Gaokao-wiskunde

1. Tussen de eerste en de tiende term zijn er negen toenames.

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. Combineer de eerste en de laatste term. Hun gemiddelde is het gemiddelde van alle tien termen.

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. Vermenigvuldig dat gemiddelde met het aantal termen.

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

Veelgemaakte fout: Gebruik geen tien toenames om de tiende term te vinden. De eerste term is al meegeteld.

1. Het inproduct van loodrechte vectoren die niet nul zijn, is nul.

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. Vermenigvuldig overeenkomstige coördinaten en tel de producten op.

   $$2x+3(-2)=0$$

3. Los de resulterende lineaire vergelijking op.

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

Veelgemaakte fout: Het inproduct is één getal. Vermenigvuldig de coördinaten niet diagonaal.

1. Gebruik de productregel met de gegeven voorwaardelijke kans.

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. Vul de twee breuken in.

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. Vereenvoudig het resultaat. Je hoeft geen onafhankelijkheid aan te nemen.

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

Veelgemaakte fout: Vervang P(B gegeven A) niet door P(B). Deze kansen hoeven niet gelijk te zijn.

1. Vergelijk de vergelijking met de standaardvorm om parameter p te bepalen.

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. Het brandpunt heeft x-coördinaat p/2 en de richtlijn is de verticale lijn x = -p/2.

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. Trek de twee x-coördinaten van elkaar af om de afstand te krijgen.

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

Veelgemaakte fout: De afstand van de top tot het brandpunt is 2. Gevraagd wordt de volledige afstand van het brandpunt tot de richtlijn.

1. Differentieer en ontbind het resultaat in factoren.

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. De afgeleide is positief als de twee factoren hetzelfde teken hebben.

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. Noteer de twee intervallen afzonderlijk. Tussen de kritieke punten is de afgeleide negatief.

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

Veelgemaakte fout: Een positieve afgeleide betekent dat de functie stijgt, niet dat de functiewaarde positief is.

1. Differentieer met de productregel.

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. De exponentiële factor is altijd positief. Bij x = 1 verandert de afgeleide van positief naar negatief.

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. De functie stijgt vóór 1 en daalt erna. Vul 1 in om de maximale waarde te vinden.

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

Veelgemaakte fout: De x-waarde van het maximum is 1, maar de maximale functiewaarde is 1/e.