가오카오 수학

1. 첫째항과 열째항 사이에는 아홉 번의 증가가 있습니다.

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. 첫째항과 마지막 항을 짝지으세요. 두 항의 평균은 열 개 항 전체의 평균과 같습니다.

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. 그 평균에 항의 개수를 곱하세요.

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

자주 하는 실수: 열째항을 구할 때 열 번 증가시키지 마세요. 첫째항은 이미 포함되어 있습니다.

1. 서로 수직인 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적은 0입니다.

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. 대응하는 성분끼리 곱한 뒤 그 결과를 더하세요.

   $$2x+3(-2)=0$$

3. 얻은 일차방정식을 푸세요.

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

자주 하는 실수: 내적은 하나의 수입니다. 성분을 대각선 방향으로 곱하지 마세요.

1. 주어진 조건부확률을 곱셈법칙에 적용하세요.

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. 두 분수를 대입하세요.

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. 결과를 약분하세요. 두 사건의 독립성을 가정할 필요는 없습니다.

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

자주 하는 실수: P(B|A)를 P(B)로 바꾸지 마세요. 두 확률은 같지 않을 수 있습니다.

1. 방정식을 표준형과 비교해 매개변수 p를 찾으세요.

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. 초점의 x좌표는 p/2이고, 준선은 수직선 x = -p/2입니다.

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. 두 x좌표의 차로 거리를 구하세요.

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

자주 하는 실수: 꼭짓점에서 초점까지의 거리는 2입니다. 문제는 초점에서 준선까지의 전체 거리를 묻습니다.

1. 미분한 뒤 인수분해하세요.

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. 두 인수의 부호가 같으면 도함수가 양수입니다.

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. 두 구간을 따로 쓰세요. 두 임계점 사이에서는 도함수가 음수입니다.

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

자주 하는 실수: 도함수가 양수라는 것은 함수가 증가한다는 뜻이지, 함수값 자체가 양수라는 뜻이 아닙니다.

1. 곱의 미분법으로 미분하세요.

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. 지수 인수는 항상 양수입니다. 도함수는 x = 1에서 양수에서 음수로 바뀝니다.

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. 함수는 1 이전에 증가하고 1 이후에 감소합니다. 1을 대입해 최댓값을 구하세요.

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

자주 하는 실수: 최댓값을 갖는 x는 1이지만, 함수의 최댓값은 1/e입니다.