연쇄법칙 예제: 합성함수 미분을 단계별로 풀어 보기

$(2x+3)^5$를 미분해 볼게요. 괄호 안에 $x$만 있는 것처럼 일반적인 거듭제곱 미분법을 적용하면 $5(2x+3)^4$가 나와요. 모양은 그럴듯하지만 2라는 인수가 빠졌어요. 괄호 안 식은 $x$보다 두 배 빠르게 변하므로, 도함수에도 그 변화가 포함되어야 해요.

빠진 인수를 채우는 것이 연쇄법칙의 핵심이에요. 이 글에서는 안쪽 함수가 하나인 식부터 세 겹으로 중첩된 식까지 독창적인 예제를 단계별로 풀어요. 도함수의 뜻을 먼저 알아보고 싶다면 도함수 안내 글을 읽어 보세요. 여기서는 층을 구분하고 미분한 다음 답을 검산하는 데 집중해요.

안쪽 함수와 바깥 함수를 찾기

합성함수는 한 함수의 출력을 다른 함수에 입력해요. $y=(2x+3)^5$에서는 먼저 $2x+3$을 계산하고 그 결과를 다섯 제곱해요. 안쪽 함수를 $g(x)=2x+3$, 바깥 함수를 $f(u)=u^5$라고 쓰면 $y=f(g(x))$예요.

함숫값을 계산하는 순서와 미분하는 순서는 반대예요. 값을 구할 때는 안에서 밖으로 움직여요. 미분할 때는 바깥 연산부터 시작하고, 그 입력은 바꾸지 않은 채 안쪽 입력의 도함수를 곱해요. OpenStax의 연쇄법칙 장은 미분 가능한 합성함수에 대해 이렇게 설명해요.

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

바깥 함수의 도함수를 계산하는 입력은 $g(x)$이지, $g'(x)$가 아니에요. 안쪽 도함수는 별도의 인수예요. 해당 지점에서 어느 한 층이 미분 가능하지 않다면 이 식을 그대로 적용할 수 없어요.

법칙을 고르기 전에 층마다 이름을 붙여 보세요. $\sin(4x^2-1)$에서는 바깥 연산이 사인이고 안쪽 식은 $4x^2-1$이에요. $\sqrt{1+x^4}$에서는 바깥 연산이 제곱근이고 안쪽 식은 $1+x^4$예요. $x^2+3x$의 가장 바깥 연산은 덧셈이므로 각 항을 따로 미분해요. 괄호가 있다는 이유만으로 모두 연쇄법칙을 쓰는 것은 아니에요.

한 함수의 출력을 다른 함수에 넣는다는 개념이 낯설다면 합성함수 설명에서 미분 전의 함수값과 정의역을 살펴보세요. 입력과 출력 표기부터 익혀야 한다면 함수 기초가 출발점이에요.

매번 같은 네 단계를 따르기

식의 크기가 달라져도 방법은 같아요.

1. 바로 안쪽에 있는 식을 정해요. $h(x)=(3x^2-2)^4$에서는 $u=3x^2-2$라고 놓아요.
2. $u$를 그대로 두고 바깥을 미분해요. 바깥은 $u^4$이므로 도함수는 $4u^3$이에요.
3. 안쪽을 미분해요. 여기서는 $du/dx=6x$예요.
4. 곱한 뒤 원래 식으로 돌아가요. 결과는 $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$예요.

뒤의 계산에 필요하지 않다면 네 제곱을 전개하지 마세요. 인수분해한 답에서는 $4(3x^2-2)^3$이 바깥 거듭제곱에서, $6x$가 안쪽 이차식에서 왔다는 점이 보여요. 너무 일찍 전개하면 인수를 빠뜨려도 찾기 어려워요.

세 겹이라면 같은 동작을 반복해요. 가장 바깥을 미분하고 다음 층의 도함수를 곱한 뒤, 가장 안쪽 층의 도함수도 곱해요. OpenStax도 같은 장에서 연쇄법칙을 반복해서 쓰는 방법을 설명해요. 새 법칙을 외울 필요는 없어요.

끝까지 푸는 예제 세 개

일차식의 거듭제곱. $p(x)=(2x+3)^5$로 돌아가 볼게요. 바깥 도함수는 $5(2x+3)^4$이고 안쪽 도함수는 $2$예요. 따라서

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

기호로 쓴 답만 믿지 말고 $x=0$에서 확인해요. 원래 함수는 $p(0)=3^5=243$이에요. $(3+2x)^5$에서 일차항까지만 전개하면 $243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$이므로 0에서의 기울기는 $810$이에요. 구한 도함수도 $10(3)^4=810$을 줘요. 안쪽 인수가 빠진 식은 $405$가 되어 이 검산을 통과하지 못해요.

삼각함수 합성. 각도는 라디안으로 두고 $q(x)=\sin(4x^2-1)$이라고 해요. 바깥 사인을 미분하면 원래 입력을 가진 코사인이 되고, 안쪽 $4x^2-1$의 도함수는 $8x$예요.

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

$x=0$에서는 안쪽 도함수가 0이므로 $q'(0)=0$이에요. 이는 가까운 곳의 대칭성 검사와도 맞아요. $q(x)$는 $x^2$에 의존해서 $x$와 $-x$에서 같은 값을 갖거든요. $x=1$에서 기울기는 $8\cos(3)$이지 $\cos(8)$이 아니에요. 코사인에는 안쪽 식이 바뀌지 않은 채 들어가고, 안쪽 도함수가 들어가는 게 아니에요.

세 겹으로 중첩된 함수. $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$을 보세요. 바깥부터 세제곱, 사인, $2x^2+1$의 세 층이에요. 이 순서로 미분하면

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

세 변화가 이어져 있으므로 인수도 세 개예요. 세제곱은 $3\sin^2(\cdot)$, 사인은 코사인, 이차식은 $4x$를 내놓아요. 다시 $r'(0)=0$이고, 이는 $r(x)$가 짝함수라는 점과 일치해요. 이 확인만으로 도함수 전체가 맞다고 증명할 수는 없지만 일부 대수 오류는 빠르게 찾을 수 있어요.

다른 미분법도 필요한지 결정하기

먼저 식 전체의 연산을 찾으세요. $a(x)=x(2x+3)^5$에서는 변수가 든 두 식이 곱해져 있어요. 곱의 미분법부터 쓰고, 거듭제곱된 인수에는 연쇄법칙을 써요.

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

반면 $b(x)=(2x+3)^5$는 식 전체가 곱이 아니므로 연쇄법칙만으로 $10(2x+3)^4$를 얻어요. 두 식의 차이는 거듭제곱 바깥에 인수 $x$가 하나 더 있다는 점이고, 이것이 먼저 적용할 법칙을 바꿔요.

몫의 형태도 같은 선택을 가릴 수 있어요. $c(x)=1/(2x+3)^2$를 $(2x+3)^{-2}$로 고쳐 쓰면 식 전체의 연산이 거듭제곱임이 보여요. 따라서

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

몫의 미분법으로도 풀 수 있지만 이렇게 고치면 합성 구조가 뚜렷해져요. 분자와 분모가 모두 $x$에 의존한다면 바깥에서 몫의 미분법을 쓰고, 각 부분에 연쇄법칙이 필요한지 살펴보세요. OpenStax의 연쇄법칙 장도 이러한 조합을 다뤄요.

흔한 오답 세 가지 고치기

안쪽 인수를 빠뜨리기. $(5x-1)^4$에 대한 답 $4(5x-1)^3$에는 안쪽 도함수 $5$가 없어요. 두 부분을 먼저 적고 곱해요. $4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$이에요.

바깥 함수의 입력을 바꾸기. $\cos(x^2+2)$에 $-\sin(2x)\cdot2x$라고 답하면 안쪽 도함수를 사인의 입력에 넣은 셈이에요. 올바른 도함수는 $-\sin(x^2+2)\cdot2x$예요. 바깥은 원래 안쪽 식을 입력으로 미분하고, 그다음 안쪽 도함수를 붙여요.

괄호를 잃기. $(x^2+3)^3$에 대한 $3x^2+3^2(2x)$는 연쇄법칙이 아니에요. 안쪽 식 전체가 제곱한 괄호 안에 남아야 해요. $3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$예요. 마지막 줄까지 안쪽 식을 큰 괄호로 묶어 두세요.

간단한 점에서 원래 함수와 도함수를 확인하는 방법도 있어요. 한 지점의 값이 맞는다고 모든 $x$에서 도함수가 맞다는 증거는 아니지만, 값이 다르면 그럴듯한 오답을 빠르게 배제할 수 있어요.

풀이가 있는 연습문제 세 개

풀이를 읽기 전에 직접 풀어 보세요. 층을 표시한 뒤 층마다 인수 하나를 적어요.

1. $s(x)=(7-3x)^4$를 미분해요. 바깥 도함수는 $4(7-3x)^3$, 안쪽 도함수는 $-3$이므로

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

음수 부호로 빠르게 확인할 수 있어요. $7-3x$가 양수인 지점 근처에서는 $x$가 늘면 안쪽 값이 줄고, 그 네 제곱도 줄어요.

2. $t(x)=\cos(3x^2+x)$를 미분해요. 바깥 코사인은 음의 사인이 되고 안쪽 다항식은 $6x+1$이 돼요.

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

$x=0$에서 $\sin(0)=0$이므로 도함수도 0이에요. 안쪽 도함수까지 0이라는 뜻은 아니에요. 그 값은 1이에요. 두 인수를 따로 적으면 곱이 왜 0인지 알 수 있어요.

3. $v(x)=(1+\sin x)^3$을 미분해요. 바깥 거듭제곱은 $3(1+\sin x)^2$를 주고 안쪽 도함수는 $\cos x$예요.

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

안쪽에 사인이 들어 있지만 식 전체의 연산은 여전히 세제곱이에요. 바깥에서 안으로 진행하세요. $x=0$에서 도함수는 $3(1)^2(1)=3$이에요.

여기까지 익숙해졌다면 Math Zen의 미분 연습에서 연쇄법칙 문제를 풀어 볼 수 있어요. 틀린 예제로 돌아가 다음 문제를 풀기 전에 어느 인수를 빠뜨렸는지 설명해 보세요. 바깥 연산을 찾고, 입력을 그대로 두고, 그 입력의 도함수를 곱하는 순서를 기억하세요.

자주 묻는 질문

연쇄법칙과 거듭제곱 미분법은 같은가요?

아니에요. 거듭제곱 미분법은 $x^n$을 미분해요. 연쇄법칙을 함께 쓰면 안쪽 식의 거듭제곱에도 적용할 수 있어요. $[g(x)]^n$의 도함수는 $n[g(x)]^{n-1}g'(x)$예요. $g(x)=x$이면 그 도함수가 1이어서 익숙한 거듭제곱 미분법이 나와요.

제곱근에도 연쇄법칙을 쓸 수 있나요?

네. $\sqrt{1+x^4}$를 $(1+x^4)^{1/2}$로 고쳐 써요. 바깥 도함수는 $\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$, 안쪽 도함수는 $4x^3$이므로 결과는 $2x^3/\sqrt{1+x^4}$예요.

중첩 함수에서 인수가 여러 개 나오는 이유는 무엇인가요?

각 층은 안쪽 층의 변화에 따라 달라져요. $[\sin(2x^2+1)]^3$에서는 $x$가 변하면 이차식이 변하고, 이것이 사인값을 바꾸며, 다시 세제곱한 값이 달라져요. 도함수의 세 인수는 이어진 세 변화를 나타내요.