부분적분 예제: u를 고르고 답을 미분으로 검산하기

$\int x e^{2x}\,dx$를 보세요. 거듭제곱 적분법만으로는 곱 전체를 적분할 수 없고, $e^{2x}$만 적분하면 $x$가 남아요. 부분적분은 이 곱을 다루는 방향을 정해 줘요. 미분하면 단순해지는 부분을 미분하고, 적분하기 쉬운 부분을 적분한 다음, 남은 더 간단한 적분을 처리해요.

이 글은 한 번의 적용부터 반복 적용, 경계값이 있는 정적분까지 부분적분 예제를 풀어요. 적분의 뜻부터 알고 싶다면 적분 안내 글을 먼저 읽어 보세요. 도함수 안내 글도 도움이 돼요. 여기서는 답을 미분하는 것이 가장 좋은 검산 방법이거든요.

공식은 어디에서 오나요?

곱의 미분법은 $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$예요. 양변을 적분하고 한 항을 반대편으로 옮기세요. 그러면 OpenStax Calculus, Volume 2에 나온 부분적분 공식이 돼요.

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

여기서 $u$는 미분하기로 정한 식이고, $dv$는 적분하기로 정한 식이에요. $du$와 $v$를 구한 뒤에는 새 적분 $\int v\,du$가 원래 적분보다 쉬워야 해요. 더 어려워진다면 나눈 방법을 다시 생각하세요. 이 공식은 곱의 미분법에서 대수적으로 나온 것이지, 어떤 나눔이든 도움이 된다는 보장은 아니에요.

부정적분이라면 끝에 적분 상수 $C$를 잊지 마세요. $v$의 원시함수를 고를 때 상수가 포함될 수도 있지만, 편한 $v$ 하나를 정한 뒤 최종 답에 $C$를 붙이는 편이 간단해요.

목적을 가지고 u와 dv 고르기

유용한 질문은 “어느 인수가 미분하면 더 단순해지나요?”예요. $x^2$ 같은 다항식은 $2x$, 그다음 $2$, 마지막에는 0이 돼요. 로그함수는 $1/x$가 되어 다른 부분과 잘 결합할 때가 많아요. 반면 지수함수와 사인, 코사인은 여러 번 적분해도 다루기 쉬워요.

익숙한 LIATE 기억법은 로그함수, 역삼각함수, 대수함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 $u$ 후보를 살펴보게 해요. OpenStax는 이를 정리가 아니라 경험적 지침으로 소개해요. 첫 글자만 믿지 말고 새로 생긴 $\int v\,du$를 확인하세요. 다른 선택이 더 짧을 수 있고, 어떤 곱은 치환적분이 더 알맞아요.

예를 들어 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$에는 안쪽 함수 $x^2$와 그 도함수 $2x$가 함께 있어요. $t=x^2$로 두면 $dt=2x\,dx$이고 적분 결과는 $\sin(x^2)+C$예요. 여기서 부분적분을 쓰면 간단한 합성함수 적분을 괜히 복잡하게 만들어요. 반대로 $x e^{2x}$에는 안쪽 함수와 도함수가 직접 짝을 이루지 않고, $x$를 미분하면 그 인수를 없앨 수 있어요.

계산 전에 두 열짜리 작은 표를 써 보세요. 한쪽에는 $u$와 $du$, 다른 쪽에는 $dv$와 $v$를 적어요. 그런 다음 $v$와 $du$를 곱했을 때 적분이 더 쉬워지는지 확인해요. 적분하기 익숙하다는 이유만으로 쉬운 쪽을 $u$로 고르는 흔한 실수를 막을 수 있어요.

예제 1: 일차식과 지수함수의 곱

$\int x e^{2x}\,dx$를 구해요. $u=x$로 두면 $du=dx$예요. $dv=e^{2x}\,dx$로 두면 $v=\frac12e^{2x}$예요. $\frac12$가 중요해요. $e^{2x}$를 미분하면 2가 추가로 나오기 때문이에요.

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

인수분해한 답을 미분해 보세요. 곱의 미분법을 쓰면 $\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$가 되고, 이를 간단히 하면 $x e^{2x}$예요. 원래 피적분함수와 정확히 같아요. 검산에서 $2x e^{2x}$가 나왔다면 $e^{2x}$를 적분할 때 $\frac12$를 빠뜨렸을 가능성이 커요.

언제 끝나는지도 보여요. $x$를 미분하면 상수가 되므로 남은 적분에는 지수함수만 있어요. 이 예제에서 “더 쉽다”는 말은 바로 그런 뜻이에요.

예제 2: 로그함수 적분하기

$x>0$에서 $\int\ln x\,dx$를 구해요. 곱이 쓰여 있지는 않지만 1을 곱할 수 있어요: $\ln x=1\cdot\ln x$. $u=\ln x$, $dv=dx$로 두세요. 그러면 $du=\frac1x\,dx$, $v=x$예요.

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

검산은 짧아요. $\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$예요. 정의역 $x>0$에서는 0을 지나지 않으므로 $\ln x$와 $1/x$를 그대로 쓸 수 있어요. 더 일반적인 원시함수 $x\ln|x|-x+C$는 0을 포함하지 않는 구간에서 쓸 수 있지만, 지금 문제는 양수 쪽만 다뤄요.

$u=1$, $dv=\ln x\,dx$로 골랐다면 $v$를 구하려고 원래 적분을 이미 알아야 해요. 이렇게 출발점으로 되돌아오는 나눔은 이 문제에서 로그함수를 $u$로 골라야 하는 이유를 보여 줘요.

예제 3: 다항식이 없어질 때까지 반복하기

$I=\int x^2\sin x\,dx$를 구해요. $x^2$는 미분할수록 차수가 낮아지고 사인은 적분하기 쉬워요. 먼저 $u=x^2$, $dv=\sin x\,dx$로 두세요. 그러면 $du=2x\,dx$, $v=-\cos x$예요.

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

남은 적분에도 곱이 있어요. $J=\int x\cos x\,dx$라고 놓고 다시 부분적분해요. $u=x$, $du=dx$, $dv=\cos x\,dx$, $v=\sin x$예요. 따라서

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

이 결과를 $I$에 대입하면

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

이제 항별로 미분하세요. $-x^2\cos x$의 도함수는 $-2x\cos x+x^2\sin x$예요. $2x\sin x$의 도함수는 $2\sin x+2x\cos x$이고, $2\cos x$의 도함수는 $-2\sin x$예요. 여분의 항이 모두 상쇄되어 $x^2\sin x$만 남아요. 이 상쇄로 사인을 적분할 때의 부호와 $x^2$를 미분할 때의 2를 함께 확인할 수 있어요.

반복 부분적분은 적용할 때마다 한 인수가 단순해질 때 유용해요. 새 적분이 원래 적분과 비슷하다면 원래 적분을 한쪽으로 모아 풀 수도 있지만, 끝나는 지점이 보이지 않는데 공식을 계속 적용하지는 마세요.

예제 4: 정적분의 경계값 유지하기

$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$를 계산해요. $x$는 적분하기 쉽고, $\ln(1+x)$를 미분하면 $1/(1+x)$가 나와요. $u=\ln(1+x)$, $dv=x\,dx$로 두면 $du=\frac{1}{1+x}\,dx$, $v=x^2/2$예요. 정적분에서의 부분적분 공식은 $\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$예요.

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

다항식 나눗셈으로 $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$을 얻어요. 이 식을 0부터 1까지 적분하면 $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$예요. 따라서

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

$[0,1]$에서 $x\ln(1+x)$가 음수가 아니므로 양수인 결과는 그럴듯해요. 별도의 대수적 검산으로 원시함수 $\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$를 사용할 수 있어요. 여기에도 1과 0을 대입해 빼면 $1/4$가 나와요. 정적분에서는 새 적분에도 같은 경계값을 유지하세요. 최종 숫자에는 $+C$를 쓰지 않아요.

풀이가 있는 연습문제 세 개

1. 다항식과 지수함수. $\int 3x e^x\,dx$를 구하세요.

$u=3x$, $dv=e^x\,dx$로 두어요. 그러면 $du=3\,dx$, $v=e^x$이므로

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

$3e^x(x-1)$을 미분하면 $3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$가 나와요. 원래 피적분함수와 일치해요.

2. 계수가 붙은 로그함수. $x>0$에서 $\int x\ln x\,dx$를 구하세요.

$u=\ln x$, $dv=x\,dx$로 고르세요. 그러면 $du=dx/x$, $v=x^2/2$예요.

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

미분하면 $x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$예요. 두 $x/2$ 항을 보이게 두면 검산 과정을 따라가기 쉬워요.

3. 정적분. $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$를 계산하세요.

$u=x$, $dv=\cos x\,dx$로 두면 $du=dx$, $v=\sin x$예요. 부분적분한 뒤 경계값을 적용하세요.

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

이 구간에서는 $x$와 $\cos x$가 모두 음수가 아니고 $\pi/2-1$은 양수예요. $x\sin x+\cos x$를 미분하면 $x\cos x$가 나오므로 경계값 계산에 쓴 원시함수도 맞아요.

원시함수를 고르는 연습은 Math Zen의 적분 문제에서 이어 갈 수 있어요. 반복적인 적분 기법이 나중에 쓰이는 예는 라플라스 변환 안내 글을 참고하세요.