно найти осмысленно.