Разложение на простые дроби: четыре примера с проверкой

Рациональная дробь иногда кажется сложнее, чем её интеграл после разложения. Например, $(3x+1)/(x^2-x-2)$ после факторизации знаменателя превращается в сумму двух дробей, интегралы от которых выражаются логарифмами. Сложнее всего заранее выбрать правильную форму суммы: если пропустить нужное слагаемое, вычисление коэффициентов уже не спасёт решение.

Ниже четыре самостоятельных примера: разные линейные множители, кратный линейный множитель, неприводимый квадратный множитель и дробь, требующая предварительного деления. Каждый ответ проверяется обратным сложением. Правило о степенях и формах множителей изложено в OpenStax Calculus, том 2, §3.4. Если сначала нужна идея интеграла, откройте наше введение в интегралы; здесь основное внимание уделено алгебре.

Сначала сравните степени и разложите знаменатель

Запишите дробь как $P(x)/Q(x)$. Метод простых дробей начинают с правильной дроби: $\deg P<\deg Q$. Если это условие не выполнено, разделите $P$ на $Q$, сохраните многочлен-частное, а затем раскладывайте правильную дробь из остатка. Частное нельзя незаметно поглотить коэффициентами.

Далее разложите $Q$ на множители над вещественными числами. Их вид определяет шаблон ещё до вычислений:

Множитель знаменателя	Какие слагаемые нужны
Отдельный линейный $(x-a)$	$A/(x-a)$
Кратный линейный $(x-a)^m$	$A_1/(x-a)+A_2/(x-a)^2+\cdots+A_m/(x-a)^m$
Неприводимый квадратный $q(x)$	$(Bx+C)/q(x)$

Шаблон задаёт тождество при всех допустимых $x$, а не равенство в одной удобной точке. После устранения знаменателей коэффициенты можно искать двумя дополняющими способами: подставлять корни линейных множителей, чтобы обнулить часть слагаемых, как в примерах 1 и 2, или раскрывать скобки и сравнивать коэффициенты при каждой степени $x$, как в примере 3. Подстановка корня часто сразу даёт одну константу, но при наличии квадратного множителя не заменяет весь коэффициентный анализ. Даже если несколько подстановок дали числа, проверьте оставшиеся коэффициенты. Именно поэтому пропущенное слагаемое в примере 2 обнаруживается: укороченный шаблон не может одновременно удовлетворить все коэффициенты. Это ошибка структуры, а не неудачный выбор подстановки. Если вместо корней подставить несколько обычных значений, получится конечная система; после её решения всё равно нужно проверить тождество при всех $x$. Полное обратное сложение делает это сразу.

Неприводимый квадратный многочлен не имеет вещественных линейных множителей. Его числитель в шаблоне должен быть линейным, даже если после решения окажется $B=0$. Помните и об исключённых значениях переменной: равенство формул на общей области определения не делает определённой точку, где исходный знаменатель равен нулю. Быстрая проверка множителей предотвращает большинство ошибок в шаблоне.

Пример 1: два разных линейных множителя

Разложим $F(x)=(3x+1)/[(x-2)(x+1)]$. Степень числителя равна единице, знаменателя равна двум, поэтому деление не нужно. Множители разные; запишем

$$\frac{3x+1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.$$

Умножение на общий знаменатель даёт тождество многочленов $3x+1=A(x+1)+B(x-2)$. В исходной дроби точки $x=2,-1$ исключены, но их можно подставлять в полученное тождество многочленов. При $x=2$ имеем $7=3A$, значит $A=7/3$. При $x=-1$ имеем $-2=-3B$, значит $B=2/3$.

Не останавливайтесь на правдоподобных коэффициентах. Сложите дроби обратно:

$$\frac{7}{3(x-2)}+\frac{2}{3(x+1)} =\frac{7(x+1)+2(x-2)}{3(x-2)(x+1)} =\frac{9x+3}{3(x-2)(x+1)}=F(x).$$

Равенство верно при $x\ne2,-1$. Проверка в одной случайной точке слабее: две неверные формулы тоже могут совпасть в ней. Совпадение всего числителя решает вопрос полностью.

Пример 2: кратный множитель требует двух слагаемых

Для $G(x)=(2x+5)/[x(x+1)^2]$ кратный множитель $(x+1)^2$ требует и первой, и второй степени знаменателя:

$$G(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}.$$

Умножив на $x(x+1)^2$, получаем $2x+5=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx$. Подстановка $x=0$ даёт $A=5$; подстановка $x=-1$ даёт $3=-C$, то есть $C=-3$. Коэффициенты при $x^2$ требуют $A+B=0$, поэтому $B=-5$. Независимая проверка коэффициента при $x$: $2A+B+C=10-5-3=2$, как и нужно.

Обратное сложение трёх числителей даёт

$$5(x+1)^2-5x(x+1)-3x =5x^2+10x+5-5x^2-5x-3x=2x+5.$$

Следовательно, $G(x)=5/x-5/(x+1)-3/(x+1)^2$ при $x\ne0,-1$. Намеренно неверный шаблон $A/x+B/(x+1)^2$ пропускает слагаемое с первой степенью кратного множителя. Его общий числитель равнялся бы $A(x+1)^2+Bx$. Коэффициент при $x^2$ требует $A=0$, а свободный член требует $A=5$. Противоречие указывает на пропущенное слагаемое, а не на «трудную» систему. Полный шаблон устраняет проблему.

Пример 3: над неприводимым квадратным множителем нужен линейный числитель

Возьмём $H(x)=(2x^2+3x+5)/[(x-1)(x^2+1)]$. Многочлен $x^2+1$ не имеет вещественных корней, поэтому над вещественными числами он остаётся квадратным. Правильная форма:

$$H(x)=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.$$

После умножения на знаменатель получаем $2x^2+3x+5=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)$. При $x=1$: $10=2A$, следовательно, $A=5$. Сравнение коэффициентов даёт $A+B=2$, значит $B=-3$, и $-B+C=3$, значит $C=0$. Свободный член тоже сходится: $A-C=5$. Нуль для $C$ получен вычислением; заранее угадывать числитель постоянным нельзя.

Проверка: $5(x^2+1)-3x(x-1)=2x^2+3x+5$. Таким образом, $H(x)=5/(x-1)-3x/(x^2+1)$ при $x\ne1$. Эта форма удобна и для интегрирования: производная $x^2+1$ равна $2x$, поэтому второе слагаемое после изменения коэффициента интегрируется подстановкой. Если квадратный множитель был бы кратным, каждой его степени понадобился бы собственный линейный числитель.

Пример 4: сначала делим неправильную дробь

Рассмотрим $J(x)=(x^2+4x+5)/(x^2-1)$. Степени числителя и знаменателя равны. Деление многочленов или однократное вычитание знаменателя даёт

$$J(x)=1+\frac{4x+6}{x^2-1}=1+\frac{4x+6}{(x-1)(x+1)}.$$

Раскладываем только остаток: $4x+6=A(x+1)+B(x-1)$. При $x=1$: $10=2A$, то есть $A=5$. При $x=-1$: $2=-2B$, то есть $B=-1$. Поэтому

$J(x)=1+\frac5{x-1}-\frac1{x+1},\qquad x\ne\pm1.$

Сложите весь ответ, включая единицу. Правильные дроби дают $[5(x+1)-(x-1)]/(x^2-1)=(4x+6)/(x^2-1)$. После добавления единицы числитель становится $x^2-1+4x+6=x^2+4x+5$. Если забыть единицу, коэффициенты остатка будут проверены верно, но исходная дробь не восстановится.

Интегрируем один ответ и проверяем производной

Вернёмся к примеру 3. На каждом интервале, разделённом точкой $x=1$, интегрируем по слагаемым:

$$\int H(x)\,dx =5\ln|x-1|-\frac32\ln(x^2+1)+C.$$

Производная равна $5/(x-1)-(3/2)(2x)/(x^2+1)=5/(x-1)-3x/(x^2+1)=H(x)$. Модуль нужен у $x-1$; выражение $x^2+1$ для вещественного $x$ положительно. Константа $C$ может различаться на несвязанных интервалах. Проверка производной выявит ошибку уже в интегрировании, например потерянный множитель два, которую одно лишь правильное разложение не заметит.

Если в интеграле понадобится ещё один метод, примеры интегрирования по частям показывают, как проверять первообразную после нескольких шагов. Преобразования Лапласа дают другую причину освоить эту алгебру: поиск обратного преобразования часто начинается с разложения рациональной функции. В Math Zen можно отдельно тренировать факторизацию и производные, прежде чем объединять их в длинном интеграле.

Короткая проверка перед следующим заданием

Для любой новой рациональной дроби действуйте в одном порядке: сравните степени; если нужно, разделите многочлены; разложите знаменатель; запишите слагаемое для каждой необходимой степени множителя; найдите коэффициенты из тождества; сложите весь результат обратно. Четыре примера требуют разных шаблонов, но обратное сложение проверяет каждый. Если оно не сходится, проверьте сначала полноту шаблона, затем арифметику коэффициентов. Решённая система не исправит пропущенную дробь.

Есть и дополнительный ориентир: поведение около исключённого значения. В примере 1 слагаемое со знаменателем $x-2$ определяет расходимость около $x=2$; без него исходный полюс не воспроизвести. У квадратного кратного линейного множителя вида $(x-a)^2$ расходимость может быть сильнее, чем у слагаемого только с первой степенью. Однако окончательным доказательством остаётся алгебраическое обратное сложение: поведение около одного полюса не выявляет всякую ошибку коэффициента.