치환적분 예제: u를 고르고 답을 미분으로 검산하기

$\int 2x\cos(x^2)\,dx$을 생각해 봅시다. 이런 곱을 바로 적분하는 기본 공식은 없지만 답은 짧습니다. $\sin(x^2)+C$입니다. $\sin(x^2)$를 연쇄법칙으로 미분하면 $\cos(x^2)\cdot2x$, 즉 피적분함수가 나옵니다. 치환적분은 이런 답을 의도적으로 찾는 방법입니다. 연쇄법칙을 거꾸로 쓰는 것입니다. 속함수를 찾아 $u$라고 이름 붙이고, 그 도함수가 남은 인수를 흡수하게 합니다.

이 글은 치환적분 예제 여섯 개를 풉니다. 단순한 경우부터 상수배, 로그, 구간을 바꾸는 정적분, 그리고 $x$를 새 변수로 다시 나타내야 하는 치환까지 다룹니다. 연쇄법칙 자체가 아직 불안하다면 먼저 연쇄법칙 예제로 몸을 푸세요. 아래의 검산은 모두 연쇄법칙에 기대고 있습니다.

한 줄로 보는 공식

OpenStax Calculus 1권 §5.5는 부정적분의 치환을 이렇게 씁니다. $u=g(x)$이고 $F$가 $f$의 부정적분 중 하나이면

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.$$

실제로는 $u=g(x)$, $du=g'(x)\,dx$로 쓰고, 적분 전체를 $u$로 바꿔 쓴 뒤 적분하고 원래 변수로 되돌립니다. 좋은 선택인지 판단하는 기준은 간단합니다. 바꿔 쓴 뒤에는 $x$가 하나도 남으면 안 됩니다. 남는다면 그것을 $u$로 나타내거나 다른 $u$를 고르세요.

u 고르는 법

다른 함수 안에 들어 있는 함수를 찾습니다. 거듭제곱 안, 근호 안, 지수 안, 삼각함수나 로그함수 안 같은 곳입니다. 그다음 그 도함수가 (상수배를 빼고) 나머지에 곱해져 있는지 확인합니다.

마지막 행이 중요합니다. $\int e^{x^2}\,dx$은 둘째 행과 비슷해 보이지만, 인수 $x$가 없어서 $du$가 흡수할 것이 없고, 이 적분은 초등함수로 된 부정적분이 아예 없습니다. 치환적분은 언제나 통하는 요령이 아니라, 도함수가 있을 때 통하는 방법입니다.

예제 1: 도함수가 이미 있는 경우

$\int 2x(x^2+1)^5\,dx$을 구합니다. $u=x^2+1$로 놓으면 $du=2x\,dx$입니다. 인수 $2x\,dx$가 정확히 $du$입니다.

$$\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.$$

검산: $\frac{(x^2+1)^6}{6}$의 도함수는 $(x^2+1)^5\cdot2x$입니다. $(x^2+1)^5$을 전개해서 항별로 적분해도 되지만 훨씬 오래 걸리고 계산 실수가 생기기 쉽습니다.

예제 2: 상수배가 모자란 경우

$\int xe^{x^2}\,dx$을 구합니다. $u=x^2$로 놓으면 $du=2x\,dx$이지만 피적분함수에는 $x\,dx$만 있습니다. 2로 나누면 $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$입니다.

$$\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.$$

$\frac{1}{2}$을 적분 밖으로 빼는 것은 그것이 상수이기 때문에 허용됩니다. 빠진 것이 변수 인수라면 같은 일을 할 수 없습니다. $\int e^{x^2}\,dx$은 $dx=\frac{du}{2x}$로 써도 구할 수 없습니다. 그러면 $x$가 $u$에 대한 적분 안에 남기 때문입니다.

예제 3: 속함수가 로그인 경우

$\int\frac{\ln x}{x}\,dx$을 구합니다. 단, $x>0$입니다. $u=\ln x$로 놓으면 $du=\frac{1}{x}\,dx$입니다.

$$\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.$$

관련된 표준 결과가 $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$에서 나옵니다. $u=\cos x$로 놓으면 $du=-\sin x\,dx$이고 적분은 $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$가 됩니다. 마이너스 부호에 주의하세요. 이것은 코사인의 도함수에서 나오며, 이 예제에서 가장 흔한 실수가 이 부호를 빠뜨리는 것입니다.

예제 4: 구간을 바꾸는 정적분

$\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$을 계산합니다. $u=1+x^2$로 놓으면 $du=2x\,dx$이고 $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$입니다. 이제 구간을 바꿉니다. $x=0$일 때 $u=1$이고, $x=1$일 때 $u=2$입니다.

$$\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.$$

구간을 $u$로 바꾼 뒤에는 원래 변수로 되돌릴 필요가 없습니다. OpenStax도 정적분의 치환을 바로 이 형태로 제시합니다. 구간은 $g(a)$와 $g(b)$로 바뀝니다. 전형적인 실수는 새 피적분함수에 옛 구간 0과 1을 그대로 쓰는 것인데, 여기서는 $\frac{1}{8}$이 나와 답이 15배나 틀립니다.

어림으로 확인해 봅시다. 피적분함수는 $x=0$에서 0, $x=1$에서 8까지 커지므로 넓이는 0과 8 사이, 그것도 작은 쪽에 가까워야 합니다. 곡선이 오른쪽 끝 가까이에서만 가파르기 때문입니다. $\frac{15}{8}=1.875$은 이에 맞습니다.

예제 5: 남은 x를 다시 나타내기

$\int x\sqrt{x+1}\,dx$을 구합니다. $u=x+1$로 놓으면 $du=dx$입니다. 근호 밖에 $x$가 하나 남습니다. 치환식에서 이것을 구합니다: $x=u-1$.

$$\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.$$

이렇게 되돌릴 수 있는 것은 $u=x+1$을 쉽게 거꾸로 풀 수 있기 때문입니다. 남은 $x$를 $u$로 깔끔하게 나타낼 수 없다면 치환을 잘못 고른 경우가 많습니다.

예제 6: 치환적분이 맞지 않는 경우

$\int xe^{x}\,dx$을 시도해 봅시다. 바로 떠오르는 $u=x$는 아무것도 바꾸지 못하고, $u=e^x$는 $x=\ln u$을 안에 남겨 문제를 $\int\ln u\,du$로 바꾸는데, 이것은 어차피 다른 방법이 필요합니다. 이 곱에는 도함수와 나란히 있는 속함수가 없습니다. 이것은 부분적분을 쓸 차례로, 한 인수가 미분하면 더 간단해집니다.

유용한 습관: $u$의 후보를 한두 개 시험하는 데 1분 이상 쓰지 마세요. 어느 것으로도 $x$가 사라지지 않으면 억지로 밀어붙이지 말고 방법을 바꾸세요.

피해야 할 실수

• du를 잊기. $u=x^2$로 놓고 속함수만 바꾸면 $dx$가 $u$에 대한 적분 안에 남습니다. 모든 $dx$는 $du$의 상수배로 바뀌어야 합니다.
• 변수로 나누기. 적분 밖으로 뺄 수 있는 것은 상수 인수뿐입니다.
• 새 적분에 옛 구간 쓰기. 두 끝을 모두 바꾸거나, 값을 대입하기 전에 $x$로 돌아가세요.
• 답을 u로 남겨 두기. 부정적분에서는 원래 변수로 되돌려 답을 $x$의 함수로 만들고 $+C$를 붙이세요.
• 검산 건너뛰기. 답을 미분하는 데는 몇 초면 충분하고, 부호와 상수 실수를 거의 다 잡아냅니다.

답이 있는 연습 문제

1. $\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$. $u=x^3-4$로 놓는다. 답: $\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$.
2. $\int\sin^2x\cos x\,dx$. $u=\sin x$로 놓는다. 답: $\frac{\sin^3x}{3}+C$.
3. $\int e^{3x}\,dx$. $u=3x$로 놓으면 $dx=\frac{1}{3}\,du$. 답: $\frac{e^{3x}}{3}+C$.
4. $\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$. $u=\ln x$로 놓고 구간은 0부터 1까지. 답: $\frac{1}{2}$.

치환적분은 거의 모든 적분에서 가장 먼저 시도할 방법입니다. 그래서 적분을 직관적으로 이해하기에서는 이 단원의 일꾼이라고 부릅니다. 속함수에 이름을 붙이고, 그 도함수가 있는지 확인하고, 구간까지 포함해 모두 바꾼 뒤, 다음으로 넘어가기 전에 결과를 미분해 보세요.